当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成１９年１月２６日付けで、混沌さんが面白い問題を
紹介されている。
ａ＋ｂ＋ｃ＝３ 、ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝５ 、ａ3＋ｂ3＋ｃ3＝７ のとき、
ａ4＋ｂ4＋ｃ4 、ａ5＋ｂ5＋ｃ5 の値を求めよ。（改題）
この問題は、米国ミネソタ大学の Ａｌｅｘａｎｄｅｒ Ｙｏｎｇ 先生が作られた課題である。高校
生でも十分解きうる受験問題集の標準レベルくらいだろうか？
ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）2−２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ） から、 ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２
ａ3＋ｂ3＋ｃ3＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）＋３ａｂｃ から、 ａｂｃ＝−２/３
よって、 ａ4＋ｂ4＋ｃ4＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2−２（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2）
＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2−２｛（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）2−２ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）｝
＝２５−２（４＋４）
＝９
（追記） 平成１９年７月１９日付け
上記の計算は標準的ではあるが上手い解答とは言えない．．．予感。
次のようなエレガントな解法が存在するようだ。
上記の計算から、 ａ＋ｂ＋ｃ＝３ 、ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２ 、ａｂｃ＝−２/３
よって、ａ 、 ｂ 、 ｃ を解に持つ３次方程式は、
ｘ3−３ｘ2＋２ｘ＋２/３＝０
このとき、 ｘ3＝３ｘ2−２ｘ−２/３ となる。
ここで、 Ｔｎ＝ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ とおくと、上式から
Ｔ4＝３Ｔ3−２Ｔ2−（２/３）Ｔ1＝３×７−２×５−（２/３）×３＝９
となる。 （→ 参考 ： 対称式の真実）
（コメント） この解法を用いると機械的な計算で順次 Ｔｎ が求められる。
たとえば、
Ｔ5＝３Ｔ4−２Ｔ3−（２/３）Ｔ2＝３×９−２×７−（２/３）×５＝２９/３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
以下は、斉次対称式の性質を用いた解法である。上記のエレガントな解法に比べてその
難解さに辟易されるかもしれない。
いま、 Ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）5−（ａ5＋ｂ5＋ｃ5） とおくと、Ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）は５次
の斉次対称式である。明らかに、Ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）は、（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ） で割り切れる。
斉次対称式の約数はまた斉次対称式なので、その商は、
Ａ（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）＋Ｂ（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）
と書ける。 すなわち、
Ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）｛Ａ（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）＋Ｂ（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）｝
ここで、 Ｃ＝０ とおくと、
左辺＝（ａ＋ｂ）5−（ａ5＋ｂ5）
＝５ａ4ｂ＋１０ａ3ｂ2＋１０ａ2ｂ3＋５ａｂ4
＝５ａｂ（ａ3＋２ａ2ｂ＋２ａｂ2＋ｂ3）
＝５ａｂ｛（ａ3＋２ａ2ｂ＋ａｂ2）＋（ａｂ2＋ｂ3）｝
＝５ａｂ｛ａ（ａ＋ｂ）2＋（ａ＋ｂ）ｂ2｝
＝５ａｂ（ａ＋ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）
右辺＝ａｂ（ａ＋ｂ）｛Ａ（ａ2＋ｂ2）＋Ｂａｂ｝
両辺の係数を比較して、 Ａ＝Ｂ＝５ なので、
Ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝５（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）
ここで、（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）＝（３−ａ）（３−ｂ）（３−ｃ）
＝２７−９（ａ＋ｂ＋ｃ）＋３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）−ａｂｃ
＝２７−２７＋６＋２/３
＝２０/３
したがって、 ２４３−（ａ5＋ｂ5＋ｃ5）＝（１００/３）（５＋２） より、
ａ5＋ｂ5＋ｃ5＝２４３−７００/３＝２９/３
（コメント） ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ は、次数 ｎ の値が、１、２、３、４ と増えるに応じて、その値は、
３、５、７、９ と増加した。ｎ＝５ のとき、もしや、その値は１１ではと淡い期待を
抱かせたが、その期待は見事に裏切られた。
それにしても、２９/３ だなんて！あと少しで１１だったのに．．．残念！
