例 ２＋２＝４、３＋２＋４＝９、・・・・ など。
任意の数Nにある数列を足して、N3、N4、N5、・・・ 場合はどうなるでしょうか？
（コメント） 任意の数Ｎに対して、 （Ｎ－１）Ｎ は偶数で、
Ｎ＋（Ｎ－１）Ｎ＝Ｎ＋N2－Ｎ＝N2
同様に、任意の数Ｎに対して、 （Ｎ－１）Ｎ（Ｎ＋１）は偶数で、
Ｎ＋（Ｎ－１）Ｎ（Ｎ＋１）＝Ｎ＋N3－Ｎ＝N3
任意の数Ｎに対して、 （Ｎ－１）Ｎ（Ｎ2＋Ｎ＋１）は偶数で、
Ｎ＋（Ｎ－１）Ｎ（Ｎ2＋Ｎ＋１）＝Ｎ＋N4－Ｎ＝N4
任意の数Ｎに対して、 （Ｎ－１）Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ2＋１）は偶数で、
Ｎ＋（Ｎ－１）Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ2＋１）＝Ｎ＋N5－Ｎ＝N5
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年６月２８日付け）
任意の自然数Nに偶数を足していけば、平方数になることが分かりました。
これは、N＋(1＋2＋3＋・・＋N-1)×2＝N＋N(N-1)＝N＋N^2－N＝N^2 ですね。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年６月２９日付け）
N＋(２＋４＋…＋２（N－１））＝N2 が成り立ち、
N＋（６＋…＋３N（N-1））
N＋（３の倍数の数列の和）＝N3
N＋（４の倍数の数列の和）＝N4
N＋（５の倍数の数列の和）＝N5
一般にも、成り立ちそうですが．．．。
（コメント） Ｎ＝３ のとき、N3＝２７ なので、 （３の倍数の数列の和）＝２４
３の倍数の和で２４が表されるのだろうか？ ６＋１８＝２４ ということかな？
ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年６月３０日付け）
３N（N-1）から
３の３乗＝２７＝３＋（６＋１８）
４の３乗＝６４＝４＋（６＋１８＋３６）
５の３乗＝１２５＝５＋（６＋１８＋３６＋６０）
（３の倍数の数列で３乗数が生まれます）
（コメント） （３の倍数の数列の和） が一意に定まらないところが不安材料ですね！
例えば、Ｎ＝４ のとき、 ４＋（３の倍数の数列の和）＝６４ から、
（３の倍数の数列の和）＝６０ ですが、 （３の倍数の数列の和）＝６＋２４＋３０ なのか、
（３の倍数の数列の和）＝６＋１８＋３６ なのか、どっち・・・？？？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１日付け）
N＋a1＋a2＋・・＋aN において、aN＝３N(N－１) とすると、
a1＝０ 、a2＝６ 、a3＝１８ 、a4＝３６ 、a5＝６０ 、・・・・
よって、 N＋∑ｋ=1N {３ｋ(ｋ－１)}＝N＋３∑ｋ=1N ｋ2－３∑ｋ=1N ｋ
＝N＋３N(N＋１)(２N＋１)/６－３N(N＋１)/２＝N3
したがって、 N＋a1＋a2＋・・＋aN＝N3 から、N＋６＋１８＋・・・＋３N(N－１)＝N3
ですから、N＋a1＋a2＋・・＋aN において、aN をこうなるように決めればいいですね。
N＋ｘ1＋ｘ2＋・・＋ｘN＝N4 において、ｘN＝aN3＋bN2＋cN＋d とおくと、
N＋∑ｋ=1N(aｋ3＋bｋ2＋cｋ＋d)
＝ａ・Ｎ2（Ｎ＋１）2/４＋ｂ・Ｎ（Ｎ＋１）（２Ｎ＋１）/６＋ｃ・Ｎ（Ｎ＋１）/２＋（ｄ＋１）・Ｎ＝N4
係数比較して、
ａ/４＝１ より、 ａ＝４
ａ/２＋ｂ/３＝０ より、 ｂ＝－６
ａ/４＋ｂ/２＋ｃ/２＝０ より、 ｃ＝４
ｂ/６＋ｃ/２＋ｄ＋１＝０ より、 ｄ＝－２
よって、 ｘN＝４N3－６N2＋４N－２＝２(N－１)(２N2－N＋1) より、
ｘ1＝０ 、ｘ2＝１４ 、ｘ3＝６４ 、ｘ4＝１７４ 、・・・
よって、 N＋０＋１４＋６４＋１７４＋・・・＋２(N－１)(２N2－N＋1)＝N4
さて、
N＝1 のとき、１
N＝2 のとき、2＋0＋14＝16＝2^4
N＝3 のとき、3＋0＋14＋64＝81＝3^4
N＝4 のとき、4＋0＋14＋64＋174＝256＝4^4
自然数の４乗の和の公式：
(１/５)N5＋(１/２)N4＋(１/３)N3－(１/３０)N＝{N(N＋１)(２N＋１)(３N2＋３N－１}/３０ より、
N＋ｘ1＋ｘ2＋・・＋ｘN＝N5 において、ｘN＝aN4＋bN3＋cN2＋dN＋ｅ とおくと、
N＋∑ｋ=1N(aｋ4＋bｋ3＋cｋ2＋dｋ＋ｅ)
＝ａ・{N(N＋１)(２N＋１)(３N2＋３N－１}/３０＋ｂ・Ｎ2（Ｎ＋１）2/４
＋ｃ・Ｎ（Ｎ＋１）（２Ｎ＋１）/６＋ｄ・Ｎ（Ｎ＋１）/２＋（ｅ＋１）・Ｎ＝N5
係数比較して、
ａ/５＝１ より、 ａ＝５
ａ/２＋ｂ/４＝０ より、 ｂ＝－１０
ａ/３＋ｂ/２＋ｃ/３＝０ より、 ｃ＝１０
ｂ/４＋ｃ/２＋ｄ/２＝０ より、 ｄ＝－５
－ａ/３０＋ｃ/６＋ｄ/２＋ｅ＋１＝０ より、 ｅ＝０
よって、 ｘN＝５N4－１０N3＋１０N2－５N＝５Ｎ(N－１)(N2－N＋1) より、
ｘ1＝０ 、ｘ2＝３０ 、ｘ3＝２１０ 、ｘ4＝７８０ 、・・・
よって、 N＋０＋３０＋２１０＋７８０＋・・・＋５Ｎ(N－１)(N2－N＋1)＝N5
さて、
N＝1 のとき、１＋0＝1
N＝2 のとき、2＋0＋30＝32＝2^5
N＝3 のとき、3＋0＋30＋210＝243＝3^5
N＝4 のとき、4＋0＋30＋210＋780＝1024＝4^5
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月２日付け）
自然数の５乗の和の公式： {N2(N＋１)2(２N2＋２N－１)}/１２ より、
N＋ｘ1＋ｘ2＋・・＋ｘN＝N6 において、ｘN＝aN5＋bN4＋cN3＋dN2＋ｅN＋ｆ とおくと、
