た。
整数解[x,y,z]で、gcd(x,y,z)=1となるものをいくつか挙げると、
[-490529, 491011, 495884],
[-63315, 75847, 63383],
[-14360110256252111581193619722570735186046678182174441026633,
-14321506955548097403956620844664919156121754869176491834767,
14351183770196639116882400420579708672155307180341052547408],
[-770946641575816525046722507823586008906457086846900909813,
-1435228440463379056830125040144151468227058163974354421275,
1434541819797594164060347002873978803678752511796916084613],
....
となります。他の整数解は、上記から生成することができます。
また、自然数解[x,y,z]はかなり大きくなりますが１組見つけました。
(x,y,zはそれぞれ71928桁, 71925桁, 71925桁)
（コメント） 解があまりにも大きすぎて．．．、別ファイルにしました！
Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからの続報です。（令和４年１０月２日付け）
■自然数ｎに対して、不定方程式 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n の整数解[x,y,z] (ただし、
gcd(x,y,z)=1とする)を求める問題は、楕円曲線
E_n ： Y^2=X^3+(4*n^2+12*n-3)*X^2+32*(n+3)*X
の自明でない(つまり、Y!=0である)有理点[X.Y]を求めることに帰着できます。
ｎの値によっては、自明でない有理点[X,Y]を求めることが難しくなることもあります。これま
で計算した例では、n=1286, 1328の場合に、整数解[x,y,z]がとても大きく、求めるのが大変
でした。
■n=1286の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1286の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-16021219648245630909391576154422662560815935727180945987812011432038294690
8912915251769199903071596869917521329816897060905161916184694332715499667885
7602140634714224214279353561299123164437591647018411849006920089546088052358
1511301452498099818450730985078765363978222105422303537047420640224055960084
1765831311226169766386123119293685509716561774144480591267725604868357624058
647625521562260495838832690873,
-849742249600865992657546644584769355624335870129325164483301048583179435178
2445706205130286853925026604375969821259253593176059891504111940324563656501
2376925995498069345468658360256482749985111131283799790538591050628513907404
6174405654828602324593364633594791113431537195255484551015013401762149055671
6433728692150199589598073433665095120471698586415296561020621625447119476766
5647221400349360818341534912,
1601462628610922637165719978758081082498370307700785516169287513065450280174
8420090845148624431858386025284002021393031854891166165906699669862672570835
6592194459743787126365278651857322933340437399208975490592599888742464914698
7105643327963212269400540509308997680286928238636456633731391348461619460458
0897025599194665270741133175522449552784054800942075001469981155637337316912
7362784249915217995391992545],
[-13564709055971551001810925975164400461596445673285013124564397765361715414
2373839536828793690266596036739801212796107536778516576339827924679107724913
3868389472689604091254848568516778211508831709698038353432563941716780426484
8943594878965159817786053463511372006970338591511414438484239605875676444962
4427678912973907877381307368958006997181753886192763882184085444028044139086
989552173087111655140156299957,
-135958354534783611232943012797354498626215720306777846558205917050165279439
1198532165694623594489006769023880311636495207795206787299707631246642705564
0228667497600096749186493972155826335860775642141061000499586898857111348742
2666317683907359336324547881173954255751601309210115829807481574030226065184
0683625535632769547361259980200438151706996565211819150713696017744863299919
73201449534202243840723240213,
1358853165155005153574211102027839858383750110602152095630705276495221801242
6756848410127311174935554674429029496328228011076993935311256698654426429967
5417726019441268257940657179918953486235021669330961056382604215450378862156
9350421561858900019156612642258524462914102526147220812604332835084404173278
8082726463132751744352500173488086989872094361472090800808319168017149110787
1344398954221850491003280677]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1328の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1328の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-85006210487055288369260696218745460751230905544924076769303629948455460547
3900595137147522918582440934785810084071622268744140276780142858610522794533
0647999851321093955484341518648556206881211212442190418597988214714493104334
5040745455751563567409990088153285124286967402856092256303862682581209648964
863062575713559899451184790461745459,
8499918771694455550584215678670489114858336235436757302315365791225999446090
5726748122346634050729393828123321691033092624167681974284889525916957979171
3823144230495546587906593120570160596738443129832265975747257547275875334557
8962420679281627854272285242107563388715202564163824495037819388871043222756
1686910436398194868040321325641475,
8501253776370302624502642862202203487274292944216678483869318457996788454188
6023298630945944358379576350658451906072497732407232573590626134855136879682
0992923341216387266020058952518571944689566265180969821684848217331326780986
4169810252565293455173674960754767775610357541870501114812382750391624047464
4039831633957277581275074291475104],
[-65993720436720084932932907299640489314024396129355571640290941302524356114
5720803825163080311904414649130300503099960025660044080225774381584056932994
4151439458573000391017997635406181737473719314978907427007853025409530130498
0030056260398720171413266660937321582857714313020888395129611665312874545306
42903847338196208248144654630215109,
-343669616703897431532556787491465575003640099648860580501866976645696882162
7939406960585041379950309095794324700643666734057479295337362156925462077180
7051958629806133481028717884342938381031151057754296710108988206114499330928
5303172005609830019461098622137025288194299688771305999516404282048571980307
851269832550951202954429326842779,
6599113646521825059111828847128919604684408941832613426698639989277079059585
4284240661335912858816723266238627155509624265174064381893685934786078199629
5605927878024721183646564744049764981767112685891432637048489925411838510978
8870480316901882628469478098433919674982387074721524085639498246713862181378
184123134184398694922909860709669]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■参考文献
* [1]@kaityo256, "a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4の自然数解(a,b,c)を求める"
* [2]Alon Amit, "How do you find the positive integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4?"
* [3]Andrew Bremner, Allan Macleod, "An unusual cubic representation problem",
Annales Mathematicae et Informaticae, 43(2014), pp.29-41.
Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからの続報です。（令和４年１０月８日付け）
■n=1456の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1456の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[571791687338475117363272032087841829277555077346132986306755205480905769285
7000634905121944109952234074240805730959807560767608012819015317510267550976
7620619138271341814708190722150229474006124748908271064598515033847987671814
5661654273242076617412144145664884975721198339836964414307940369616013308543
2709603,
-571378261901812976996866390095312437336119145224580214363944867245582344007
8755407648580508767627420556253622990178418970538789530396661638964994985039
7712617992489919919787652983524303076979659423403971737825819202132901612944
8575925579661206260305279099694070835862213401259853658692627028958182221907
4974157,
5873568507104321839280340659401325507281280324998212609971170134146494012741
6735228514886030743528430489092303640687713746975893612627695179778785557823
8771166901311978613138518776790506321037320267782999423355666977938217783190
0430070220794738909853610005220101262910309344162617166263820966131371561410
485377],
[-17666690399538675182550313076895780652519285115685040142637377527152935144
4145068083086006508590234003958000293303918393042556823385505764679817277116
5693338392772389591399432789684764950445468833863233004567292380798950111136
4291648200622796801887209799147889836030007036024562526051519561684734889096
455479140,
1767963197274825872940391809087073025232261060508044444922252031708304222642
0153337336022337896792296241457608080524022786199731860052995564835172300886
0844113909071266457915676746502526650504101053864601230052995128120219844065
4620647291242827724537282890718941450437167958991307623660912380237343247484
7539699,
1860552209773280410738256072648897395564267392155777699430423497442236074670
4750564038895462908381163001773995389824548649635921675917634544401813433879
3795064931591000382953415029653384059597967814998245064291421088485627311637
7388329781272204847988265620396958571188033805044520644500907052807814708474
2168471]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1601の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1601の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-40959167170952866536786824282893308015188600214497203611596597844099330847
8950565954339447828056578769033089805775805927601308976958206071254245266509
3653579674721693240011497020543649179057625119532293465802454577811671622838
4187900635611948874885311390704759281078596404450455807014082372068247189133
9950949607800611475174597819629645093911998372317926882942824482245744575567
1,
4097711306778720431893407031820392418555758729926692194492763813287840803536
9850702880974215962043325198100280116812071258883035524174086006525631460063
9884495910315900557553776764494667193388840265426230619807398483105226461855
6379079047511964044800867699390119001080842489853829793439228307727634676256
621568243942752408182469791582724286178160366117453206001220156617078202200,
2880240541179262013581940627696053475704482430257303243663727415958351629478
5841748266418413368995720490095885511346004562895270684403512187067137486772
7881981428814255200049834991778868589508514564310028506742409803679978412399
4427202813328028191975213409041705197721674854048725369654261621973913203020
761820863919987860706864644400267072642042899043522561165863738692254543071]
,
[-29178764649418779207212904272756368501201094907039016799807577825381607504
4270895848178151109544099227508211958852252281950921364395461379524112977358
1946649580197706043585338124842234465779564390450205255539626181385980230941
4334775628907237799345736624288939614415882594277093818937432899120686703324
0925719752728378082554718657974667076057198191249142766150855484990817937082
9,
2909272174465401013730539930111225392100917832938005122478859430451092513323
7385787202277730128024310865270834085633664546340950114978897897007474028360
4563765865100407119230635130595134803189093637654402539316609501205217265088
2082621546309112909144173276937500891986072495976188701738147415641132421044
369702451129838601756583924823257841682111735345603382049800602410821479571,
2919375476567470482513938144285953176668168375804049155084857554261075444349
5734946881488721967498306411637035954657061147827541813683000567883994328083
4405803653657246564344925953278936501752667820554429254330190239784057952193
3754447641518812960424458712493656389999154281680422378128071321132614358905
584921166175664763528033805588451257643213149712671189088645783542816025629]
参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1601は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。
■n=1484の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1484の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-61937072574750659772376829646646254080886738117740738258685250994952924732
4903411120644713895519223644026562327575958262618688715610255097973201399994
9626192222411361217325017596964253571580899509393969953677553354955118091187
7235919104040327499004131689729833988819585603694411876536413717517320163541
533507099272322592,
6197580888682168709641687067525116886226333736866024049375142226271127022777
0480221160637837260329143628966741096886118987345929235145508516054805270076
6453170099288395975105046777052024965677911098689087600149714422346374328471
9616221675081056942861558120544295891384385871052495774583064734888990383596
9203177052412697,
5813630047548601335314819528384104768989444228275753111593646981499869973267
5787872146589627726150226984702661589562195784052006834027716518664093784720
3686030566295247032935536821415307802849789368619876857156465440652393493872
8253442207106378735175526549769284889374493333970982392062885163504828337721
4095440522581623],
[-21684436935065505945760288309666088260466937870926188947511025775398185728
2001672581419133135205861290533865839404338974128636615514061377946711443040
1638854742474862744051320910910526815304721168093031095147581780527215491036
4163413284435743848569398455834755585254900484370274156305091271402145125839
123276359457286801,
2124675415285146985067214935989724973721773540670628778143497562226761429545
0610538758597921459484914289910914896214988286276717778257623121796628088748
4519374614315249019384924759812779489925793653906497962185511910139863306202
4288497697386570222972468703087651153425455569795293401685349512837415513509
3694166922837681,
2169828676682518083683225939023086087797136471339250854733840024187969614337
9170857427269486124921305889209593587570463197257850541740439198607568293406
6961511058844802069063626196865568545175446002053797566887418774240795243311
8284181190874213269515787756035403506054139105135378058768590616796722809868
8996802653579055]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1836の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1836の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1041864811975923002155943783047615692647760539692517184738510956261988505
