不定方程式 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1120 の整数解と自然数解を求めることができまし
た。

　整数解[x,y,z]で、gcd(x,y,z)=1となるものをいくつか挙げると、

[-490529, 491011, 495884],

[-63315, 75847, 63383],

[-14360110256252111581193619722570735186046678182174441026633,
-14321506955548097403956620844664919156121754869176491834767,
14351183770196639116882400420579708672155307180341052547408],

[-770946641575816525046722507823586008906457086846900909813,
-1435228440463379056830125040144151468227058163974354421275,
1434541819797594164060347002873978803678752511796916084613],

....

となります。他の整数解は、上記から生成することができます。

　また、自然数解[x,y,z]はかなり大きくなりますが１組見つけました。
(x,y,zはそれぞれ71928桁, 71925桁, 71925桁)


（コメント）　解があまりにも大きすぎて．．．、別ファイルにしました！


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからの続報です。（令和４年１０月２日付け）

■自然数ｎに対して、不定方程式 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n の整数解[x,y,z]　(ただし、
　gcd(x,y,z)=1とする)を求める問題は、楕円曲線

    E_n ： Y^2=X^3+(4*n^2+12*n-3)*X^2+32*(n+3)*X

の自明でない(つまり、Y!=0である)有理点[X.Y]を求めることに帰着できます。

　ｎの値によっては、自明でない有理点[X,Y]を求めることが難しくなることもあります。これま
で計算した例では、n=1286, 1328の場合に、整数解[x,y,z]がとても大きく、求めるのが大変
でした。

■n=1286の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1286の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-16021219648245630909391576154422662560815935727180945987812011432038294690
8912915251769199903071596869917521329816897060905161916184694332715499667885
7602140634714224214279353561299123164437591647018411849006920089546088052358
1511301452498099818450730985078765363978222105422303537047420640224055960084
1765831311226169766386123119293685509716561774144480591267725604868357624058
647625521562260495838832690873,
-849742249600865992657546644584769355624335870129325164483301048583179435178
2445706205130286853925026604375969821259253593176059891504111940324563656501
2376925995498069345468658360256482749985111131283799790538591050628513907404
6174405654828602324593364633594791113431537195255484551015013401762149055671
6433728692150199589598073433665095120471698586415296561020621625447119476766
5647221400349360818341534912,
1601462628610922637165719978758081082498370307700785516169287513065450280174
8420090845148624431858386025284002021393031854891166165906699669862672570835
6592194459743787126365278651857322933340437399208975490592599888742464914698
7105643327963212269400540509308997680286928238636456633731391348461619460458
0897025599194665270741133175522449552784054800942075001469981155637337316912
7362784249915217995391992545],

[-13564709055971551001810925975164400461596445673285013124564397765361715414
2373839536828793690266596036739801212796107536778516576339827924679107724913
3868389472689604091254848568516778211508831709698038353432563941716780426484
8943594878965159817786053463511372006970338591511414438484239605875676444962
4427678912973907877381307368958006997181753886192763882184085444028044139086
989552173087111655140156299957,
-135958354534783611232943012797354498626215720306777846558205917050165279439
1198532165694623594489006769023880311636495207795206787299707631246642705564
0228667497600096749186493972155826335860775642141061000499586898857111348742
2666317683907359336324547881173954255751601309210115829807481574030226065184
0683625535632769547361259980200438151706996565211819150713696017744863299919
73201449534202243840723240213,
1358853165155005153574211102027839858383750110602152095630705276495221801242
6756848410127311174935554674429029496328228011076993935311256698654426429967
5417726019441268257940657179918953486235021669330961056382604215450378862156
9350421561858900019156612642258524462914102526147220812604332835084404173278
8082726463132751744352500173488086989872094361472090800808319168017149110787
1344398954221850491003280677]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。

■n=1328の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1328の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-85006210487055288369260696218745460751230905544924076769303629948455460547
3900595137147522918582440934785810084071622268744140276780142858610522794533
0647999851321093955484341518648556206881211212442190418597988214714493104334
5040745455751563567409990088153285124286967402856092256303862682581209648964
863062575713559899451184790461745459,
8499918771694455550584215678670489114858336235436757302315365791225999446090
5726748122346634050729393828123321691033092624167681974284889525916957979171
3823144230495546587906593120570160596738443129832265975747257547275875334557
8962420679281627854272285242107563388715202564163824495037819388871043222756
1686910436398194868040321325641475,
8501253776370302624502642862202203487274292944216678483869318457996788454188
6023298630945944358379576350658451906072497732407232573590626134855136879682
0992923341216387266020058952518571944689566265180969821684848217331326780986
4169810252565293455173674960754767775610357541870501114812382750391624047464
4039831633957277581275074291475104],

[-65993720436720084932932907299640489314024396129355571640290941302524356114
5720803825163080311904414649130300503099960025660044080225774381584056932994
4151439458573000391017997635406181737473719314978907427007853025409530130498
0030056260398720171413266660937321582857714313020888395129611665312874545306
42903847338196208248144654630215109,
-343669616703897431532556787491465575003640099648860580501866976645696882162
7939406960585041379950309095794324700643666734057479295337362156925462077180
7051958629806133481028717884342938381031151057754296710108988206114499330928
5303172005609830019461098622137025288194299688771305999516404282048571980307
851269832550951202954429326842779,
6599113646521825059111828847128919604684408941832613426698639989277079059585
4284240661335912858816723266238627155509624265174064381893685934786078199629
5605927878024721183646564744049764981767112685891432637048489925411838510978
8870480316901882628469478098433919674982387074721524085639498246713862181378
184123134184398694922909860709669]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。

■参考文献

* [1]@kaityo256, "a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4の自然数解(a,b,c)を求める"

* [2]Alon Amit, "How do you find the positive integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4?"

* [3]Andrew Bremner, Allan Macleod, "An unusual cubic representation problem",
　　Annales Mathematicae et Informaticae, 43(2014), pp.29-41.


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからの続報です。（令和４年１０月８日付け）

■n=1456の場合

x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1456の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[571791687338475117363272032087841829277555077346132986306755205480905769285
7000634905121944109952234074240805730959807560767608012819015317510267550976
7620619138271341814708190722150229474006124748908271064598515033847987671814
5661654273242076617412144145664884975721198339836964414307940369616013308543
2709603,
-571378261901812976996866390095312437336119145224580214363944867245582344007
8755407648580508767627420556253622990178418970538789530396661638964994985039
7712617992489919919787652983524303076979659423403971737825819202132901612944
8575925579661206260305279099694070835862213401259853658692627028958182221907
4974157,
5873568507104321839280340659401325507281280324998212609971170134146494012741
6735228514886030743528430489092303640687713746975893612627695179778785557823
8771166901311978613138518776790506321037320267782999423355666977938217783190
0430070220794738909853610005220101262910309344162617166263820966131371561410
485377],