N＋∑ｋ=1N(aｋ5＋bｋ4＋cｋ3＋dｋ2＋ｅｋ＋ｆ)＝N6 で係数比較して、
a/６＝１ より、 ａ＝６
５a＋２b＝０ より、 ｂ＝－１５
５a＋６b＋３c＝０ より、 c＝２０
２b＋３c＋２d＝０ より、 d＝－１５
－a＋３c＋６d＋６e＝０ より、 e＝６
－b＋５d＋１５e＋３０f＋３０＝０ より、 f＝－２
よって、
ｘN＝６N5－１５N4＋２０N3－１５N2＋６N－２＝(N－１)(６N4－９N3＋１１N2－４N＋２)
より、 ｘ1＝０ 、ｘ2＝６２ 、ｘ3＝６６４ 、ｘ4＝３３６６ 、・・・
よって、 N＋０＋６２＋６６４＋＋３３６６＋・・・＋(N－１)(６N4－９N3＋１１N2－４N＋２)＝N6
さて、
N=1 のとき、1+0=1
N=2 のとき、2+0+62=64=2^6
N=3 のとき、3+0+62+664=729=3^6
N=4 のとき、4+0+64+664+3366=4096=4^6
同様に、自然数の６乗の和の公式： {N(N＋１)(２N＋１)(３N4＋６N3－３N＋１)}/４２ より、
N＋ｘ1＋ｘ2＋・・＋ｘN＝N7 において、ｘN＝aN6＋bN5＋cN4＋dN3＋ｅN2＋ｆN＋ｇ とおくと、
N＋∑ｋ=1N(aｋ6＋bｋ5＋cｋ4＋dｋ3＋ｅｋ2＋ｆｋ＋ｇ)＝N7 で係数比較して、
a/７＝１ より、 ａ＝７
３a＋b＝０ より、 ｂ＝－２１
５a＋５b＋２c＝０ より、 c＝３５
５b＋６c＋３d＝０ より、 d＝－３５
－a＋２c＋３d＋２e＝０ より、 e＝２１
－b＋３d＋６e＋６f＝０ より、 f＝－７
５a－７c＋３５e＋１０５f＋２１０g＋２１０＝０ より、 g＝０
よって、
ｘN＝７N6－２１N5＋３５N4－３５N3＋２１N2－７N＝７N(N－１)(N2－N＋１)2
より、 ｘ1＝０ 、ｘ2＝１２６ 、ｘ3＝２０５８ 、ｘ4＝１４１９６ 、・・・
よって、 N＋０＋１２６＋２０５８＋１４１９６＋・・・＋７N(N－１)(N2－N＋１)2＝N7
さて、
N=1 のとき、1+0=1
N=2 のとき、2+0+126=128=2^7
N=3 のとき、3+0+126+2058=2187=3^7
N=4 のとき、4+0+126+2058+14196=16384=4^7
よって、
N＋（６の倍数の数列の和）＝N6 不成立
N＋（７の倍数の数列の和）＝N7 成立
＃どうも ２、３、５、７で成り立つことから、素数なら成り立ちそうですね。
（参考） 自然数の ｒ 乗の和の公式（r=1〜20）は、こちら
（コメント） らすかるさんのＨＰ：「ｋ乗和の公式」も参考になります。
（コメント） N6－N＝N（Ｎ－１）（Ｎ4＋Ｎ3＋Ｎ2＋Ｎ＋１） が６の倍数にならない場合がある。
N7－N＝N（Ｎ－１）(N＋１)（Ｎ4＋Ｎ2＋１） は常に７の倍数になる。
（補足）
ｍｏｄ ６ で考えて、
N≡０ のとき、 N6－N≡０
N≡１ のとき、 N6－N≡０
N≡－１ のとき、 N6－N≡１＋１＝２
N≡２ のとき、 N6－N≡２6－２＝６４－２＝６２≡２
N≡－２ のとき、 N6－N≡１２８＋２＝１３０≡４
N≡３ のとき、 N6－N≡３6－３＝７２９－３＝７２６≡０
したがって、N≡－１、２、－２ に対して、N6－N は６の倍数になることはない。
これに対して、ｍｏｄ ７ で考えて、
N≡０ のとき、 N7－N≡０
N≡１ のとき、 N7－N≡０
N≡－１ のとき、 N7－N≡０
N≡２ のとき、 N7－N≡２7－２＝１２８－２＝１２６≡０
N≡－２ のとき、 N7－N≡－１２８＋２＝－１２６≡０
N≡３ のとき、 N7－N≡３7－３＝２１８７－３＝２１８４≡０
N≡－３ のとき、 N7－N≡－２１８７＋３＝－２１８４≡０
したがって、任意の自然数Nに対して、N7－N は常に７の倍数になる。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月３日付け）
N7－N＝N（Ｎ－１）(N＋１)（Ｎ4＋Ｎ2＋１） は常に７の倍数になる。 （→ こちらを参照）
数学的帰納法も良いですが、下の解法の方がエレガントですね。
（もうちょっと読み易く書いてくれると有難いですが。）
因みに、こういうのは発見するのは大変ですが、証明だけなら、N＝７ｍ、７ｍ±１、
７ｍ±２、７ｍ±３を代入すれば必ず出来ると思います。
Ｎ＝７ｍの時は自明ですね。
Ｎ＝７ｍ±１の時、Ｎ7－Ｎ＝(７ｍ±１)7－(７ｍ±１)
これを二項定理で展開すると、定数項以外は７がかかっているので７の倍数で、
(±１)^7－(±１)＝０より７の倍数ですね。
Ｎ＝７ｍ±２の時、Ｎ7－Ｎ＝(７ｍ±２)7－(７ｍ±２)
定数項 (±２)7－(±２)＝±１２６＝±７・１８ より、７の倍数。
Ｎ＝７ｍ±３の時、Ｎ7－Ｎ＝(７ｍ±３)7－(７ｍ±３)
定数項 (±３)7－(±３)＝±２１８４＝±７・３１２ より、７の倍数。
よって、N＝７ｍ、７ｍ±１、７ｍ±２、７ｍ±３ の全ての場合で７の倍数より、N7－N は常
に７の倍数になる。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月３日付け）
わかりやすい説明で、ありがとうございました。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年７月３日付け）
ｐ が素数の時、N＋（ある数列の和）＝Nｐ において、Ｎｐ－Ｎ＝ＳN とおくと、
SN-1＝(N－１)p－(N－１)
aN＝SN－SN-1＝Np－N－(N－１)p＋(N－１)
＝Np－N－(Np＋（ｐの倍数）－１)＋N－１＝（ｐの倍数） （ｐ＞２）
なので、 (ある数列の和)＝（ｐの倍数の数列の和） となり、
素数のときは、成立する。
合成数のときに、成り立つことがあるかも知れませんが？