758740460578709568611255785284319467354024325468453692334796451396636830335
590262214782063587196892709472049549282099848147336919220354220459091919160
038783565046145145924188986815569193279413968878485296971529217062319760318
331961422792630624202767017494800118901047516685531800727886131710413595387
4519736344,
-44068072475159481098615992792493869926381240185553838622547660544121077951
799720210899248018396245328509376602521682597531593554663569842252817091114
107703626598284122167936341355880184934809289705578883043371230155903741617
649296727525984781619157898450912882686002811796558523791221433569518729495
531079561874171892612478593799103624484171338203297655186571322975226087659
71700321,
104162510787326411138583391854524154920418461555026940140099987981956478491
332291802471931084813808309961096331216886260479072365786491403663390589288
591475155604588683187434196025108928331933804957971397410007663145942206260
725656312885054038830419214576982468583234274657519878890174537492338922682
487359985134676744164811228847621203521594837945337811100928690238017981700
82953261],
[-2335927679334971859652168230163948738399940910089693152117838668243008039
973917129993023007499156671254003863304721309050865633666472966347840862728
202760601703639382085475686163770333573230807039955992177214752398107737675
333246147198748384823439730558428734825907406861721060508416889423622534444
984575022872456952942670762069098926823196602897097715762306763716670450207
69129064561,
-23385480181805645421710233870104126681224696546434853213416897748300020711
464745690156550982719985546618521736923786826620789304151881333104286722810
976127464085154981533991366814860136575537764168051735997084573567734029004
033909761573526427280934197273090735897767008516826100477078042374718247963
158686479755830529372245192541780663474538410658785634822961928883688971312
0314401159,
233779222958944506878343888164089893518920090999078219867240938380633646121
434659047378382651726416068596423529441094289401726514940130370965227106439
880895464372588712862787812857601933948220497742184056844787697745186422729
449578125580307517219157073679602647681532990354823176407183524464776020740
713013934317945970281168003275611328425460973364815934205632580602449065098
188122015]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1956の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1956 の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1041864811975923002155943783047615692647760539692517184738510956261988505
758740460578709568641867101150448180147467520901057573210703590052001853250
806715068860495964028127346467102396229009788467928876955450579086155189679
186720320683097129682776395305204981143658077659306296142770695912357586917
094924532916505034121918886065741020815447520279608807877492454101991354226
480772848057045099047099084460753068532292102977920014646863408782414760226
708986643767503740413813678306309561503459930873666787951188025815537741939
9,
-41841753771853248438613089559960831018854056865581065395569044772037627156
910938279657874132766185730523330694856014051832316773903613013243306697821
830621938307774635411563425901961060490945255024341253962564261327376767401
181791630024537564371357527739803403789781079150358030407506337711096230735
956319677969886048044132723324812378864981301062404753533479885292684272441
6043672098844661698044168571640462413749185099796414375899,
494516334711523259862263657302010703269904082704814824119765952890558391485
539711140670873831916927575587331005841499243811151631489774586989833258086
080634748768432098638011434532300988484365872180050224906031354738752604473
444742045765788294445502956033017088816003355434938124370945826463329132333
972142559390739371372028744018859676576300924860896390300326591509427002096
176816662427314680297176863132492047816434041466926282375],
[-1605581559530362417284456571719840631165488503828871667902747310299941906
026736069561827701784691558663002590516014820238400813407167976099798722414
315788772790817448411267742640427440033783758499665651910417245715751453315
036652077560989589631089005545220205911841147047669340108384703203579392531
975524013171856799830601928568768415585234343764563473000831850879546210289
17755581187456308250916945242181588112843561107037653979903,
160647611131356276054902005209292406828957275801114359605461931182804473590
836737656430301578457547634171893974430362068527146388655822272655713098141
030076002654645265840483527837576066170888782569160418477736709105819675348
639174716335174122169192972388637469334028252902532852603215543348204089750
429265835441227848755022710300120860890796496488114500811803375654375693595
093640075874801456665636764777231025500627308568119425153,
161631620187994854915545870626815770968725852267668894323178540079382229927
016325689683385379166025070230523466032260455928371709390393275564840426491
542387514697820044224391749522192303236465571213778600743149289115394247383
276976748036775708603735152991898556543331998272632951590456176156046504861
032246467097540907974058889094586724550758514993145612053594540378548675199
433525335716711573259726392842327098421638479422288019028]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1396の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1396の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[37061895187457444499719377297154800298861695931702051693410138954087161283
440131351317305412485722015244695734958926170699799925252021374388123690466
081068569395949532311025233718925050842696835204265302825316128920728899515
017967752401773412415274899520455567366404229413654226795352732657809881337
430870524731645638170753239595205477943989152174722052723417713382987927509
180213487735835747302256118770624640927939242892178367785582473953559493203
203776055155509154878149659166578370472671610416052913935923556190683853612
860968271760399271591790631805877393697019242398904212267695763496017809443
9282826701269515,
-37028779336539364698561279504859745239208388661014781173115582195805055036
165203807153897306321072831298018486116275854008736782914148735555517230244
217785527753871269480380271613301914423612231773248930675659736768737403173
794919588118251548464159395908908325438504399496001296875532275222945961578
466519046821104593645646065375416396078369917682054076957387540200196023847
159062944366764810384352961548119959138900629534775697899218490211581424530
328875517498821281041572296646296315684966389942269951735473212602809802460
697044493623087347187485127680633923565801360521301115039671704329403777174
3585242067645489,
461093101572259429847947193088772659747821657281316825563009312845403136665
108227166352333050512356460960925030476958902985658539029791147895542155348
389681586621068009831635624508257025800685973432189002004997782216416893423