[-17666690399538675182550313076895780652519285115685040142637377527152935144
4145068083086006508590234003958000293303918393042556823385505764679817277116
5693338392772389591399432789684764950445468833863233004567292380798950111136
4291648200622796801887209799147889836030007036024562526051519561684734889096
455479140,
1767963197274825872940391809087073025232261060508044444922252031708304222642
0153337336022337896792296241457608080524022786199731860052995564835172300886
0844113909071266457915676746502526650504101053864601230052995128120219844065
4620647291242827724537282890718941450437167958991307623660912380237343247484
7539699,
1860552209773280410738256072648897395564267392155777699430423497442236074670
4750564038895462908381163001773995389824548649635921675917634544401813433879
3795064931591000382953415029653384059597967814998245064291421088485627311637
7388329781272204847988265620396958571188033805044520644500907052807814708474
2168471]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。

■n=1601の場合

x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1601の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-40959167170952866536786824282893308015188600214497203611596597844099330847
8950565954339447828056578769033089805775805927601308976958206071254245266509
3653579674721693240011497020543649179057625119532293465802454577811671622838
4187900635611948874885311390704759281078596404450455807014082372068247189133
9950949607800611475174597819629645093911998372317926882942824482245744575567
1,
4097711306778720431893407031820392418555758729926692194492763813287840803536
9850702880974215962043325198100280116812071258883035524174086006525631460063
9884495910315900557553776764494667193388840265426230619807398483105226461855
6379079047511964044800867699390119001080842489853829793439228307727634676256
621568243942752408182469791582724286178160366117453206001220156617078202200,
2880240541179262013581940627696053475704482430257303243663727415958351629478
5841748266418413368995720490095885511346004562895270684403512187067137486772
7881981428814255200049834991778868589508514564310028506742409803679978412399
4427202813328028191975213409041705197721674854048725369654261621973913203020
761820863919987860706864644400267072642042899043522561165863738692254543071]
,
[-29178764649418779207212904272756368501201094907039016799807577825381607504
4270895848178151109544099227508211958852252281950921364395461379524112977358
1946649580197706043585338124842234465779564390450205255539626181385980230941
4334775628907237799345736624288939614415882594277093818937432899120686703324
0925719752728378082554718657974667076057198191249142766150855484990817937082
9,
2909272174465401013730539930111225392100917832938005122478859430451092513323
7385787202277730128024310865270834085633664546340950114978897897007474028360
4563765865100407119230635130595134803189093637654402539316609501205217265088
2082621546309112909144173276937500891986072495976188701738147415641132421044
369702451129838601756583924823257841682111735345603382049800602410821479571,
2919375476567470482513938144285953176668168375804049155084857554261075444349
5734946881488721967498306411637035954657061147827541813683000567883994328083
4405803653657246564344925953278936501752667820554429254330190239784057952193
3754447641518812960424458712493656389999154281680422378128071321132614358905
584921166175664763528033805588451257643213149712671189088645783542816025629]

　参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1601は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。

■n=1484の場合

x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1484の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-61937072574750659772376829646646254080886738117740738258685250994952924732
4903411120644713895519223644026562327575958262618688715610255097973201399994
9626192222411361217325017596964253571580899509393969953677553354955118091187
7235919104040327499004131689729833988819585603694411876536413717517320163541
533507099272322592,
6197580888682168709641687067525116886226333736866024049375142226271127022777
0480221160637837260329143628966741096886118987345929235145508516054805270076
6453170099288395975105046777052024965677911098689087600149714422346374328471
9616221675081056942861558120544295891384385871052495774583064734888990383596
9203177052412697,
5813630047548601335314819528384104768989444228275753111593646981499869973267
5787872146589627726150226984702661589562195784052006834027716518664093784720
3686030566295247032935536821415307802849789368619876857156465440652393493872
8253442207106378735175526549769284889374493333970982392062885163504828337721
4095440522581623],

[-21684436935065505945760288309666088260466937870926188947511025775398185728
2001672581419133135205861290533865839404338974128636615514061377946711443040
1638854742474862744051320910910526815304721168093031095147581780527215491036
4163413284435743848569398455834755585254900484370274156305091271402145125839
123276359457286801,
2124675415285146985067214935989724973721773540670628778143497562226761429545
0610538758597921459484914289910914896214988286276717778257623121796628088748
4519374614315249019384924759812779489925793653906497962185511910139863306202
4288497697386570222972468703087651153425455569795293401685349512837415513509
3694166922837681,
2169828676682518083683225939023086087797136471339250854733840024187969614337
9170857427269486124921305889209593587570463197257850541740439198607568293406
6961511058844802069063626196865568545175446002053797566887418774240795243311
8284181190874213269515787756035403506054139105135378058768590616796722809868
8996802653579055]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1836の場合

x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1836の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1041864811975923002155943783047615692647760539692517184738510956261988505
758740460578709568611255785284319467354024325468453692334796451396636830335
590262214782063587196892709472049549282099848147336919220354220459091919160
038783565046145145924188986815569193279413968878485296971529217062319760318
331961422792630624202767017494800118901047516685531800727886131710413595387
4519736344,
-44068072475159481098615992792493869926381240185553838622547660544121077951
799720210899248018396245328509376602521682597531593554663569842252817091114
107703626598284122167936341355880184934809289705578883043371230155903741617
649296727525984781619157898450912882686002811796558523791221433569518729495
531079561874171892612478593799103624484171338203297655186571322975226087659
71700321,
104162510787326411138583391854524154920418461555026940140099987981956478491
332291802471931084813808309961096331216886260479072365786491403663390589288
591475155604588683187434196025108928331933804957971397410007663145942206260
725656312885054038830419214576982468583234274657519878890174537492338922682
487359985134676744164811228847621203521594837945337811100928690238017981700
82953261],

[-2335927679334971859652168230163948738399940910089693152117838668243008039
973917129993023007499156671254003863304721309050865633666472966347840862728
202760601703639382085475686163770333573230807039955992177214752398107737675
333246147198748384823439730558428734825907406861721060508416889423622534444
984575022872456952942670762069098926823196602897097715762306763716670450207
69129064561,
-23385480181805645421710233870104126681224696546434853213416897748300020711
464745690156550982719985546618521736923786826620789304151881333104286722810
976127464085154981533991366814860136575537764168051735997084573567734029004
033909761573526427280934197273090735897767008516826100477078042374718247963
158686479755830529372245192541780663474538410658785634822961928883688971312
0314401159,
233779222958944506878343888164089893518920090999078219867240938380633646121
434659047378382651726416068596423529441094289401726514940130370965227106439
880895464372588712862787812857601933948220497742184056844787697745186422729
449578125580307517219157073679602647681532990354823176407183524464776020740
713013934317945970281168003275611328425460973364815934205632580602449065098
188122015]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1956の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1956 の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1041864811975923002155943783047615692647760539692517184738510956261988505
758740460578709568641867101150448180147467520901057573210703590052001853250
806715068860495964028127346467102396229009788467928876955450579086155189679
186720320683097129682776395305204981143658077659306296142770695912357586917
094924532916505034121918886065741020815447520279608807877492454101991354226
480772848057045099047099084460753068532292102977920014646863408782414760226
708986643767503740413813678306309561503459930873666787951188025815537741939
9,
-41841753771853248438613089559960831018854056865581065395569044772037627156
910938279657874132766185730523330694856014051832316773903613013243306697821
830621938307774635411563425901961060490945255024341253962564261327376767401
181791630024537564371357527739803403789781079150358030407506337711096230735
956319677969886048044132723324812378864981301062404753533479885292684272441
6043672098844661698044168571640462413749185099796414375899,
494516334711523259862263657302010703269904082704814824119765952890558391485
539711140670873831916927575587331005841499243811151631489774586989833258086
080634748768432098638011434532300988484365872180050224906031354738752604473
444742045765788294445502956033017088816003355434938124370945826463329132333
972142559390739371372028744018859676576300924860896390300326591509427002096
176816662427314680297176863132492047816434041466926282375],