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月４日付け）
以前、はちべえさん自身が、Np－N＝（ｐの倍数） の証明を投稿してましたよ。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月５日付け）
そうか、a^n-a=nA （ただし、nは奇素数） ですね。（→ 参考）
ただ、nは奇素数という条件が付いています。残念。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月５日付け）
レポート読ませて頂きました。以前に、私は「奇」を付けていましたか。外して下さい。
そうすれば、うんざりはちべえさんの投稿の証明を自分でした事になりますね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月５日付け）
奇素数を素数にするということは、2の場合を考えればいいわけですね。納得です。
そうすれば、うんざりはちべえさんの投稿の証明を自分でした事になりますね。
そうはなりません。素数でない自然数ではだめですからね。
N^8-N、N^9-N、N^10-Nは、8，9，10の倍数にはなりませんが、私の方法ではできないです。
（コメント）の手法でないと説明できません。N^11-Nは11の倍数です。これだけは私の方法が
使えます。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月５日付け）
（コメント）では、合成数の場合は成り立たない証明をされたのですね。
そうすれば、うんざりはちべえさんの投稿の証明を自分でした事になりますね。
これは、「どうも ２、３、５、７で成り立つことから、素数なら成り立ちそうですね。」から、
素数ならば成り立つ証明という意味です。それにしても自分で法則を見つけて見事ですね。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月６日付け）
「合成数の場合は成り立たない」はおそらく偽ですし、（コメント）でもそんな証明はされてい
ないと思いますよ。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月８日付け）
２項定理について、
(1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
(2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
・・・・・
(r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
・・・・・
+)(a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------
(a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
より、(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ところで、n が素数ならば、nCs は常に n の倍数であるから、(a+1)^n=nB+(a+1)---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
ここで、
(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
n が合成数なら、nCs は常に n の倍数にならないから(ただし、0＜s＜n)
(a+1)^n-(a+1)≠nB---(6)'
したがって、n が素数のときだけ (a+1)^n=nB+(a+1) 即ち、(a+1)^n-(a+1)=nB より、
α^n-α=nB （ただしα=a+1 )
が成り立つ。
（コメント） フェルマーの小定理のことですか？
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月８日付け）
「n が素数のときに成立する」は正しいですよ。しかし、それは、「n が合成数のときは不成
立である」かどうかには直接関係がなく、そう主張したいなら別途証明が必要です。
反例、おいときますね。
561 = 3*11*17 は合成数です。
N^561 - N = ( N^3 - N ) * ( N^558 + N^556 + …… + 1 ) において、3 は素数なので、
N^3 - N は 3 の倍数、N^558 + N^556 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 3 の倍数です。
N^561 - N = ( N^11 - N ) * ( N^550 + N^540 + …… + 1 ) において、11 は素数なので、
N^11 - N は 11 の倍数、N^550 + N^540 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 11 の倍数です。
N^561 - N = ( N^17 - N ) * ( N^544 + N^527 + …… + 1 ) において、17 は素数なので、
N^17 - N は 17 の倍数、N^544 + N^527 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 17 の倍数です。
以上より、N^561 - N は 561 の倍数です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
簡単に、N^33-N を見てみましょう。33=3*11ですね。