045663730481183615064521320893990761518517785939667669841848307185480065689
117877948931767450717820066598067793459132365824257499123670799656325653995
862663486092045286312007108406649671324797313420698088139127229733463535137
548741543806675226297607613355430415931141624944565896251274601867249932941
100423686424163371251499431024402859297901995282535129398064333403378220806
528614298935044],
[-2731525106690160616867437327028518540906222017285113277678268907424020071
189952081335012512638240133378559632546103833472021616154308634894488118636
049940893128964021871515644654281082631932087479075539624403874573421705612
663929832714358864713327373080917275179728312842288106247605069040900055365
820757330425299636977950396367423406384491291346807034925878924223409192959
164980965924143087771733784395015854242466048685191807083692497957050462114
674654912351832727332042374016591001201855195684856872529667704553635672237
112071327447229297890561871859997986619229751743415663761328085704977442067
78550657341948127,
273370913584107941579580783314628434655654751785178206606978089249368434970
806213438328807848347487458140436793602202557174905671415079811264506048679
488797098875523135453410638352866506745614143785555740219564512174546071592
989920578930076114899995554959236365189545011364048122208979218298388843042
779619554513450125911199381457798795399917922632898644931683671292338821364
633243354275024716024886943990289867453904389413681787936483608090150878520
382671527664914618452082189645688851462406374953607240121147850413187972219
819008059100276769062666700436964995468932532078600134783667604886092198166
501448817435747,
275152926069578597438967194786530669201052095647062834038758280405559444065
856518390840459260232181614452017586417958493106116448299298129517176191958
610613131561834346846455940974847912787323041206004276392202842196382271574
084545887497661815247570814302671411021629790391982397492464059316267807279
236482295409951922918104015229291796960304671716428997070540587147787034796
605918343737013415292379046146427701908896053737645476339893467629384996403
044032768579779627872712645140856254997572083429731323182891565199441095657
057299350863308201612622788563333918806538297262331067143856717087646340165
944671126108083]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1848の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1848の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1596973703070530001327669566897736130478784498489663761455159004776750409
497438307432283028405078580656137087542815550391091895629455710057113144073
793423595022979485033860060136843218764142846347766058890389930290857340894
570213662558437467408356266471508840153743428113430576511537976491062143052
566089612963290786139112260932082095678276852474762134200743213871648834603
637263157725629860785683557091712361245407145573174630610835080096699124073
826126592780571956456518075387803501672800131662254851299100753011233669359
284844881988615509079728897617279591651979862657485608964191804101762659282
321908898359052650685944056740880579236953221820804743180548950390048306196
216800524899767681978189515220704524639816751783501622354235034084826133603
639069842295187258882580340213144039485689107708537914026436264069440275380
790029356046013438044358987523658092287592939910143587773099493255433483621
109451887159952504712526670718107787504939846725823980746250968933290728437
897194573269350310410664824895621245012457926316648872527125431934729034657
87847419793688896848943,
-92525789563769240617285670369020511371504601480756149833784207874131081114
328945538721163778967355821752480675748513437850901658340739602091318400143
403388152045121565202960394013639693074563252033477056027489928801695287740
651076909550852285083164763276444634285282914231713081736777966784426517012
159903081711640860991513923159201727177414278502331191041279371801680255617
831062322722215043540053428152596266215152037381063707260073894665506267538
699444763498618780078302565711668708647517852738212489399195199576674450869
373413064706863200453004846211224542794117692399245603344097452476670253835
886502702193378953238570921740153519058370615177010799033375438601893611781
984132388588526512167175034196418732513750463088582852254104519309978595260
863894345463960734002681925457327582794310838461156520518261178967608842224
446130297439027981254924319648164716601150362646588559843164436375205153739
477158472843181179712423521253029016965163944761399624755562613309511417327
196081078612313926284247866011806003483505510739945665523400436188166918284
943040975503862828125,
924393260204484897965216427743135810118241356863554271176580029386031507975
014616319622643394513812048261079702103411146522301361873074893350016310940
928694696637039299449621652508480461530756819658174180683187153368978822980
674556439323258627956828833823733186186263600218434716982123861263627352291
384647041833846122765001793358453018532584916028975952101131689081648208009
459751341118175091096355479441145432543292878445933176616106409182595428167
154416445654172003885459649839208755611876349332924826549470974205387841459
862410478606889163463360764393829332435350164027902276038312288874263798159
412751981116918030580930480485004743939059525795144785715465039230460325836
381775859388228744424029599586720542789399370052429147660744741340995957055
179479355869536297740210326879636346025495863448566295473952636831340400838
688438227942154812968234413633052835905524087857875926361424090009168300668
492558914796012455394822869356902451661607894439400532227955827215007201270
556156507500716724349881436846281690924691244620037799223937653574408441527
62613093161913596883],
[79769370107363578211961826869800712793888445857593191913946095194151458094
146848765716799074679398383764674083902365696084532062038185332718625011252
756893775469675889585488945464260523952291871941600239381303307062967983835
432312624594287120032298853706999292678132641855803738565318780481359286956
624297248129765619778784784082629854228503891670868995672064467369744571687
540890604423653558258205485263827067138023120253904570639092007407421129443
656537162337806978464919495142634231645943927686956075654843827699170672608
500049416920351396359246837657390088796441084909235838605111421080483968669
925973895553774871716622083100743863284904317908336645190369610192943645348
891267050408955006086035871554666847527736389940003295740443508452856466411
761357145022330603976436281682752553188397008591134817640793120182177156709
141292714973890351662580838128817542751165785012588350049464865660467841735
549694302912673826031629307287595213439713940487497882700150689013157759584
115728821971008855962676673322545043900208595485645491273172364124926887196
664388796821266995471,
-79564468333981644205393909273498109259055984489330430877742421276638469289
091042726111819892673398341521693759068138923850196779504047111469941505602