[-1605581559530362417284456571719840631165488503828871667902747310299941906
026736069561827701784691558663002590516014820238400813407167976099798722414
315788772790817448411267742640427440033783758499665651910417245715751453315
036652077560989589631089005545220205911841147047669340108384703203579392531
975524013171856799830601928568768415585234343764563473000831850879546210289
17755581187456308250916945242181588112843561107037653979903,
160647611131356276054902005209292406828957275801114359605461931182804473590
836737656430301578457547634171893974430362068527146388655822272655713098141
030076002654645265840483527837576066170888782569160418477736709105819675348
639174716335174122169192972388637469334028252902532852603215543348204089750
429265835441227848755022710300120860890796496488114500811803375654375693595
093640075874801456665636764777231025500627308568119425153,
161631620187994854915545870626815770968725852267668894323178540079382229927
016325689683385379166025070230523466032260455928371709390393275564840426491
542387514697820044224391749522192303236465571213778600743149289115394247383
276976748036775708603735152991898556543331998272632951590456176156046504861
032246467097540907974058889094586724550758514993145612053594540378548675199
433525335716711573259726392842327098421638479422288019028]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1396の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1396の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[37061895187457444499719377297154800298861695931702051693410138954087161283
440131351317305412485722015244695734958926170699799925252021374388123690466
081068569395949532311025233718925050842696835204265302825316128920728899515
017967752401773412415274899520455567366404229413654226795352732657809881337
430870524731645638170753239595205477943989152174722052723417713382987927509
180213487735835747302256118770624640927939242892178367785582473953559493203
203776055155509154878149659166578370472671610416052913935923556190683853612
860968271760399271591790631805877393697019242398904212267695763496017809443
9282826701269515,
-37028779336539364698561279504859745239208388661014781173115582195805055036
165203807153897306321072831298018486116275854008736782914148735555517230244
217785527753871269480380271613301914423612231773248930675659736768737403173
794919588118251548464159395908908325438504399496001296875532275222945961578
466519046821104593645646065375416396078369917682054076957387540200196023847
159062944366764810384352961548119959138900629534775697899218490211581424530
328875517498821281041572296646296315684966389942269951735473212602809802460
697044493623087347187485127680633923565801360521301115039671704329403777174
3585242067645489,
461093101572259429847947193088772659747821657281316825563009312845403136665
108227166352333050512356460960925030476958902985658539029791147895542155348
389681586621068009831635624508257025800685973432189002004997782216416893423
045663730481183615064521320893990761518517785939667669841848307185480065689
117877948931767450717820066598067793459132365824257499123670799656325653995
862663486092045286312007108406649671324797313420698088139127229733463535137
548741543806675226297607613355430415931141624944565896251274601867249932941
100423686424163371251499431024402859297901995282535129398064333403378220806
528614298935044],

[-2731525106690160616867437327028518540906222017285113277678268907424020071
189952081335012512638240133378559632546103833472021616154308634894488118636
049940893128964021871515644654281082631932087479075539624403874573421705612
663929832714358864713327373080917275179728312842288106247605069040900055365
820757330425299636977950396367423406384491291346807034925878924223409192959
164980965924143087771733784395015854242466048685191807083692497957050462114
674654912351832727332042374016591001201855195684856872529667704553635672237
112071327447229297890561871859997986619229751743415663761328085704977442067
78550657341948127,
273370913584107941579580783314628434655654751785178206606978089249368434970
806213438328807848347487458140436793602202557174905671415079811264506048679
488797098875523135453410638352866506745614143785555740219564512174546071592
989920578930076114899995554959236365189545011364048122208979218298388843042
779619554513450125911199381457798795399917922632898644931683671292338821364
633243354275024716024886943990289867453904389413681787936483608090150878520
382671527664914618452082189645688851462406374953607240121147850413187972219
819008059100276769062666700436964995468932532078600134783667604886092198166
501448817435747,
275152926069578597438967194786530669201052095647062834038758280405559444065
856518390840459260232181614452017586417958493106116448299298129517176191958
610613131561834346846455940974847912787323041206004276392202842196382271574
084545887497661815247570814302671411021629790391982397492464059316267807279
236482295409951922918104015229291796960304671716428997070540587147787034796
605918343737013415292379046146427701908896053737645476339893467629384996403
044032768579779627872712645140856254997572083429731323182891565199441095657
057299350863308201612622788563333918806538297262331067143856717087646340165
944671126108083]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1848の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1848の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1596973703070530001327669566897736130478784498489663761455159004776750409
497438307432283028405078580656137087542815550391091895629455710057113144073
793423595022979485033860060136843218764142846347766058890389930290857340894
570213662558437467408356266471508840153743428113430576511537976491062143052
566089612963290786139112260932082095678276852474762134200743213871648834603
637263157725629860785683557091712361245407145573174630610835080096699124073
826126592780571956456518075387803501672800131662254851299100753011233669359
284844881988615509079728897617279591651979862657485608964191804101762659282
321908898359052650685944056740880579236953221820804743180548950390048306196
216800524899767681978189515220704524639816751783501622354235034084826133603
639069842295187258882580340213144039485689107708537914026436264069440275380
790029356046013438044358987523658092287592939910143587773099493255433483621
109451887159952504712526670718107787504939846725823980746250968933290728437
897194573269350310410664824895621245012457926316648872527125431934729034657
87847419793688896848943,
-92525789563769240617285670369020511371504601480756149833784207874131081114
328945538721163778967355821752480675748513437850901658340739602091318400143
403388152045121565202960394013639693074563252033477056027489928801695287740
651076909550852285083164763276444634285282914231713081736777966784426517012
159903081711640860991513923159201727177414278502331191041279371801680255617
831062322722215043540053428152596266215152037381063707260073894665506267538
699444763498618780078302565711668708647517852738212489399195199576674450869
373413064706863200453004846211224542794117692399245603344097452476670253835
886502702193378953238570921740153519058370615177010799033375438601893611781
984132388588526512167175034196418732513750463088582852254104519309978595260
863894345463960734002681925457327582794310838461156520518261178967608842224
446130297439027981254924319648164716601150362646588559843164436375205153739
477158472843181179712423521253029016965163944761399624755562613309511417327
196081078612313926284247866011806003483505510739945665523400436188166918284
943040975503862828125,
924393260204484897965216427743135810118241356863554271176580029386031507975
014616319622643394513812048261079702103411146522301361873074893350016310940
928694696637039299449621652508480461530756819658174180683187153368978822980
674556439323258627956828833823733186186263600218434716982123861263627352291
384647041833846122765001793358453018532584916028975952101131689081648208009
459751341118175091096355479441145432543292878445933176616106409182595428167
154416445654172003885459649839208755611876349332924826549470974205387841459
862410478606889163463360764393829332435350164027902276038312288874263798159
412751981116918030580930480485004743939059525795144785715465039230460325836
381775859388228744424029599586720542789399370052429147660744741340995957055
179479355869536297740210326879636346025495863448566295473952636831340400838
688438227942154812968234413633052835905524087857875926361424090009168300668
492558914796012455394822869356902451661607894439400532227955827215007201270
556156507500716724349881436846281690924691244620037799223937653574408441527
62613093161913596883],

