・　２数の比較 　　 　　　　 　 　　　　 　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　２数の比較をする場合、それらが計算できたら、数学の問題にならない。計算できないか
らこそ数学の問題になりうる。

　今まで出会った、そういう類のもので圧巻は、

　ｅ^π　と　π^ｅ　の大小を比較せよ

というものだろう。

　π は円周率であるが、自然対数の底 ｅ は一般には馴染みが薄かろう。何せ、「 ｅ 」を学
ぶ日本の高校生は、全体の２割位しかいないから．．．。（中央教育審議会資料より）

　関数

　

が、　ｘ ≧ ｅ　において、単調減少ということから、　ｅ^π＞π^ｅ　であることが分かる。

　実際に、　ｅ ＜ π　より、　（log ｅ）/ｅ ＞ （log π）/π　なので、

　π（log ｅ） ＞ ｅ（log π）　すなわち、　log ｅ^π ＞ log π^ｅ　より、　ｅ^π＞π^ｅ　である。

グラフ描画ソフトを用いて、左 　　のグラフを得る。 　　　ｘ ≧ ｅ　において、単調減少と 　　いうことが一目瞭然だろう。 　　　計算でも、 　　　 　　から明らか．．．。 　まさに、感動！の一言である．．．。

　この問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｚｋ４３」さんより、別解を頂いた。
（平成２１年１１月３日付け）

（別解その１）　対数関数　ｙ＝log ｘ　のグラフは、上に凸のグラフで、原点を通る直線が曲線

　ｙ＝log ｘ　と接するのは、ｘ＝ｅ　のときである。

よって、原点と 点（ ｘ ， log ｘ ） （ ただし、ｘ≧ ｅ ）を結ぶ直線の傾きは単調減少である。

　したがって、　e ＜ π　なので、　（log ｅ）/ｅ ＞ （log π）/π

すなわち、　log ｅ^π＞ log π^ｅ　より、　ｅ^π＞π^ｅ　である。

（別解その２）　ｅ^ｘ＝１＋ｘ＋ｘ²/２＋・・・＞１＋ｘ　（ｘ＞０）　において、ｘ＝π/e−１　とすると、

　ｅ^ｘ＞１＋ｘ＝π/e　すなわち、　ｅ^π/ｅ ＞ π　より、　ｅ^π　＞　π^ｅ　である。


（コメント）　ｚｋ４３ さん、ありがとうございます。

さて、上記の

のグラフは、２数　２ｘ　と　ｘ　を比較する場合にも活躍する。

　実際に、上図のグラフにおいて、ｘ＝ｅ　のときの ｙ の値は、　１/ｅ　で、これが最大値に
なる。

　ところで、　４＞ ｅ　なので、　ｌｏｇ２＞１/２　である。

　また、　ｅ ＞２　なので、　１/２＞１/ｅ　が成り立ち、　ｌｏｇ２＞１/ｅ　となる。

このことから、

ｌｏｇ２

＞

が成り立ち、　２ｘ＞ ｘ　であることが分かる。

　ただ、この解法の弱点は全然初等的でないことである。もっと早い段階で、このことを説明
しようとすると途端に窮してしまう。

　当ＨＰの「私の備忘録」　質問に対する回答（１２）　で調べたように、ｙ＝ａ^ｘ のグラフは、

ａ の値によって、

　０＜ａ＜１　のとき、１個　、１＜ａ＜　のとき、２個　、ａ＝　のとき、１個

と、直線 ｙ＝ｘ　と共有点を有する。　（　　は、だいたい　１．４４４６６８・・・　くらい？）

　自然数 ｎ に対して、　２^ｎ＞ｎ　だから、　２^ｘ＞ ｘ　だろうと押し切るにも、上記の事実が
あるので心許ない。

　初等的に説明できないか、目下の研究課題である。


（追記）　「どこかで見たような問題（おそらく数学セミナーだったかと）」と題して、鱒さんから
　　　　の投稿です。関数電卓等での算出は禁じ手とします。（平成２７年１０月８日付け）

　自然対数の底eと円周率πについて、　０＜e^π−π^e＜１　を示せ。

　みなさんならばどう示しますか？お教えください。


　草餅さんからのコメントです。（平成２７年１０月８日付け）

　高校数学的ですが、f(x)=e^x-x^e とおき、e＜πより、f(e)=0＜f(π)はすぐ導けますね。「＜1」
は、g(x)=x^π-π^x とおいて、その最大値が x＞0の範囲で1より小さいことを示せればよいで
しょうか…。細かい証明をしてなくてすみませんが。