(%i1) factor(N^33-N);式の因数分解せよ
(%o1)(N - 1) N (N + 1) (N^2 + 1) (N^4 + 1) (N^8 + 1) (N^16 + 1)
33もN^11はありませんね。因数分解は一通りしかできませんので、これ以外ないはずです。
ご指摘の反例は不適当だと思います。
(%i2) factor(N^561-N);式の因数分解せよ
(%o2) (N - 1) N (N + 1) (N^2 + 1) (N^4 + 1) (N^4 - N^3 + N^2 - N + 1)
(N^4 + N^3 + N^2 + N + 1) (N^6 - N^5 + N^4 - N^3 + N^2 - N + 1)
(N^6 + N^5 + N^4 + N^3 + N^2 + N + 1) (N^8 + 1) (N^8 - N^6 + N^4 - N^2 + 1)
(N^12 - N^10 + N^8 - N^6 + N^4 - N^2 + 1) (N^16 - N^12 + N^8 - N^4 + 1)
(N^24 - N^20 + N^16 - N^8 + N^4 - N + 1) (N^24 - N^23 + N^19 - N^18 + N^17 - N^16
+ N^14 - N^13 + N^12 - N^11 + N^10 - N^8+ N^7- N^6+ N^5 - N + 1)
(N^24 + N^23 - N^19 - N^18 - N^17 - N^16 + N^14 + N^13 + N^12 + N^11 + N^10- N^8
- N^7 - N^6- N^5+ N + 1) (N^32 - N^24 + N^16 - N^8 + 1)
(N^48 - N^40 + N^32 - N^24 + N^16 - N^8 + 1)
(N^48 + N^46 - N^38 - N^36 - N^34 - N^32 + N^28 + N^26 + N^24 + N^22 + N^20- N^16
- N^14 - N^12 - N^10 + N^2 + 1)
(N^96 + N^92 - N^76 - N^72 - N^68 - N^64 + N^56 + N^52 + N^48 + N^44 + N^40 -N^32
- N^28 - N^24 - N^20 + N^4 + 1)
(N^192+ N^184- N^152- N^144- N^136- N^128+ N^112 + N^104+ N^96 + N^88 + N^80
- N^64 - N^56 - N^48 - N^40 + N^8 + 1)
となり、561 もありませんし、3、11、17 もありません。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
私は、「561 の場合に例外的な現象が発生する」と言っているのに、なぜ無関係な 33 の話
を始めたのですか？私は 33 も例外だなんて一言も言っていませんが．．．。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
n が合成数なら、nCs は常に n の倍数にならないから(ただし、0＜s＜n)
(a+1)^n-(a+1)≠nB---(6)'
ここで、n が合成数なら、α^n-α≠nB と右辺には n は出てきませんことは、証明済みで
すよ。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
ああ、そんな数行が挟まってましたか。
誤り1：「nが合成数なら、nCsはsにかかわらず常にnの倍数にならない」は偽です。
反例は、6C1 = 6 や 9C4 = 126 などいくらでも。
誤り2：n の倍数でない数の合計が n の倍数でない数になる保証はありません。
反例は、n=4 に対し、4 の倍数でない 3 と 5 の和は 4 の倍数です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
nCsで、s=1 から、s=n-1まで、すべてｎの倍数でないと、右辺はnでくくれません。
6C1は、そうかもしれませんが、6C2、6C3、6C4、6C5 はどうですか？
6C1=2x3
6C2=3x5
6C3=2^2x5
6C4=3x5
6C5=2x3
(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
右辺は、n=6でくくれないでしょう？
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
3+5 は 4 でくくれなくても 4 の倍数です、という話をしているのですが．．．。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
n の倍数でない数の合計が n の倍数でない数になる保証はありません。
反例は、n=4 に対し、4 の倍数でない 3 と 5 の和は 4 の倍数です。
(a+1)^n-(a+1)=nA の話で、n が合成数の場合、
(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
にいおいて、nCs がみな n の倍数にならないので、右辺はｎでくくれないとなるわけですが、
その話とどこにかかわりがあるのでしょうか？私は、代数計算の話をしているのです。整数
計算ではありません。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
ここで、n が合成数なら、α^n-α≠nB と右辺には n は出てきませんことは、証明済みで
すよ。
うんざりはちべえさん、ｎで括れなくても、右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