[79769370107363578211961826869800712793888445857593191913946095194151458094
146848765716799074679398383764674083902365696084532062038185332718625011252
756893775469675889585488945464260523952291871941600239381303307062967983835
432312624594287120032298853706999292678132641855803738565318780481359286956
624297248129765619778784784082629854228503891670868995672064467369744571687
540890604423653558258205485263827067138023120253904570639092007407421129443
656537162337806978464919495142634231645943927686956075654843827699170672608
500049416920351396359246837657390088796441084909235838605111421080483968669
925973895553774871716622083100743863284904317908336645190369610192943645348
891267050408955006086035871554666847527736389940003295740443508452856466411
761357145022330603976436281682752553188397008591134817640793120182177156709
141292714973890351662580838128817542751165785012588350049464865660467841735
549694302912673826031629307287595213439713940487497882700150689013157759584
115728821971008855962676673322545043900208595485645491273172364124926887196
664388796821266995471,
-79564468333981644205393909273498109259055984489330430877742421276638469289
091042726111819892673398341521693759068138923850196779504047111469941505602
104440251691008831996485365918494438631936676889804630872346576161014774492
143525863500001059079324301622686232465784765132949607093427160453269021549
645706252370830313028369230685009071565818168246101515258119741082554798251
809134689198241772378713147449449873847963833059883608112557653684002579300
488605291122262365493218669618808504706175548507343255237376228913086730257
663438037726478684887671508518114396988027494826471358292733676055117832195
769339166672962570378319343131768503578320687073639954759718091485287692908
620616669163730331256545265994771629252268282493365974184512066035083316092
803138695059397787813599751658521350535886998713817943875406662166688209235
330261162310566720956572153184020019126025203415663006233162296733056103292
538736144562111314772517241194543590957444823026510797706945489614448632985
846746230223941997243295528051340173223209037845926868575514465881179486978
418226044251801065124,
796191076167326179809932391811107185129366240943235763103628604507125891597
754646935073266030964099699573062258254812432015519277323094365550192291124
014393568012940343350454938208654187920329292018395386924141381908160310294
522235694998434034840740650132480360586685657113387006881858378681138844638
815128277985450466262442318598914293321624703560611517902957755561711127528
146720346610600470405107534098644785701341523961388458327465616878224116097
224392856603562132024266747557448028905218183751484222437503600777443185317
480778699866501941229533652998350315154901786517069456983063813421228182783
244200639129798438626715745043093350223860296984046086267063659029296197782
795965779224673022359560146276331279109990059185190437204306292249494445240
258308261373981725201293175126559257898842617425183172770097909340635472457
278999856339266411687867843162430620715843796366713651710785021895785206995
772611986595907757425265550621069589718662395843140061014201831262708844175
185692840702149031104157538463161101864004090051357627301495868117482378174
44571507678840416739]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1575の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1575の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-18827442357871094355979606798982947479920534575047812450966377247234947858
5654074517434439967224226548938343058753837797959078771794637978286404605816
9716574833818112113823773949453337431250181437468812979615395109340675213588
2577240762333959639824528816382225183615317943157143816614757658206289504227
6748980851860744142405267306554781305192272476156285528429883437959002027157
08739146861685245349291109185814059,
1883727479375551278871763846054727022107240726154946317159779282640430737465
7510417050998832561516046098961551134988786462603328366840507539668617657847
5923045450618778921088677058090148569300199068381098022017608693217790290961
7635780785968599036775123992087069521064196400584842446650334776172348714063
1602087330038288768058423509863289718249854758387947645091990221229055299260
122006620024951855505523620443987,
1877097336412107757399480593553588573669051261389354123669089370605703966310
9663616574884834322175150450580413211691110529221024279858840731266520384187
7707865095450629657436867961699627947823060873045832978917984608380686284581
0564622373566907879690802671042644144325982542612344206867283448405841371562
8594209031418229534177282786477898390256959346823967392656805387881264858421
662037495243079901609681852107875],

[-941034962029829750632826127286369484970802793775957607699409967972399703507
5763353026515564942460350517264093363521405602459885668980775277623013775468
3731601316955107385505812690978346249630056448651733007011338372647950121541
2946457213650304570349974969044116908036112997439427327216080599646350045273
8234053695524870165483850517821707060238381196750208868698266418294276624699
85242361924894872560616145410253,
6618637059461634939932650380491188907849738873970593958173949087302107651130
4865695227568474470213387803637410919259342795245683603668075123491939096843
2544977287727831501187492352536098630151767723842736777712266560266749176340
5768251925733836167656166067632078813152369310466708333527320807248271706813
3879478415729826604169647844855755408416330902767062213069369802488509739461
2654190790601992458085889512780,
9414541392233218435988345170223692060878669442050564233095647596609170260949
7529708800024592850411968676654922969655518933715474072747861775783331568725
3906048577694225940494737553938467727223714145552519789230681041155379792472
3634368057762788280114909558988327377166529487036989163920266330679783779937
4614311002092379899418733739826455521641975170397975126933317213971450734710
0626598794426976736879797423289]

　参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1575は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。


■n=1718の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1718の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1266449519962440036164309704011785977941611200512172464980249841773996138
85539057977793883585404538167139249629266609561898483343410680757052544838
95445985103751853895523884827722802414927279551476252531215131330929418524
948936085238399866844388781812675200,
12668903174028151680035066502064234606768787002443470204363587597297785717
07595078458403762488366885737839561261761257825319278012270686172168958564
94659092891167068681063894696353373988583646444431775367663452065875563038
15832108512867094403256651761218349,
75866536739461664770244177633655027549500202545975749907423609008111748426
48088716200122932090404333903845245330594688033606649980509489870373487194
83688413952665941634864449223342094487393722317582117510430951354842520816
6058419910836776558643858578992291],

