(1) a^2+b^2=1 を満たす時 P=(a-b)*(b-a) の最小値とそれを満たす (a，b) は？
(2) a^2+b^2+c^2=1 を満たす時 Q=(a-b)*(b-c)*(c-a) の最小値とそれを満たす (a，b，c) は？
(3) a^2+b^2+c^2+d^2=1 を満たす時 R=(a-b)*(b-c)*(c-d)*(d-a) の最小値とそれを満たす
(a，b，c，d) は？
（コメント） （１）を計算してみました。
a2＋b2＝１ から、 ａ＝ｓｉｎθ、ｂ＝ｃｏｓθ （０≦θ＜２π） とおける。
このとき、 Ｐ＝−（ａ−ｂ）2＝−２ｓｉｎ2（θ−π/４）
−π/４≦θ−π/４＜７π/４ において、θ−π/４＝π/２ 、３π/２ のとき、
すなわち、 θ＝３π/４ 、７π/４ のとき、Ｐは最小で、最小値は、−２
このとき、 (a，b) ＝（１/
，−１/）、（−１/，１/）＃円に直線が接する場合を考えればいいのかな？
らすかるさんからのコメントです。（令和５年７月２３日付け）
とりあえず(1)と(2)だけ。
(1) u=a+b、v=a-b とおくと、u^2+v^2=2a^2+2b^2=2
P=-v^2 が最小のとき、|v| が最大なので、u=0、v=±
このとき、a=(u+v)/2=±1/
、b=(u-v)/2=干1/ （複号同順）よって、Pは、(a，b)=(1/
，-1/)、(-1/，1/) のとき、最小値 P=-v^2=-2 をとる。(2) Qが最小値をとるためには、a＞b＞c または b＞c＞a または c＞a＞b
（∵このとき、Q＜0、これ以外のとき、Q≧0）
なので、対称性より、a＞b＞c として考えればよい。
u=a+b+c、v=a-b、w=b-c とおくと、v＞0、w＞0 であり、
a=(u+2v+w)/3 、b=(u-v+w)/3 、c=(u-v-2w)/3
a^2+b^2+c^2
={(u+2v+w)/3}^2+{(u-v+w)/3}^2+{(u-v-2w)/3}^2=(u^2+v^2+w^2+(v+w)^2)/3=1 … (1)
Q=(a-b)(b-c)(c-a)=-vw(v+w)
v＞0、w＞0 なので、Qが最小 ⇔ vw(v+w) が最大
(1)から、|u|＞0 のとき、vw(v+w) は最大ではない。
（∵|u|＞0 ならば、u=0 として、その分 v、w を少し大きくできる）
∴ u=0
このとき、(1)から、 v^2+w^2+(v+w)^2=3 すなわち、2v^2+2w^2+2vw=3 から、
4v^2+4w^2+4vw=6 より、3(v+w)^2+(v-w)^2=6 となり、
v+w の最大値は、v=w のときで、
v=w、v+w=
、u=0 から、v=w=1/ 、(a，b，c)=(1/，0，-1/) 、vw(v+w)=1/よって、Qは、(a，b，c)=(1/
，0，-1/) 、(0，-1/，1/) 、(-1/，1/，0)のとき、最小値 Q=-1/
をとる。（追記） (3)の予想
(a，b，c，d)=((
+1)/4，(-1)/4，-(-1)/4，-(+1)/4)（の巡回も）のとき最小値 R=-1/8
(再追記) (3)も解決しました。
ある a、b、c、d で R が最小値をとるとき、
a→b→c→d→a または d←a←b←c←d のように巡回するように値を入れ替えても、条
件を満たして同じ最小値をとるので、「a、b、c、d のうち a が最大」としてよい。
このとき、a＞b＞c＞d または a＞d＞c＞b。
（∵大小関係がこのどちらかのとき、R＜0、それ以外のときR≧0）
a＞d＞c＞b のとき、a、b、c、d すべての符号を反転しても条件を満たしてRは同じ値をと
る。このとき、b＞c＞d＞a となるが、この b、c、d、a の値を順に、a、b、c、d としても、やは
り、条件を満たして、Rの値は変わらない。
従って、Rが最小値をとるとき、a＞b＞c＞d のようにすることができるので、a＞b＞c＞d
という条件を追加しても最小値は変わらない。よって、この条件を追加して考える。
u=a+b+c+d、v=a-b、w=b-c、x=c-d とおくと、v＞0、w＞0、x＞0 であり、
a=(u+3v+2w+x)/4 、b=(u-v+2w+x)/4 、c=(u-v-2w+x)/4 、d=(u-v-2w-3x)/4
a^2+b^2+c^2+d^2=(u^2+2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2)/4 … (b)