104440251691008831996485365918494438631936676889804630872346576161014774492
143525863500001059079324301622686232465784765132949607093427160453269021549
645706252370830313028369230685009071565818168246101515258119741082554798251
809134689198241772378713147449449873847963833059883608112557653684002579300
488605291122262365493218669618808504706175548507343255237376228913086730257
663438037726478684887671508518114396988027494826471358292733676055117832195
769339166672962570378319343131768503578320687073639954759718091485287692908
620616669163730331256545265994771629252268282493365974184512066035083316092
803138695059397787813599751658521350535886998713817943875406662166688209235
330261162310566720956572153184020019126025203415663006233162296733056103292
538736144562111314772517241194543590957444823026510797706945489614448632985
846746230223941997243295528051340173223209037845926868575514465881179486978
418226044251801065124,
796191076167326179809932391811107185129366240943235763103628604507125891597
754646935073266030964099699573062258254812432015519277323094365550192291124
014393568012940343350454938208654187920329292018395386924141381908160310294
522235694998434034840740650132480360586685657113387006881858378681138844638
815128277985450466262442318598914293321624703560611517902957755561711127528
146720346610600470405107534098644785701341523961388458327465616878224116097
224392856603562132024266747557448028905218183751484222437503600777443185317
480778699866501941229533652998350315154901786517069456983063813421228182783
244200639129798438626715745043093350223860296984046086267063659029296197782
795965779224673022359560146276331279109990059185190437204306292249494445240
258308261373981725201293175126559257898842617425183172770097909340635472457
278999856339266411687867843162430620715843796366713651710785021895785206995
772611986595907757425265550621069589718662395843140061014201831262708844175
185692840702149031104157538463161101864004090051357627301495868117482378174
44571507678840416739]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1575の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1575の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-18827442357871094355979606798982947479920534575047812450966377247234947858
5654074517434439967224226548938343058753837797959078771794637978286404605816
9716574833818112113823773949453337431250181437468812979615395109340675213588
2577240762333959639824528816382225183615317943157143816614757658206289504227
6748980851860744142405267306554781305192272476156285528429883437959002027157
08739146861685245349291109185814059,
1883727479375551278871763846054727022107240726154946317159779282640430737465
7510417050998832561516046098961551134988786462603328366840507539668617657847
5923045450618778921088677058090148569300199068381098022017608693217790290961
7635780785968599036775123992087069521064196400584842446650334776172348714063
1602087330038288768058423509863289718249854758387947645091990221229055299260
122006620024951855505523620443987,
1877097336412107757399480593553588573669051261389354123669089370605703966310
9663616574884834322175150450580413211691110529221024279858840731266520384187
7707865095450629657436867961699627947823060873045832978917984608380686284581
0564622373566907879690802671042644144325982542612344206867283448405841371562
8594209031418229534177282786477898390256959346823967392656805387881264858421
662037495243079901609681852107875],
[-941034962029829750632826127286369484970802793775957607699409967972399703507
5763353026515564942460350517264093363521405602459885668980775277623013775468
3731601316955107385505812690978346249630056448651733007011338372647950121541
2946457213650304570349974969044116908036112997439427327216080599646350045273
8234053695524870165483850517821707060238381196750208868698266418294276624699
85242361924894872560616145410253,
6618637059461634939932650380491188907849738873970593958173949087302107651130
4865695227568474470213387803637410919259342795245683603668075123491939096843
2544977287727831501187492352536098630151767723842736777712266560266749176340
5768251925733836167656166067632078813152369310466708333527320807248271706813
3879478415729826604169647844855755408416330902767062213069369802488509739461
2654190790601992458085889512780,
9414541392233218435988345170223692060878669442050564233095647596609170260949
7529708800024592850411968676654922969655518933715474072747861775783331568725
3906048577694225940494737553938467727223714145552519789230681041155379792472
3634368057762788280114909558988327377166529487036989163920266330679783779937
4614311002092379899418733739826455521641975170397975126933317213971450734710
0626598794426976736879797423289]
参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1575は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。
■n=1718の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1718の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1266449519962440036164309704011785977941611200512172464980249841773996138
85539057977793883585404538167139249629266609561898483343410680757052544838
95445985103751853895523884827722802414927279551476252531215131330929418524
948936085238399866844388781812675200,
12668903174028151680035066502064234606768787002443470204363587597297785717
07595078458403762488366885737839561261761257825319278012270686172168958564
94659092891167068681063894696353373988583646444431775367663452065875563038
15832108512867094403256651761218349,
75866536739461664770244177633655027549500202545975749907423609008111748426
48088716200122932090404333903845245330594688033606649980509489870373487194
83688413952665941634864449223342094487393722317582117510430951354842520816
6058419910836776558643858578992291],
[-1015162010789875661917149488384156476683552730792885983772289210476481771
04218105246773321069161951630646427932652938425817443576377275627821556912
13289407653662431701555701844065071870087193959701035841902713986289883543
205266879923571473428613854786932101,
10134006721050729983156914427431230782268653295403211299035606426481144052
86171676902873633623124590923206222275588588683541609029370957116490657789
53801971486903206884409703060179761124952673756169824314671361131170898701
27016685927256021861291872022992421,
10156035586960428965553186163056229306283653337894140712877975447410782238
06656686943931809690154502642788030442739069443171568143401478675661047713
72733636315415511376698332473260782924124263687751638297414549947630678727
30846290155448576889884478529350459]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1548の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1548の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1360919417298500783187144621722287715212483141101754705038534708539506816
21405150160222347555989151596868120645389150655551745593254643909476602460
21136943553854803943075352267701118250318589480801875212400216822834763490