[-1015162010789875661917149488384156476683552730792885983772289210476481771
04218105246773321069161951630646427932652938425817443576377275627821556912
13289407653662431701555701844065071870087193959701035841902713986289883543
205266879923571473428613854786932101,
10134006721050729983156914427431230782268653295403211299035606426481144052
86171676902873633623124590923206222275588588683541609029370957116490657789
53801971486903206884409703060179761124952673756169824314671361131170898701
27016685927256021861291872022992421,
10156035586960428965553186163056229306283653337894140712877975447410782238
06656686943931809690154502642788030442739069443171568143401478675661047713
72733636315415511376698332473260782924124263687751638297414549947630678727
30846290155448576889884478529350459]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1548の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1548の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1360919417298500783187144621722287715212483141101754705038534708539506816
21405150160222347555989151596868120645389150655551745593254643909476602460
21136943553854803943075352267701118250318589480801875212400216822834763490
41407293993084516703679937504833473205125047456862131951814133478166217538
47441954585564458887583606690142829849342260512802394814107441354886348631
95497780706058300664979931832215063267538344966126722169324566827994462215
703551231905946952986000,
90901364685567080551660696464347432401069448689462872918864060078985342365
19651902909411847559087328106529435388396731984700860991750072411370390435
76513459784087865222817077383070301632510328999257555367246298585169105107
16299050781540811537540032691966082166070221251398463220119946408315681462
43791888274542467638034874597221818602283641035571820469291330461655408972
14563269608668179267709867319338512822024462761135702321550143999674569307
3370899877771012725719,
13615052683570830808053232560326237462537823859768283805122659736500598732
25699401825347539726656809099477745555482372033854000329245716478988861617
79464955393874796943492581369997562111037504572777979584331968942758591367
64167001451758162099121174673753526041719294357464413045374948032527827060
45431234522582780607050237686688689311470288689318176486932487072471521995
36908430287332779431720410815633414706748369259915748996923617533507216041
16453765177138255457841],

[-1015048182046153843457438278624566684218865962198217376711007210972045144
46536341470068540296754146617493020175772396138317101036949725217355125445
77136921792678946756601483903028715521767224186117882767817380239100449156
63491154206547635707553869869173115366551522260876898673358656638711649537
90130633084549129865070158864958762230848606559035676026312032042531734138
49272293586954217190787051917918247857959123641245786094475015792497415200
133637455963711158770219,
-1011897444845279014517106702654796880034447219674710316352436749008408127
87926727410009304894300696098450296828678104150543790876408009843066043743
42119338386012351195727558016998172328227619214467154043340060939243544793
72149173151215188547336924191386570782212483250407961601481359647623385970
95031941406013107055052840063674978711878142906170637635409703978823936778
87263497270930950382220899221952074118988506788932389269459999398674361457
282716495807495322640261,
10145251790298623742989782051053181152675498644943062201370165911382530136
34234093387630828527855693246646329831427117851380607126366966594274018239
31013020895173810804938674293169260606808941084609928112563129342522142726
89424182960208297557164382433943109341221582025629600781324061418497844396
06766166811409806002649331203513630602482424252759228535854739916915289075
22837191729890329449473090487745771197307516349317744900865885247685492000
72837345405581731855541]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1582の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1582の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-4910022692954617786985925733079832259234491686446893069493454157520888954
04552990130768255028582652568457268149335989306610470089933287536574259126
43011813570411387505900505708042622449449358560793856606916174389539409355
04406682521281154698362335075069050079086263639613833643384810015857435254
17839669014352261753986571723418681914266680291829288567808799477659250626
22304837268597238599949034484744778760270715430574490186170757772676525400
999797724126071,
-4903182868918311948954313111216874335812247155854968012529475877558198519
73756903752520874741143496427026453417299114655431294753454711513194842432
01730365525431425854036444346470645631166610498879712794424107970818922223
34179673438193460912804432685205309688911422930462176070666845143497887055
00711079593582021026015457749476101430591698280929346182073750849079267766
08078379138472695422026689526369140638667061633638260503848204360762563879
498801828503959,
49081200252788808255282580093205211380881535967951382907208433510712178280
52594463116068476108868784899548453688106128267610878629478942974439503473
67028803738799428424781323822945908292295769100215794147393272870952314759
05811102392659696540668119291466788439189567235884106275832195614141792792
31867587486735382738130526368630641931398771831985105221163958466569670341
75592474176128024561362530493403611319282892103151056841524369499173404922
79573531476039],

[-2427796801635591763860292700143296292179979978816401195837387831637280071
06524609604250025521715544409984040968762566023149982626315699166013402894
66431578722079099171894961042491130559076609587559276321275462119508247312
74357942937168886378146463936883001404943470212786588763699098837377690818
48430714632065239441356805201057873071967965922221241559237916180739935785
58200831159749854098409469094464260954082277907640633617622722139257703248
644589968212096,
-5474816182461623629060910360670608384850584516019225763942356632527626666
32259569338072401178555886989591933142818404629036229959338144996725287701
83180535910890891483761749583454552633727949237549025153277014248165535338
60348409319173550432861007253804592233814050755286468977016009180329974552
84875290077300713258041823584374395018282140573777005632164364559312399041
71266047754689083127254718646889759290107599932124174412691581420659594807
935933561614939,
54732839567088970927999790431609347416070356901925842362100395520922548396
36989032349592159009215549313449117647388406513634753741813884578583329628
43465672437108949396684838160437499657744853332663458860987774374262370803
15847858419246802631831055469768064829677154640938905564720683016145844170
40482768433848041945433622636196241595143628934004959359100557160375680388
51806932730265662221322302620074223550594797687307800033742330141396326106
72919913558435]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。

■n=1628の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1628の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[33283461125398364188489936546562321292639907326502756347762881283261004737
825933219266404043283373000602220035179520677831450087679427739954240849402
891843777989733993867178453188243985525869213451861187743042005767532104615
208335022626292452599867923153494310603413547568170552677571286392521905268
842242696654401217999236763249037040953193545274940407934577234358587731261
864143414341969286438921688653050104735881452532079251736472962373875676701
0761688702969926129511995710560152295669372386876,
-33248920646077632309909426346460383109697953074124639884326380727364512429
893859929741049908748687172785819755300918919217807142103963558021985414670
557895324126964158166283274637131289108391158236558000458057172050148139448
802545606682703516302455812617447958793617839785198804164393732137656699412
857406440609364245203966383121615251822334318923117022042291684614915106109
747310647018190878981094962114391796816789634840245775192451851537902972139
2811172514024053963514953801556402007963218253351,
332990130167946600609036439255578946300849199699314303247052019953498425624
758106837329341850242606661179762594782628347591405438062444151388541439473
512091534530144861391156944801761940128824250646641541635704079033191382483
780049038551255588225659609463277356163846719699676059001845663145633083520
136528886362120329534817019482283962395513806119533091172228562125860394942
642423153871906480432671874034980262922435712794925442311837617920138196947
900844008468252067128119361219301485095111911701],