（コメント） どうも、うんざりはちべえさんには、強烈な思い込みがあるようですね！
Ａ＋Ｂで、Ａ＝４ｎ、Ｂ＝４ｍ ならば、Ａ＋Ｂ＝４（ｎ＋ｍ） から、Ａ＋Ｂは４の倍数ですが、
Ａ＝４ｎ＋３（→ ４の倍数でない）、Ｂ＝４ｍ＋５（→ ４の倍数でない） のとき、
Ａ＋Ｂ＝４（ｎ＋ｍ＋２） となり、Ａ＋Ｂは４の倍数になるという場合があるということですね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
において、①、②、③、・・・(n-1)は、変数なので、代数計算上不明な値です。そこで、nCsに
注目しているわけです。
ｎで括れなくても、右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
それは、数値計算上否定できませんが・・・・・。
（ただし、N^561-Nが因数分解できたように、因数分解できるはずです。）
でも、代数計算でそれを示すことはできますか？nCsは、中心対称な関数ですから、折り返
すとnが偶数なら、2が出てきますけど、n にはなりません。
ｎで括れなくても、右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
そうか、これに対しては、ｎが合成数なら、因数分解できることを証明し、nとその約数を持
たないことを示せばいい？
もともと、N^p-N=級数の和 だから、級数がなければ、ほんすじから外れる。しかも、級数
の一般式のxNの係数がpでなければならなかったんだ。そこに戻ればいい。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
n についての代数的計算だというなら、n が素数か合成数かに関係なく、常に nCs は n の
倍数ですよね。
例えば、s=3 の場合、nC3 = (1/6)n(n-1)(n-2) は n*整式になっているのですから。今まで
のはちべえさんの主張と真っ向から矛盾する主張です。
はちべえさんは、自分の主張が正しいか誤りかという数学に最も必要な視点が全く欠けて
いて、自分の主張が正しいということにするため場当たり的にゴネているだけのように見えま
す。発言するごとに、前の自分の発言と矛盾することを言うようでは話になりません。まずは
ちゃんと数学の世界に来て、きちんと議論の舞台に上がってきてください。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
いや、生みの苦しみと表現してもらったらよかったです・・・。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
誤っていることをゴリ押しで正しいことにしようとするのは、「生み」ではなくただの「妄言」で
すね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
A＝B ならばCである。 ｎ が素数ならば、a^n-a=ｎA がなりたつ。
否定：｛（A＝B）}ならばCでない。 ｎ が合成数ならば、a^n-a=ｎA がなりたたない。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
はちべえさん、少し落ち着いて、お願いします。投稿にあたり、下書きを用意して１日寝かし
ておいてから、再度自身の下書きを読みなおしてください。それだけでもだいぶ違いますよ。
（コメント） 「A＝B ならばCである」の否定は、「A＝B かつ Ｃでない」なので、
「ｎ が素数ならば、a^n-a=ｎA」の否定は、「ｎ が素数 かつ a^n-a≠ｎA」ですよね！
なぜここで否定を考えるのか、よく分かりませんが．．．。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月９日付け）
「Aが真のときBも真」ならば、「Aが否定のときBも否定」である。
そこで、
n が素数のとき、a^n-a=nA が成り立つならば、n が合成数のとき、a^n-a=nA は成り立たない。
ただし、n が素数でないとき、n は合成数である。
疑問と誤解はすんだでしょうか？
（コメント） うんざりはちべえさん、論理が迷走・破綻していませんか？
「ｘ＞１ ならば、ｘ＞０」 は正しいですが、「ｘ≦１ ならば、ｘ≦０」 は正しくないです。
反例：ｘ＝１/２ があるからです！
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年７月１０日付け）
交通整理です。はちべえさん、以下の議論をどう思いますか？
命題「Aが真ならばBは真」と、命題「Aが偽ならば、Bは偽」は、はたして同値でしょうか。
一般に、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」は同値です。これは、「Bが
偽ならばAは偽」と同じ意味です。
よって、命題「Aが真ならばBは真」と、命題「Aが偽ならば、Bは偽」は同値です。
いえ、はちべえさんの次の御発言の真意を伺いたかったのでして、他意はありません。
すなわち、【Aが真のときBも真ならば、Aが否定のときBも否定である。】
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。
これは、自明だと思うのですが。
その「自明であること」の証明のつもりですが、論理は真偽の2値しかありません。しかし、
（コメント）では、x＞0 とか x≦0 とか真偽の中身を問題にして違うことを言ってます。
わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？と逆に、質問し
たいのです。