41407293993084516703679937504833473205125047456862131951814133478166217538
47441954585564458887583606690142829849342260512802394814107441354886348631
95497780706058300664979931832215063267538344966126722169324566827994462215
703551231905946952986000,
90901364685567080551660696464347432401069448689462872918864060078985342365
19651902909411847559087328106529435388396731984700860991750072411370390435
76513459784087865222817077383070301632510328999257555367246298585169105107
16299050781540811537540032691966082166070221251398463220119946408315681462
43791888274542467638034874597221818602283641035571820469291330461655408972
14563269608668179267709867319338512822024462761135702321550143999674569307
3370899877771012725719,
13615052683570830808053232560326237462537823859768283805122659736500598732
25699401825347539726656809099477745555482372033854000329245716478988861617
79464955393874796943492581369997562111037504572777979584331968942758591367
64167001451758162099121174673753526041719294357464413045374948032527827060
45431234522582780607050237686688689311470288689318176486932487072471521995
36908430287332779431720410815633414706748369259915748996923617533507216041
16453765177138255457841],
[-1015048182046153843457438278624566684218865962198217376711007210972045144
46536341470068540296754146617493020175772396138317101036949725217355125445
77136921792678946756601483903028715521767224186117882767817380239100449156
63491154206547635707553869869173115366551522260876898673358656638711649537
90130633084549129865070158864958762230848606559035676026312032042531734138
49272293586954217190787051917918247857959123641245786094475015792497415200
133637455963711158770219,
-1011897444845279014517106702654796880034447219674710316352436749008408127
87926727410009304894300696098450296828678104150543790876408009843066043743
42119338386012351195727558016998172328227619214467154043340060939243544793
72149173151215188547336924191386570782212483250407961601481359647623385970
95031941406013107055052840063674978711878142906170637635409703978823936778
87263497270930950382220899221952074118988506788932389269459999398674361457
282716495807495322640261,
10145251790298623742989782051053181152675498644943062201370165911382530136
34234093387630828527855693246646329831427117851380607126366966594274018239
31013020895173810804938674293169260606808941084609928112563129342522142726
89424182960208297557164382433943109341221582025629600781324061418497844396
06766166811409806002649331203513630602482424252759228535854739916915289075
22837191729890329449473090487745771197307516349317744900865885247685492000
72837345405581731855541]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1582の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1582の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-4910022692954617786985925733079832259234491686446893069493454157520888954
04552990130768255028582652568457268149335989306610470089933287536574259126
43011813570411387505900505708042622449449358560793856606916174389539409355
04406682521281154698362335075069050079086263639613833643384810015857435254
17839669014352261753986571723418681914266680291829288567808799477659250626
22304837268597238599949034484744778760270715430574490186170757772676525400
999797724126071,
-4903182868918311948954313111216874335812247155854968012529475877558198519
73756903752520874741143496427026453417299114655431294753454711513194842432
01730365525431425854036444346470645631166610498879712794424107970818922223
34179673438193460912804432685205309688911422930462176070666845143497887055
00711079593582021026015457749476101430591698280929346182073750849079267766
08078379138472695422026689526369140638667061633638260503848204360762563879
498801828503959,
49081200252788808255282580093205211380881535967951382907208433510712178280
52594463116068476108868784899548453688106128267610878629478942974439503473
67028803738799428424781323822945908292295769100215794147393272870952314759
05811102392659696540668119291466788439189567235884106275832195614141792792
31867587486735382738130526368630641931398771831985105221163958466569670341
75592474176128024561362530493403611319282892103151056841524369499173404922
79573531476039],
[-2427796801635591763860292700143296292179979978816401195837387831637280071
06524609604250025521715544409984040968762566023149982626315699166013402894
66431578722079099171894961042491130559076609587559276321275462119508247312
74357942937168886378146463936883001404943470212786588763699098837377690818
48430714632065239441356805201057873071967965922221241559237916180739935785
58200831159749854098409469094464260954082277907640633617622722139257703248
644589968212096,
-5474816182461623629060910360670608384850584516019225763942356632527626666
32259569338072401178555886989591933142818404629036229959338144996725287701
83180535910890891483761749583454552633727949237549025153277014248165535338
60348409319173550432861007253804592233814050755286468977016009180329974552
84875290077300713258041823584374395018282140573777005632164364559312399041
71266047754689083127254718646889759290107599932124174412691581420659594807
935933561614939,
54732839567088970927999790431609347416070356901925842362100395520922548396
36989032349592159009215549313449117647388406513634753741813884578583329628
43465672437108949396684838160437499657744853332663458860987774374262370803
15847858419246802631831055469768064829677154640938905564720683016145844170
40482768433848041945433622636196241595143628934004959359100557160375680388
51806932730265662221322302620074223550594797687307800033742330141396326106
72919913558435]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1628の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1628の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[33283461125398364188489936546562321292639907326502756347762881283261004737
825933219266404043283373000602220035179520677831450087679427739954240849402
891843777989733993867178453188243985525869213451861187743042005767532104615
208335022626292452599867923153494310603413547568170552677571286392521905268
842242696654401217999236763249037040953193545274940407934577234358587731261
864143414341969286438921688653050104735881452532079251736472962373875676701
0761688702969926129511995710560152295669372386876,
-33248920646077632309909426346460383109697953074124639884326380727364512429
893859929741049908748687172785819755300918919217807142103963558021985414670
557895324126964158166283274637131289108391158236558000458057172050148139448
802545606682703516302455812617447958793617839785198804164393732137656699412
857406440609364245203966383121615251822334318923117022042291684614915106109
747310647018190878981094962114391796816789634840245775192451851537902972139
2811172514024053963514953801556402007963218253351,
332990130167946600609036439255578946300849199699314303247052019953498425624
758106837329341850242606661179762594782628347591405438062444151388541439473