R=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-vwx(v+w+x)
v＞0、w＞0、x＞0 なので、Rが最小 ⇔ vwx(v+w+x) が最大
(b)から、|u|＞0のとき、vwx(v+w+x) は最大ではない
（∵|u|＞0 ならば、u=0 として、その分 v、w、x を少し大きくできる）
∴ u=0 で、このとき、(b)から、2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4 より、
xv={2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}/4
よって、 vwx(v+w+x)=w{2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}(v+w+x)/4 となり、vwx(v+w+x) は（wを固定
したとき）、v+x が最大のときに最大
また、2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4 、(v+x)^2+(v-x)^2+(v+2w+x)^2=4 … (c) となるので、
v+x が最大となるのは、v=x のとき。
(c)で、v=x とすると、v^2+(v+w)^2=1
w＞0 に注意して、これを w について解くと、w=√(1-v^2)-v
v=sinθ（0＜θ＜π/2）とおくと、cosθ=√(1-v^2) なので、w=cosθ-sinθ
vwx(v+w+x)=(sinθ)^2(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)
=(sinθ)^2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=(sinθ)^2{1-2(sinθ)^2}=(1/8){1-(4(sinθ)^2-1)^2}
よって、4(sinθ)^2-1=0 すなわち、sinθ=1/2 すなわち、v=1/2、w=(
-1)/2 のときにvwx(v+w+x) は、最大値 1/8 をとる。
従って、u=0、v=x=1/2、w=(
-1)/2 から、a=(
+1)/4、b=(-1)/4、c=-(-1)/4、d=-(+1)/4 なので、Rは、(a,b,c,d)=((
+1)/4，(-1)/4，-(-1)/4，-(+1)/4)、((
-1)/4，-(-1)/4，-(+1)/4，(+1)/4)、(-(
-1)/4，-(+1)/4，(+1)/4，(-1)/4)、(-(
+1)/4，(+1)/4，(-1)/4，-(-1)/4)のときに、最小値 -1/8 をとる。
# 問題がシンプルなので、もっと簡潔な解き方がありそうな気がします。
（コメント） ラグランジュの乗数を使おうと試みましたが、挫折しました．．．(T_T)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年７月２４日付け）
手計算でここまで探し出せる手腕に圧倒されます。
実は、(3)は、2022年度アジア太平洋数学ｵﾘﾝﾋﾟｯｸの第5問として問われている問題であり、
次元を変えるとどんなになるんだろうと調べたら、面白かったので出題しておりました。
勿論手計算では私は歯が立ちませんので、WolframAlpha さんの力をお借りして調査して
いました。
なお、(3)での最小値を与える (a，b，c，d) の組合せでは、らすかるさんが示された４つの
他に、
(a，b，c，d)=(-(
+1)/4，-(-1)/4，(-1)/4，(+1)/4)、((
+1)/4，(-1)/4，-(-1)/4，-(+1)/4)、((
-1)/4，(+1)/4，-(+1)/4，-(-1)/4)、(-(
-1)/4，(-1)/4，(+1)/4，-(+1)/4)もある様な調査結果を得ていたのですが、検討お願いします。
(3)での最大値を調査したら、
(a，b，c，d)=(1/2，-1/2，1/2，-1/2) または (-1/2，1/2，-1/2，1/2) の時、１ でもある
ようでした。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年７月２４日付け）
あ、そうですね。a＞d＞c＞b を排除するために、自分の回答の先頭の方では言及してい
たのに、長い回答を書いているうちに、逆まわりも回答になることを忘れていました。
以下、工事中！