なお、Dengan kesaktian Indukmu さんの指摘はおっしゃるとおりで私は正しいと思います。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
私の投稿は、昨夜、Bing の生成AIに、間違いを含む議論の作成を依頼した結果をコピペし
たものです。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。
これは、自明だと思うのですが。
これは決して自明ではありません。ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3 となる自然数が存在しない事が自明
ではない事と同じレベルだと思います。自明とは１＋１＝２と同じレベルです。
わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？と逆に、質問し
たいのです。
例えば、三平方の定理の逆が成り立つ事はほぼ自明なような気がしますが、厳密に証明し
なければなりません。実際、似たような中線定理の逆は成り立ちませんし。個人的には、自
明な事の証明には背理法が役に立つ場合が多いと思っていますが。当然、今回の場合や
ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3 となる自然数が存在しない場合には使えませんが。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
「自明」とは「誰でも簡単に証明できる」という意味です。自分すら証明できない事柄は、「自
明」なのではなく、「自分が何を言っているか自分で理解していない」だけです。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
前提条件があって成り立っているものは、前提条件が成り立たねば成り立たないのは当た
り前でしょう。
三平方の定理では、「直角三角形において」という前提条件があります。これを否定したら、
成り立たないのではありませんか。
「自然数a,b,cにおいて、」という前提条件があって、フェルマーの最終定理があるのです。
前提条件を否定したら、フェルマーの最終定理は、成り立たないことは明らかです。
そういうことから、自明と言ったのです。まあ、納得してもらえないでしょうね・・・・・。
nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。
別の方法でやってみました。
Dengan kesaktian Indukmu さん、
生成AIは、連立方程式も間違うので、「論理的に」というキーワードを挟むとうまく行く場合
があるそうです。しかし、生成AIの答えだったとは・・・・・残念。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
レポート読ませて頂きました。相変わらず見事な変形ですね。楽しませて頂きました。
・n=abが奇数の場合 n=2αβ+1
N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
ここで、{N^(αβ+1)-N}は、例えばαβ=10なら、11の倍数になるが、n=2αβ+1=21とは一致
しない。
{N^(αβ+1)-N}は、たとえαβ+1の倍数であっても、n=2αβ+1の倍数にはならない。
(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）
左辺の２αβ＋１が素数とすると、左辺は、２αβ＋１の倍数で、右辺のαβ＋１が素数
でも素数じゃなくても左辺の相方の約数になって問題ないと思います。
（右辺のN^(αβ+1)-Nが、左辺＝(２αβ＋１)×ｘのｘの約数という事。）
当然、２αβ＋１が素数じゃない場合も同様です。
因みに、(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）はどういう事でしょうか。
結果ありきから考えているのでしょうか。
N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素
数なので、N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1} から、N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
したがって、561の倍数にはなりません。
AまたはN^280+1が５６１の倍数かもしれませんよね。もっとも全てのNで成り立つとはとて
も思えませんが。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
壊れた扉さん、相変わらず凄い理解力ですね。私は、人の書いたものを読むのに苦労しま
す。さて、そうですよね、N^(2αβ+1)-Nより、2αβ+1の倍数とすれば、それでおしまいです
ね。無駄な記述ですね。ナンセンスでした。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
N^561-N が 281 の倍数を示し、「281 と 561 は違う数だから N^561-N は 561 の倍数に
ならない」という趣旨のことを述べていると認識しましたがあっていますか？
あっている場合、「 」内は何を根拠に言っているのですか？
壊れた扉さんの「もっとも全てのNで成り立つとはとても思えませんが。」について、
WolframAlpha 先生による計算結果をご覧ください。2≦N≦30 の範囲では不足だとおっしゃ
るなら、範囲指定をご自身で変更して満足いくまでご確認ください。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月１１日付け）