512091534530144861391156944801761940128824250646641541635704079033191382483
780049038551255588225659609463277356163846719699676059001845663145633083520
136528886362120329534817019482283962395513806119533091172228562125860394942
642423153871906480432671874034980262922435712794925442311837617920138196947
900844008468252067128119361219301485095111911701],
[-66462812142419028577076510975825678245465207583602099444437443150973382708
118341029587702389708860773595011127466574779040663043695056478280846605630
453515076267846736559367397833171363848914946553667977270113953892521877046
487044504616677840657524985878337062091697514363457620145095911156742939134
706944860553111417532680892041110494823039723025920070358939822945817510122
033346829048350946702937888044006355005084506238817879092991002277915909775
368824134638625698157519437963948775257290918059,
666852925599887728866436836749308821780146127125026795377654330583496913514
679235018327451615303400372733493592061380824302569397697069284793221598698
434728893965844265787311103129445501783042677007562542452718709384724109201
771664406380128273866764378077048604891416845873551976366707365762257822936
071496289937916433437087008199574914665148640277212783542411229008030668738
923359097066116141852919200006932001816122104030143800185004321013783803002
25698067734966593092936610665390052195791782359,
362182428482045915067744578582599771552493736713191010309722630168139185262
783841756497499957285482860938638397010069936749354878478655166750849598605
278609212401719566702330738158867268551464848852575628785708388146486249770
860889749577654999917574987511615429545418420795510522732093392715691970929
855453895830993244495129914573776854025631555384766056586632069095519902352
805409378232788115409854700798342086144577263629645636522459443458027893107
415904350658661240451304331565050440957947137125]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1701の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1701の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-1139588787138624183025045508551659485505421702084206131183842223153462840
42639852956794310461177597036528741797865572251673548106848797790709352395
05286281649530584550206923088037169726203577237636713027506833489833136642
34851402616166294432284380929330647601816654569871662333391803079953667109
02337595602104190007425012368421128961821191566073260691325452517761093991
56944120018079087219348590833062387623888387675086227889521502015076851472
58543701174327781224478360091036261966355348759822572580836162596725730132
04707769447945470209285833121732437150032600884345405661216678092404000495
82032718502268062796503954221256351145905337058382244498034874921892511130
8197772664689872291763902569883131028345722400436494441,
-1137480372216937532221590883705691645880053068479672815583648243441774859
82422489812668266970604062599492330188571039525149462620400898265968028278
67008203235060440296774362701495920912535118912033959072326059787005594483
56918542838819052087351453366159194880499066234984487638442212219934864773
91836473786647847307280605070235878292759070040484638176972209771045054697
49190205988221733786770884343553168077462721882268091529101565534419151198
72766370035442736094616141452751997874144150819952561991960034492921420312
05348746251394723579839951047611603454455688052070651439850097177374297097
72715337938745160870966547000088947440714332280363770995389835137999340842
1344512539648769729069481727338227410242856621948839375,
11391146046025769975643907876608255016496723849231739643077508978508020944
92308691733648817753074603520680763784788587996424916009419322660582051939
96257674805001865136481060935223443713426141377830704258990770415132568611
72378339655863334945588405538529011609659361862022975431299145733155001134
93041312357550295451706511647896227848736386575138918870859736439148129087
47704584691040006260467772773128469341368144880802835977197289655622305903
56468932302535009762973178386743555330207935453147638131719809202030889672
35215025528018309068606148049840783789220857965610725671720249866138416191
58769546969695292682400377174464009846908634775025135573167952194371995531
959834630434407474755050979750170887556154481784709441],
[-5137304615771470561376607588394445225106011561857388698940110666386160762
71573504450833332173242161386641378095018300516431898581535453362959642222
03162267378150071699164071879771261936848780721382244489884409007253894046
11458184652264753587733788312060005466658294905571846298690755643830633350
94827480567808963932003751167628372415254484045474772857685043860207127259
38465451188368899219713294331631780924212634157598485455942283224172705693
70886536162479434122500568150506065052261259982462906721795503645891173512
87246672516947601807176207596453805437686397652299421212524723163199910648
63033605735741665791131174161826602496614035529676926500201882904842694820
47841058757814806994991532710635237807757040646874309,
-9341406370417064586534176702401393522550320844831173110940711773285855584
11102485615346618338381529320059512094264334008600889531223103130600324937
11014655551289703782616404438920209176447982416116648835399810444005235861
74839540200264373610895039556450443793487415277258326034488720393721447398
15311869754198230482623966009385911892487750393975168418116175667468879652
07587284031492861966709756264113265222309735973738574378615031148913621858
86772487942255376136434867994846329820027380361259120002649189234317583513
85489355026424338376716096299658382545595118641466066981770214784872048469
40533229199463755289850024856258379543415970774130701052591170778373124925
11253934912003943273363547372592341865524779858093684,
93383912876884977651557173679559046048351936442345969492808037247932299424
99988499710436093420214829124148896043293045005671053758320820081633126332
04078127208949545120145190265605708170757008827757711718423297632041878030
16059851565827732376944041815889673936045687795306531158426233393344697109
28345761288353081877898616376760927947727056547790275629709384330884729609
80732044673056709184291236963710378439492220349986310991800619628804653460
86767505693358940543177160161328815005288084876631539327711266254084878227
13039165561706151396956337717136305824388017383095084009146968664398615144
33329891708739968094426991048071138566367217113229449314057002671900360828
2453574314598506589971796930620663339219912182366809]
参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1701は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。
■n=1630の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1630の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-126435306175877304693922691391234515760995280945833232621808315116285788
6489257043003456212599532850390665702398275519914088074895267210763036529
3830621149608365482996238012659204036148612195751504700896573825734909802
