任意の自然数について、約数を、A、B、C…　とします。さらに、それぞれの約数の個数を
考え、ｄ（Ａ）、ｄ（Ｂ）、ｄ（Ｃ）…　とします。

　このとき、　（Σｄ（Ａ））＾2＝Σｄ（Ａ）＾3　が成り立つ。

例　Ｎ＝１２　のとき、自分以外の約数は、１、２、３、４、６、１２　で、

　それぞれの約数の個数を調べると、

　ｄ（１）＝１、ｄ（２）＝２、ｄ（３）＝２、ｄ（４）＝３、ｄ（６）＝４、ｄ（１２）＝６

よって、　（１＋２＋２＋３＋４＋６）＾2＝１８＾2＝３２４

一方、　１＾3＋２＾3＋２＾3＋３＾3＋４＾3＋６＾3＝１＋８＋８＋２７＋６４＋２１６＝３２４

より、　（１＋２＋２＋３＋４＋６）＾2＝１＾3＋２＾3＋２＾3＋３＾3＋４＾3＋６＾3　が成り立つ。


　（Σｄ（Ａ））＾2＝Σｄ（Ａ）＾3　は任意に成り立つので驚きです。証明は難しいでしょうか？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年２月８日付け）

　Ｎ＝１２　でなく、Ｎが素数だとどうなりますか？

例えば、　Ｎ＝２　のときは、　１^3＋２^3＝(１＋２)^2　ということですか……なるほど。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和５年２月８日付け）

　ｋｓ さんの定義によると、N＝３０　の約数にはＮ自身も含まれているので、

３０の約数は、１、２、３、５、６、１０、１５、３０　の８個であり、

　ｄ（１）＝１、ｄ（２）＝２、ｄ（３）＝２、ｄ（５）＝２、ｄ（６）＝４、ｄ（１０）＝４、ｄ（１５）＝４、
　ｄ（３０）＝８

となり、（１＋２＋２＋２＋４＋４＋４＋８）＾2＝７２９　で、一方、

　１＾3＋２＾3＋２＾3＋２＾3＋４＾3＋４＾3＋４＾3＋８＾3＝７２９

となり、N＝３０　のときも等式は成立する。

　１≦Ｎ≦１０^6　の範囲で、等式が成立することを確認しました。

　おそらく証明できるのでは？


（コメント）　証明に挑戦しました。

　Ｎ＝ｐ^ａ　（ｐは素因数）　の約数は、　１、ｐ、ｐ²、・・・、ｐ^ａ　なので、

　　ｄ（１）＝１、ｄ（ｐ）＝２、ｄ（ｐ²）＝３、・・・、ｄ（ｐ^ａ）＝ａ＋１

　よって、　Σｄ（Ａ）＾3＝１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ａ＋１）＾3

ここで、数列の和の公式から、（３乗の和）＝（自然数の和）＾2　なので、

　Σｄ（Ａ）＾3＝（１＋２＋３＋・・・＋（ａ＋１））^2＝（Σｄ（Ａ））＾2

が成り立つ。

　Ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂ　（ｐ、ｑは素因数）　の約数は、次の表から得られる。

よって、　Σｄ（Ａ）＾3

　　＝（１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ａ＋１）＾3）＋２^3（１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ａ＋１）＾3）＋
　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　　＋（ｂ＋１）＾3（１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ａ＋１）＾3）

　　＝（１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ａ＋１）＾3）（１＾3＋２＾3＋３＾3＋・・・＋（ｂ＋１）＾3）

　　＝（１＋２＋３＋・・・＋（ａ＋１））^2（１＋２＋３＋・・・＋（ｂ＋１））^2

　　＝｛（１＋２＋３＋・・・＋（ａ＋１））（１＋２＋３＋・・・＋（ｂ＋１））｝^2＝（Σｄ（Ａ））＾2

が成り立つ。以下同様にして、

　Ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂ・・・ｒ^ｃ　（ｐ、ｑ、ｒは素因数）　に対して、Σｄ（Ａ）＾3＝（Σｄ（Ａ））＾2　が成り立つ。



　　以下、工事中！