[-66462812142419028577076510975825678245465207583602099444437443150973382708
118341029587702389708860773595011127466574779040663043695056478280846605630
453515076267846736559367397833171363848914946553667977270113953892521877046
487044504616677840657524985878337062091697514363457620145095911156742939134
706944860553111417532680892041110494823039723025920070358939822945817510122
033346829048350946702937888044006355005084506238817879092991002277915909775
368824134638625698157519437963948775257290918059,
666852925599887728866436836749308821780146127125026795377654330583496913514
679235018327451615303400372733493592061380824302569397697069284793221598698
434728893965844265787311103129445501783042677007562542452718709384724109201
771664406380128273866764378077048604891416845873551976366707365762257822936
071496289937916433437087008199574914665148640277212783542411229008030668738
923359097066116141852919200006932001816122104030143800185004321013783803002
25698067734966593092936610665390052195791782359,
362182428482045915067744578582599771552493736713191010309722630168139185262
783841756497499957285482860938638397010069936749354878478655166750849598605
278609212401719566702330738158867268551464848852575628785708388146486249770
860889749577654999917574987511615429545418420795510522732093392715691970929
855453895830993244495129914573776854025631555384766056586632069095519902352
805409378232788115409854700798342086144577263629645636522459443458027893107
415904350658661240451304331565050440957947137125]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1701の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1701の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-1139588787138624183025045508551659485505421702084206131183842223153462840
42639852956794310461177597036528741797865572251673548106848797790709352395
05286281649530584550206923088037169726203577237636713027506833489833136642
34851402616166294432284380929330647601816654569871662333391803079953667109
02337595602104190007425012368421128961821191566073260691325452517761093991
56944120018079087219348590833062387623888387675086227889521502015076851472
58543701174327781224478360091036261966355348759822572580836162596725730132
04707769447945470209285833121732437150032600884345405661216678092404000495
82032718502268062796503954221256351145905337058382244498034874921892511130
8197772664689872291763902569883131028345722400436494441,
-1137480372216937532221590883705691645880053068479672815583648243441774859
82422489812668266970604062599492330188571039525149462620400898265968028278
67008203235060440296774362701495920912535118912033959072326059787005594483
56918542838819052087351453366159194880499066234984487638442212219934864773
91836473786647847307280605070235878292759070040484638176972209771045054697
49190205988221733786770884343553168077462721882268091529101565534419151198
72766370035442736094616141452751997874144150819952561991960034492921420312
05348746251394723579839951047611603454455688052070651439850097177374297097
72715337938745160870966547000088947440714332280363770995389835137999340842
1344512539648769729069481727338227410242856621948839375,
11391146046025769975643907876608255016496723849231739643077508978508020944
92308691733648817753074603520680763784788587996424916009419322660582051939
96257674805001865136481060935223443713426141377830704258990770415132568611
72378339655863334945588405538529011609659361862022975431299145733155001134
93041312357550295451706511647896227848736386575138918870859736439148129087
47704584691040006260467772773128469341368144880802835977197289655622305903
56468932302535009762973178386743555330207935453147638131719809202030889672
35215025528018309068606148049840783789220857965610725671720249866138416191
58769546969695292682400377174464009846908634775025135573167952194371995531
959834630434407474755050979750170887556154481784709441],

[-5137304615771470561376607588394445225106011561857388698940110666386160762
71573504450833332173242161386641378095018300516431898581535453362959642222
03162267378150071699164071879771261936848780721382244489884409007253894046
11458184652264753587733788312060005466658294905571846298690755643830633350
94827480567808963932003751167628372415254484045474772857685043860207127259
38465451188368899219713294331631780924212634157598485455942283224172705693
70886536162479434122500568150506065052261259982462906721795503645891173512
87246672516947601807176207596453805437686397652299421212524723163199910648
63033605735741665791131174161826602496614035529676926500201882904842694820
47841058757814806994991532710635237807757040646874309,
-9341406370417064586534176702401393522550320844831173110940711773285855584
11102485615346618338381529320059512094264334008600889531223103130600324937
11014655551289703782616404438920209176447982416116648835399810444005235861
74839540200264373610895039556450443793487415277258326034488720393721447398
15311869754198230482623966009385911892487750393975168418116175667468879652
07587284031492861966709756264113265222309735973738574378615031148913621858
86772487942255376136434867994846329820027380361259120002649189234317583513
85489355026424338376716096299658382545595118641466066981770214784872048469
40533229199463755289850024856258379543415970774130701052591170778373124925
11253934912003943273363547372592341865524779858093684,
93383912876884977651557173679559046048351936442345969492808037247932299424
99988499710436093420214829124148896043293045005671053758320820081633126332
04078127208949545120145190265605708170757008827757711718423297632041878030
16059851565827732376944041815889673936045687795306531158426233393344697109
28345761288353081877898616376760927947727056547790275629709384330884729609
80732044673056709184291236963710378439492220349986310991800619628804653460
86767505693358940543177160161328815005288084876631539327711266254084878227
13039165561706151396956337717136305824388017383095084009146968664398615144
33329891708739968094426991048071138566367217113229449314057002671900360828
2453574314598506589971796930620663339219912182366809]

　参考文献[3](Theorem 5.1)によると、1701は奇数なので、自然数解[x,y,z]を持たない。


■n=1630の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1630の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-126435306175877304693922691391234515760995280945833232621808315116285788
6489257043003456212599532850390665702398275519914088074895267210763036529
3830621149608365482996238012659204036148612195751504700896573825734909802
9331891975487821437291401596591128355456115379698254630010422319547497634
5513926261263499664392058285732255642021325142093618688166428984840706606
8479753467916229469810084861360639147965038036141106296118467862501537542
126488229716940006181657801969583531187315469858019,
1247416689028571070126560179546506603078075664521888851972167740245865454
5498702555405928255014792435000718691001026764465706855974841392130085752
4198932628859016452061733583648360452119917406867372386363031647100139791
7448081360170728002851192643333759797370033519780905921510461426477790238
5814518307110729185546231582802395042326129136177231239194067107685383587
2907152298375694043865144619519432382953493292961500032348476479203878132
43001863989084963447029106522047833645503213648139,
1265084598837767859846174200732698731495916544728976922722321325153829890
3325767520451003456024746344022734685798733329957498380776067991983147939
6344187432806602470377797461189431299417596293425683507819907889622054107
6091499259365156168372224893476370652791654994633044201261366205776037194
4022424851134928239635418466263333275664222451452927445985853239085429299
1728402763027760571176111835542052438308430368493916812050433542508806169
96936288701087042401389617739369355867891315489024],

[-220024545469584393941186045045763178432180747169497511886029476115693643
2846540132881999482438514212646776007609570736221932967933744048676918642
0843088507747220976506998235794264125135504939180093977042201838960390369
0300329053715700694398051776887468765078651938948344671363955335609460261
7227217333881893506376977457952998966624139515874933161536021626062972641
3459774321243011162241840988491881913874118088873812409047545288977100846
97829049914143732912354598859115445327865929896511,
-201686679692938607060535309922335450963199007267092209691477596362745827
1219375233800213448655030114003458712364460326288271156654385849912617694
8555847625079755560717810370539680462100536050277265890551082387680567436
8837041255146877571170073574319028353973945063724365751683313863048172492
0880591884292953302228114222008398390068464628917398448964489064753593665
4814282130740057265175872897585094595042314931844049554280100407860546410
25310519713661695201061262166877069979462394494545,
2199017604985578925244562277858495571999837038247871322327069119861780042
9222009969108701662824363352910286634130077331524998241056513962693137457
5856390684619243714335036700711933136808239841906340952207479878054655014
7757123812064461281951240698575093618607583745367571422885135925012795876
5959931927618551524413219007432559602371092046920745386924230468234586149
2106870733140993102250631306372513996813950517434167144725208497427687457
0541980373406925991139995870954242943483893935951]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