さすが、DD++さん、脱帽です。
N＝ｐ・ｑ の場合はダメなんですね。ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１) が整数になる素数 ｐ，ｑ は存在し
ないんですね。（ｐ，ｑを入れ換えて両方とも整数になる。）
Ｎ＝ｐ・ｑ・ｒ の場合は、ｐ(ｑｒ－１)/(ｐ－１)が整数になる素数は、DD++さんの例で
ｐ＝３，ｑ＝１１，ｒ＝１７の入れ換えとすると、
３(１１・１７－１)/(３－１)＝２７９ 、１１(３・１７－１)/(１１－１)＝５５ 、
１７(３・１１－１)/(１７－１)＝３４
でＯＫなんですね。
一応、ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１) が整数にならない証明は、ｐ と ｐ－１ は連続する２整数なので互
いに素。よって、整数になる場合は、ｐ－１ が ｑ－１ の約数。よって、 ｐ－１≦ｑ－１
ところが、この場合、ｐ と ｑ を入れ換えた場合は、分母の方が大きくなり整数にはならない。
よって、２数の場合はダメである。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１３日付け）
N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
より、2αβ+1=281 のとき、{N^(αβ+1)-N} より、141の倍数になるはずです。
しかし、WolframAlphaに、「Table[(N^141-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると、141の倍数にはな
りません。また、WolframAlphaに、「Table[(N^281-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると、141の倍
数にはなりません。
したがって、αβ+1=281 は底なのです。281は素数でしたね。
では、2αβ+1=561ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^561-N)mod281,{N,2,30}]」を入れる
と、N^(2αβ+1)-N は、281の倍数になります。また、WolframAlphaに、
「Table[(N^561-N)mod561,{N,2,30}]」を入れると、N^(2αβ+1)-N は、561の倍数になります。
次に、3αβ+1=841 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^841-N)mod281,{N,2,30}]」を入れる
と、N^(3αβ+1)-N は、281の倍数になります。
次に、4αβ+1=1121 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^1121-N)mod281,{N,2,30}]」を入れ
ると、N^(4αβ+1)-N は、281の倍数になります。また、WolframAlphaに、
「Table[(N^1121-N)mod561,{N,2,30}]」を入れると、N^(4αβ+1)-N は、561の倍数になります。
次に、5αβ+1=1401 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^1401-N)mod281,{N,2,30}]」を入れ
ると、N^(5αβ+1)-N は、281の倍数になります。
次に、6αβ+1=1681 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^1681-N)mod281,{N,2,30}]」を入れ
ると、N^(6αβ+1)-N は、281の倍数になります。また、WolframAlphaに、
「Table[(N^1681-N)mod561,{N,2,30}]」を入れると、N^(6αβ+1)-N は561の倍数になります。
次に、7αβ+1=1961 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^1961-N)mod281,{N,2,30}]」を入れ
ると、N^(7αβ+1)-N は、281の倍数になります。
次に、8αβ+1=2241 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^2241-N)mod281,{N,2,30}]」を入れ
ると、N^(8αβ+1)-N は、281の倍数になります。また、WolframAlphaに、
「Table[(N^2241-N)mod561,{N,2,30}]」を入れると、N^(8αβ+1)-N は、561の倍数になります。
次に、9αβ+1=2521 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^2521-N)mod281,{N,2,30}]」を入
れると、N^(9αβ+1)-N は、281の倍数になります。
次に、10αβ+1=2801 ですが、WolframAlphaに、「Table[(N^2801-N)mod281,{N,2,30}]」を入
れると、N^(10αβ+1)-N は、281の倍数になります。また、WolframAlphaに、
「Table[(N^2801-N)mod561,{N,2,30}]」を入れると、N^(10αβ+1)-N は、561の倍数になります。
以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-N は、281の倍数であるとい