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１０月９日付け）

　「0＜」の方は、草餅さんの言うようにすぐできるので、「＜1」側だけ。何というか、ゴリゴリの
力技の「ないよりはマシ」レベルでしかない証明ですが。

　平均値の定理じゃ精度が全く足りなかったので、テイラーの定理の n=2 と n=3 をフル活用
します。また、2.718＜e＜2.719 と 3.141＜π＜3.142 は証明なく使います。電卓は小数の四
則演算にのみ使用しました。（これくらいは許されますよね？）

　[補題1] 　0＜x＜1/4 のとき、1+x+x²/2+x³/6 < e^x < 1+x+x²/2+2x³/9

　0＜x＜1/4 のとき、 e^t は、0≦t≦x において３回微分可能なので、テイラーの定理の n=3

より、　e^x = 1 + x + x²/2 +  e^cx³/6　なる実数 c が 0＜c＜x に存在する。

ここで、0＜c＜1/4 と 1＜e＜3＜256/81 より、1＜e^c＜(256/81)^(1/4) = 4/3 である。

　x³＞0 であるから、　x³/6＜e^cx³/6＜2x³/9　より、示された。

　[補題2]　e^e＞15.1134

　e/16＞2.718/8＞0.1698 より、(e/16)²＞0.1698²＞0.0288

　(e/16)³＞0.1698・0.0288＞0.0048

また、e/16＜1/4 なので、[補題1] より、

e^(e/16)＞1+e/16+1/2 (e/16)² +1/6 (e/16)³＞1+0.1698+1/2*0.0288+1/6*0.0048=1.1850

したがって、e^(e/8)＞1.1850²＞1.4042　より、e^(e/4)＞1.4042²＞1.9717　なので、

e^(e/2)＞1.9717²＞3.8876　すなわち、e^e＞3.8876²＞15.1134

　よって示された。

　[補題3]　π^e＞22.3

　x^e は、e≦x≦π において２回微分可能なので、テイラーの定理の n=2 より、

　π^e = e^e + e^e (π-e) + e(e-1) c^e-2 (π-e)² /2

なる実数 c が e＜c＜π に存在する。

　このとき、　e-2＞0 より、　e^e-2＜c^e-2 なので、

π^e＞e^e + e^e(π-e) + e(e-1) e^e-2(π-e)²/2=e^e{ 1+ (π-e) + (1-1/e)(π-e)²/2 }

　ここで、1/e＜1/2.718＜0.3680　より、1-1/e＞1-0.3680 = 0.6320

　π-e＞3.141-2.719 = 0.422　より、(π-e)²＞0.422²＞0.1780

　よって、　(1-1/e)(π-e)²＞0.1124　と計算していくと、

　1+ (π-e) + (1-1/e)(π-e)²/2＞1+0.422+0.1124/2 = 1.4782

なので、[補題2] を用いて、　π^e＞15.1134×1.4782＞22.3406＞22.3

　よって、示された。

　[補題4]　e^π＜23.3

　π/16＜3.142/16＜0.1964 より、(π/16)²＜0.1964²＜0.0386

　(π/16)³＜0.0386×0.1964＜0.0076

　よって、[補題1] より、

e^(π/16) < 1 + π/16 + 1/2 (π/16)² + 2/9 (π/16)³
＜ 1 + 0.1964 + 1/2×0.0386 + 2/9*0.0076 ＜ 1.2174

したがって、　e^(π/8)＜1.2174²＜1.4821　より、　e^(π/4)＜1.4821²＜2.1967

　e^(π/2)＜2.1967²＜4.8255　より、　e^π＜4.8255²＜23.2855＜23.3

　よって、示された。

[定理]　e^π - π^e＜１

　[補題3]、[補題4] より、　e^π - π^e＜23.3 - 22.3 = 1　なので、示された。


## この精度だとかなりギリギリでした。もっと効率よく精度良く出す方法あるのかなあ？


　読者のために練習問題を残しておこう。

練習問題　　πを円周率とするとき、　３^π＞π³　であることを示せ。

（解）　両辺の自然対数をとって、　πｌｏｇ３＞３ｌｏｇπ　すなわち、　（ｌｏｇ３）/３＞（ｌｏｇ ｘ）/ｘ
　　　を示せばよい。

　Ｆ（ｘ）＝（ｌｏｇ ｘ）/ｘ　とおくと、　Ｆ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇ ｘ）/ｘ²＝０　より、　ｘ＝ｅ

　ｅ＜ｘ において、Ｆ’（ｘ）＜０　より、Ｆ（ｘ）は単調に減少する。

　ｅ＜３＜π　なので、　Ｆ（３）＞Ｆ（π）　が成り立つ。

　以上から、　（ｌｏｇ３）/３＞（ｌｏｇ ｘ）/ｘ　すなわち、　３^π＞π³　が成り立つ。　　（終）



　　以下、工事中！