■n=1634の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1634の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[-64202077497103601649581682892152230067770347308856162893824279046645259544
214463635539079311756571414159926058882946002400808585208984258155868906500
598632408230493640545051230995433675919220019685958515473015626228781855080
590995779864052964601998746368475204294339159590920146047120905029507150073
198069746152024233239956728675546473852028362379269488926481083605956604791
603469420858057659793004944848360005481390000806836577470903883482957304783
929953918145440879237126606095888299,
478233627846851854361885972139694269725478732482728590157123503255837684167
801230633381579222833998296617191878983969236979184962785741550785453051650
049846157351186565797929131084060506045969375709332984076728902033017899310
447704744061939545538841200568041794829323591266125357865096278103674687915
112981768724596527321972988719805827217309588108961573909978551081580060502
200810556023137139672001585115487737928013081139556028098411827472354522322
40920550624854937198432974761228051,
642312648763353128958140649664464556048888995048682516599367903644107730955
432748378879393144148616927065711892934426856712075752188358256988620029419
392683469872757259083369456367597195629638797658931644854240539793546272603
292224239098730281410251790118777820396965493977593821209962121171444934984
800238011541084172590666763998707231540954970285108336912186334043111167870
844015423362523205816047193078961793569176768739805768622396379431230638470
00023430364561571233395275796862624],

[-42960725340646345777283799627517064521107787858882525085194756955639855324
828248247770392616386833335872401720074367736544574965046272527886745107905
494638703531109554477881592627746244407361371030621864583446959007602429632
287402106131013759144478121615080389887541119120950276282568829200590264071
405912261830984901622107382395806380228005876572847449526622170256866125554
849627907109927460136091654277330495651532111757523625479120290256726098665
405612053216455400943220712916569575,
-42785588009530544166089291106359767645398407952736446707584578893680524289
733482640137410186409544119861814157077490375921946861530154544081448153566
573479173219269189961254631485512432564306117575695288008972711968922312965
351054777657564156656765104051749000815017054168708717999875338183759075754
133629747375446371576290677577137439176579847218554614822210164632533433167
478589757795607569073909654293009476460989580390707935972036276911916329905
170465606973150608634043351119897897,
429383906078672250941347327186853661484256116560552211935690234187200190109
160837714772147225900702363340077319597517977583967647860008084506566740702
834771365305749309533490665017638178140274965002086358262120343739532053243
635015643025472282061648126704652406966463655353457885449568853219156982531
710175095812605911729731655365075718515701272695527185384537923021495685361
650255114122353838204880479502621165828159553753486676006452716154130729837
24968358529350893786143042549763447]

　自然数解[x,y,z]は見つかっていません。


　これで、1≦n≦2000に対して、不定方程式 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n が整数解を持つも
のと整数解を持たないものを決定し、整数解を持つものについてはその整数解[x,y,z]を求
めることができました。その結果を以下のURLにまとめました。

・[2022.10.15]　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n, Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X (n \in [1001..2000])の有理点
・[2018.02.12]　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n, Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X (n \in [1..1000])の有理点


■n=2058の場合

　x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=2058の整数解[x,y,z]で最も簡単なものは、以下の通りです。

[1986441050665987, -1985721399751747, 1484304324230400],

[-1321632378357283, 1322179780957603, 1317843327014563],

[-1021682082194102382235342647679999,
-5405467503236827495527542989206896, 1019055423868254279081321889873925],

[-15923886539264218009134202800318931,
-15917832302560744893841928364849059, 15904819175233697282608720250435871],

...

　また、自然数解[x,y,z]はかなり大きくなりますが１組見つけました。（→　別ファイル）
(x,y,zはそれぞれ 68361桁、68356桁、68358桁)


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１０月９日付け）

　不定方程式　x^4+y^4+z^4=4418*w^4　の自然数解 (ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z) を
いくつか見つけました。ここで、 4418=2*47^2 です。

9051^4+142546^4+264089^4=4418*33059^4
24000781^4+25966847^4+116783982^4=4418*14339531^4
33272354409^4+58269337042^4+66621823003^4=4418*9257840411^4
43103330871658442^4+57227097369762201^4+73778630076639421^4
=4418*9978790896262367^4
2863644978578959^4+70427731847023901^4+290668002211852398^4
=4418*35683246575072683^4
248041367259095991^4+403625188294084558^4+1383244226619101077^4
=4418*170015342827525709^4
34382145308152216827^4+58853622177277602031^4+67928342504169980474^4
=4418*9413114274806487023^4
520250449616169361593^4+2004269918338039317982^4+2435881926928224453301^4
=4418*328450750319584146581^4
7732822990865154381087^4+32871445785888220274198^4+41276705315453785107707^4
=4418*5510580601179596151833^4
1261103413416092726720317^4+6400198942855136759600938^4+13966487049130423660785303^4
=4418*1731701565584458239798377^4
・・・・・・

　この並びのもっと大きい自然数解も計算できます。

　同じ不定方程式　x^4+y^4+z^4=4418*w^3　の別の自然数解も見つけました。

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4
　+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4
　+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4
　+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4
　+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4
　=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4
　+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4
　+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4
　=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4
・・・・・・


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１０月２３日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の自然数解も見つけました。ここで、6962=2*59^2です。

1650491964322344197661637^4+2210459688733716347240518^4+2522209689895845066951435^4
=6962*318635150189388184290193^4
93177695405116955725906543306^4+120159094306411156271972202859^4+137232837767140861187446877355^4
=6962*17402416693032814594130832809^4
18635360829508264456813367732628530619732784982010615709898332168170890100032696658512390018^4
+25954235861390922629029267994681849624597402494619435964701867925372802035285509816072133827^4
+29642395734940022385962381459100840675045800904514108194139226307434897818286657536982267115^4
=6962*3729173599939411340481583972662609709886866954641511654789865321599637391424178203913295877^4
3353675991245937089972801427337150227124831981507924570879634145203784115506728145104369866396185688328621^4
+4168943077784619233586679645934443278899918324589601506790797980792334308092520908185584605570749131561294^4
+4774742873345170829809522580439921369322156981118217124764482004973202778608187436973478632377632658231755^4
=6962*607512851131275960333710048169595633626507202547290277752220702736197638026984754881378735525584942978669^4
・・・・・・


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１０月２６日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=9522*w^4 の自然数解を見つけました。ここで、9522=2*69^2です。

2512^4+9347^4+13145^4=9522*1409^4

29751025^4+48409877^4+51287812^4=9522*6101239^4

27548336363411536^4+34270815509506607^4+68174472657383795^4=9522*7052581162829763^4