うことです。さらに、k=2j なら、kαβ+1=280k+1 は、N^(kαβ+1)-N は、561の倍数である
ということです。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１３日付け）
それだけの式を並べ立てて、結局何がいいたいのか意味不明です。私が訊いているのは
「281 の倍数であるから 561 の倍数にはならない」とした根拠です。はちべえさんがそれに
答える気がないなら、対話の意思なしとみなして返信を打ち切ります。
ついでに言うと、2≦N≦30 の範囲でだけの確認は、文字通り 2≦N≦30 の範囲での確認
でしかなく、N≧31 でも成り立つ保証には一切なりません。倍数になると断言するには、特定
範囲内だけの確認ではなく、全範囲で適用できる証明が必要です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１３日付け）
リンクより、・n が n=ka+1 の場合
そこで、n=ka+1という合成数の場合、N^n-N=N^(ka+1)-N=N{(N^a)^k-1}
等比級数の和の公式より、{(N^a)^k-1}/{(n^a)-1}={1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
よって、{(N^a)^k-1}={(n^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
したがって、
=N{(N^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
={N^(a+1)-N}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
より、{N^(a+1)-N}であるから、a+1の倍数。ところで、N^(ka+1)-Nより、ka+1の倍数。
したがって、a+1を底としたka+1の倍数である。
N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素
数なので、N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1} から、N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
そこで、n=ka+1 という合成数の場合、a+1を底としたka+1の倍数であるから、a=280より、281
を底とした2a+1=561である。
Dengan kesaktian Indukmu さんから、日を改めて見直せというアドバイスをもらいましたが、
ちょっと・・・・これで、納得していただけますか？
なお、Nの範囲についてのご指摘は、別途に譲らせていただきます。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１３日付け）
a+1を底としたka+1の倍数
倍数に「底」なんて概念はありません。独自用語を使いたいなら、まず、それの定義をして
ください。
壊れた扉さんからのコメントです。（令和５年７月１３日付け）
以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-N は、281の倍数であるとい
うことです。さらに、k=2j なら、kαβ+1=280k+1 は、N^(kαβ+1)-N は、561の倍数である
ということです。
Ｎ^(kαβ+1)－Ｎ＝Ｎ{(Ｎ^αβ)^k－１}＝Ｎ(Ｎ^αβ－１){(Ｎ^αβ)^(k-1)＋・・・＋１}
＝(Ｎ^(αβ+1)－N)(Ｎ^αβ^(k-1)＋・・・＋１)
ここで、αβ＝２８０ より、αβ+1＝２８１で素数。よって、Ｎ^(αβ+1)－Ｎ は２８１の倍数。
よって、Ｎ^(kαβ+1)－Ｎ も２８１の倍数。
Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎ＝Ｎ(Ｎ^2jαβ－１)＝Ｎ{(Ｎ^2αβ)^j－１}
＝Ｎ(Ｎ^2αβ－１){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}＝(Ｎ^(2αβ+1)－Ｎ){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}
ここで、αβ＝２８０ より、２αβ+1＝５６１は素数ではないが、DD++さんのコメントの「以上
より、N^561 - N は 561 の倍数です」より、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎは５６１の倍数。
よって、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎも５６１の倍数。
念のため、２８１の倍数である事は上と同じ変形をすれば良い。よって、示された。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和５年７月１４日付け）
倍数に「底」なんて概念はありません。独自用語を使いたいなら、まず、それの定義をして
ください。
もしかして、「底」を「てい」と読みました？私は、そこ、つまり、一番下、最小値というような
意味合いです。倍数の初期値という意味合いです。
壊れた扉さん、まとめてくださったのですね。ありがとうございます。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年７月１４日付け）
倍数に「初期値」という概念もありません。
何にせよ、私の質問に答える気がないようですので、対話を試みるを諦めて、これで打ち
切ります。
以下、工事中！