9331891975487821437291401596591128355456115379698254630010422319547497634
5513926261263499664392058285732255642021325142093618688166428984840706606
8479753467916229469810084861360639147965038036141106296118467862501537542
126488229716940006181657801969583531187315469858019,
1247416689028571070126560179546506603078075664521888851972167740245865454
5498702555405928255014792435000718691001026764465706855974841392130085752
4198932628859016452061733583648360452119917406867372386363031647100139791
7448081360170728002851192643333759797370033519780905921510461426477790238
5814518307110729185546231582802395042326129136177231239194067107685383587
2907152298375694043865144619519432382953493292961500032348476479203878132
43001863989084963447029106522047833645503213648139,
1265084598837767859846174200732698731495916544728976922722321325153829890
3325767520451003456024746344022734685798733329957498380776067991983147939
6344187432806602470377797461189431299417596293425683507819907889622054107
6091499259365156168372224893476370652791654994633044201261366205776037194
4022424851134928239635418466263333275664222451452927445985853239085429299
1728402763027760571176111835542052438308430368493916812050433542508806169
96936288701087042401389617739369355867891315489024],
[-220024545469584393941186045045763178432180747169497511886029476115693643
2846540132881999482438514212646776007609570736221932967933744048676918642
0843088507747220976506998235794264125135504939180093977042201838960390369
0300329053715700694398051776887468765078651938948344671363955335609460261
7227217333881893506376977457952998966624139515874933161536021626062972641
3459774321243011162241840988491881913874118088873812409047545288977100846
97829049914143732912354598859115445327865929896511,
-201686679692938607060535309922335450963199007267092209691477596362745827
1219375233800213448655030114003458712364460326288271156654385849912617694
8555847625079755560717810370539680462100536050277265890551082387680567436
8837041255146877571170073574319028353973945063724365751683313863048172492
0880591884292953302228114222008398390068464628917398448964489064753593665
4814282130740057265175872897585094595042314931844049554280100407860546410
25310519713661695201061262166877069979462394494545,
2199017604985578925244562277858495571999837038247871322327069119861780042
9222009969108701662824363352910286634130077331524998241056513962693137457
5856390684619243714335036700711933136808239841906340952207479878054655014
7757123812064461281951240698575093618607583745367571422885135925012795876
5959931927618551524413219007432559602371092046920745386924230468234586149
2106870733140993102250631306372513996813950517434167144725208497427687457
0541980373406925991139995870954242943483893935951]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
■n=1634の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1634の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[-64202077497103601649581682892152230067770347308856162893824279046645259544
214463635539079311756571414159926058882946002400808585208984258155868906500
598632408230493640545051230995433675919220019685958515473015626228781855080
590995779864052964601998746368475204294339159590920146047120905029507150073
198069746152024233239956728675546473852028362379269488926481083605956604791
603469420858057659793004944848360005481390000806836577470903883482957304783
929953918145440879237126606095888299,
478233627846851854361885972139694269725478732482728590157123503255837684167
801230633381579222833998296617191878983969236979184962785741550785453051650
049846157351186565797929131084060506045969375709332984076728902033017899310
447704744061939545538841200568041794829323591266125357865096278103674687915
112981768724596527321972988719805827217309588108961573909978551081580060502
200810556023137139672001585115487737928013081139556028098411827472354522322
40920550624854937198432974761228051,
642312648763353128958140649664464556048888995048682516599367903644107730955
432748378879393144148616927065711892934426856712075752188358256988620029419
392683469872757259083369456367597195629638797658931644854240539793546272603
292224239098730281410251790118777820396965493977593821209962121171444934984
800238011541084172590666763998707231540954970285108336912186334043111167870
844015423362523205816047193078961793569176768739805768622396379431230638470
00023430364561571233395275796862624],
[-42960725340646345777283799627517064521107787858882525085194756955639855324
828248247770392616386833335872401720074367736544574965046272527886745107905
494638703531109554477881592627746244407361371030621864583446959007602429632
287402106131013759144478121615080389887541119120950276282568829200590264071
405912261830984901622107382395806380228005876572847449526622170256866125554
849627907109927460136091654277330495651532111757523625479120290256726098665
405612053216455400943220712916569575,
-42785588009530544166089291106359767645398407952736446707584578893680524289
733482640137410186409544119861814157077490375921946861530154544081448153566
573479173219269189961254631485512432564306117575695288008972711968922312965
351054777657564156656765104051749000815017054168708717999875338183759075754
133629747375446371576290677577137439176579847218554614822210164632533433167
478589757795607569073909654293009476460989580390707935972036276911916329905
170465606973150608634043351119897897,
429383906078672250941347327186853661484256116560552211935690234187200190109
160837714772147225900702363340077319597517977583967647860008084506566740702
834771365305749309533490665017638178140274965002086358262120343739532053243
635015643025472282061648126704652406966463655353457885449568853219156982531
710175095812605911729731655365075718515701272695527185384537923021495685361
650255114122353838204880479502621165828159553753486676006452716154130729837
24968358529350893786143042549763447]
自然数解[x,y,z]は見つかっていません。
これで、1≦n≦2000に対して、不定方程式 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n が整数解を持つも
のと整数解を持たないものを決定し、整数解を持つものについてはその整数解[x,y,z]を求
めることができました。その結果を以下のURLにまとめました。
・[2022.10.15] x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n, Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X (n \in [1001..2000])の有理点
・[2018.02.12] x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n, Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X (n \in [1..1000])の有理点
■n=2058の場合
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=2058の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。
[1986441050665987, -1985721399751747, 1484304324230400],
[-1321632378357283, 1322179780957603, 1317843327014563],
[-1021682082194102382235342647679999,
-5405467503236827495527542989206896, 1019055423868254279081321889873925],
[-15923886539264218009134202800318931,
-15917832302560744893841928364849059, 15904819175233697282608720250435871],
...
また、自然数解[x,y,z]はかなり大きくなりますが１組見つけました。（→ 別ファイル）
(x,y,zはそれぞれ 68361桁、68356桁、68358桁)
以下、工事中！