11823042468517115^4+50508246654083497^4+70133352524735084^4=9522*7536625918270763^4

33026687330598727812747167005964177^4+62432139911280175466986681251797680^4
+117027379848984072424296041593776179^4=9522*12097539872487720401887933792635843^4

16668964367511606070000107947188525^4+403817984264708210303012055939463241^4
+408528958786237539013162810999427696^4=9522*48900023734371091413337668220276337^4

7857813923727783460289455468336392004632762319464690815^4+44773494505256497874307516135998555699935853122801575736^4
+69083073244961919265926290206122078196418264281984787563^4=9522*7283623857611629812445160099682024032650304606247483439^4

5921391222829080458489303558942572921772401693352013836762624888137770137^4
+15134142203912840409602718239150719760428991997266363030402628623284520020^4
+29061443533668540659148651097336534635787387115859424432198703507585223253^4
=9522*2995811856620162037513674208540282018500835620119559415938338666363950059^4

5308559011229155732833101968240101414695270097624316683425844182658716013230306466901376120982113^4
+10425328663982448532136409679793736814786833636654741975160832194372162769661122178060769555946800^4
+19251223863217473453686598481463501000511409327692944898093959760170551339148892142446266370585251^4
=9522*1992098513938400192305206699958342772409132227231650069377622285306794293563751639182909666530867^4

864083715873319593014625022718944166970770575579708666524518447263410725606641514638386956511597271^4
+1379205063912508887292145506940912200494787294245478834532650015815001945123391016062684562349386256^4
+2329190685678187594707887712881844161106790452869713865552825760738473107362662954314792069651112845^4
=9522*243740819150877227274155331573161844446697082664447568086486408893477109380203757190052650727502673^4

33011050386443917838369733140161742641314403627844303068984800547906556332880410098944675882764044064232441586515888344913215055290689700206234101104^4
+38945167175449108972921631548399455637440282351491721190951154413474820954032954529466757499469350661029005091527635010515639669080883456429403576027^4
+68331927249552943938917357011610861070982630964752114643647627435429430676521982573075877614223380186157462852441789575161613939311191593984737139895^4
=9522*7178846537524643198840664780633067472240139205124485304698220488581581788470690116460346470564879546308499858564072888130891025419012011522273572907^4

46257859641696580352050784887029320880258462714855913072675397878771719771215119366221034578171891263706274865490849550038824824480477779160387286268875020^4
+54923053106078026957189890717823069941524318260527631700282584998745093199094536251775917278331582383615542080124724232328891995060368568152774678439649591^4
+287978887101904407886657997954890775420823671382675915912746446167905568737573944630815665407922622564382886046345754371384543582099469839019035922259551187^4
=9522*29167171788159986787570295749023239589154324612275230264189936181125139800063510245873641157918719889172772223615287758324601950923562919409225197433697199^4

24676532430669941021015378407743141306573495778734909306670883346701462406802303104086540964123155012334205707544102103903655626871523206308213611733119167503253828471682019227854216147713027560600609070954753116718147746139849302529273956810164488457703098325163184085603563062715721574064698699829389229879856622685698642142988977719082546390190690888919359018483070080912968043079768765113290547056835304729584^4
+34421785702408994482373544809396158580847882542374762652804805341296516731859453736516223128498995943509412760070294021214639911227736535248287570350387333900919497069322938198214760138805124629581691225640692376254309259635152378229382492410959406547342293244540721661972983014389910958337224497019493136295769199554043668393311973620341107501349310507627867676440028307841673515752146223176256957643363300377067^4
+76771812552492178442679706307088852785208183512062014635733010749446914777933343320914006832145054345618591394038027336495957626941874050762223790224346728771230790877883148902256390289079861565890329475768739155099312077995867680890062639989101304121233344908675967103437086270932785736162950397406435503763920528658251860911224192459371848647940385700206225916407682407591260241771024491734107569240611236767495^4
=9522*7869179877366160533385662099763216512007011481979345533774248060362058449291802341259948499431564045719420213133127261180160042590456271220740506714264496597660280126523481231918791092756856740399234735689250850789079848392927911802791002599896929309582864346232034734355639539793912150464597521991308668090106203071621800735758999629593263633457118670413403951945842902590876131185787289218568023083397421305147^4

1559233963354001182400342451899992753594387694070851598157670660086651893010695727747892455446615057978676169719458083416012882145017900881725874305869320745359900702237281048939538910065191298944232280870996682600169647874314709033747405750187976800169689174163644446317835273815025323661378080553765230594155810830235136495741329544461459782878437383779271687743760612496337570806167035619739468807556243528569536943234505545875203^4
+1865629648969519944576380703168728634661030449711571830266051058633181634532214779867475998753476009348981196612610362112233500044433919372195142753129508688709878539129567708235968651219341009182077903280435712246186518289047201046538247727968354786659374610118277980040719057996099206691591804927219512525245888806552051769453378428847808157882973794600168281355518141145843638083808917917579929011126569522470086562616487267716740^4
+2412302102768116576465244648500379288561378518801531963690940395093932080971571524665062532267197186962407047591687636381644743727192492378659647416319666386488722471912624721415762802121758183711040613298641892574975667693735433776092817385290040341859709148089173197249228858793940263926068671851623642283445499188853395948140672342780931263155015433337506040945085183519276954365127918591643125859560517770233649606593775204854519^4
=9522*271697276883781307028487216768647708328386470328246579904792459590276423739729480345969976606048555616365769377707947372962866624432939621901706553780034788340018757555215802285700065257841390418462929905074214229961495853706961540921012083895442761567678534601798835027791557171758576247471768810013533635517664125853176207258508073160932437730253245321488408778396311090462928647776732979652174914066954866202161256044705859118311^4

11767091186909546141306169841720764756130444581206934865435083326718186324558032608360845647478118583213628785572518971058718422181882712499617785288401417546280548454067201602382103280178197^4
+21830051836600793275033248123722803872566312685135028554921401475396149139345332250554230224173776843744934332759975080155681076955306345037806994633220063180282871232738534276976629049180560^4
+41229378323930948856829177159874273962428511393208645570261693325109828803037587956062416932399612278014005199730734822308303592797510243811009351894727135488662160708486571266798479733343111^4
=9522*4259956343074635959865480010451083687147833306946387015352430199526451079902678000416316135792892817600235836811103635222334388696035323579616330654919659124607468630291690038541280227664251^4

48588612696681706539332284880881678066394966951409422641375909276376181764665606914777584727816870546192475066326086587946096959218544100914286141825869923120464565480947472744796829728423082672^4
+703474795914013590515101720131600424575386512802901910158455769280283652901529564247237148888193358612654414645180396876766922543609586829454955196918992346633084665273789025089558822056051509255^4
+910264039748608729490591252447333086695055227112491202152364539881422757106668742204584809957587510731968719121180476110840796406976726904134259221816237420235676621658712840373827228716396175517^4
=9522*99450818535724476838272547619679909733982746157950419736649826908121469691574206136603631699958202228829878415193815996725581998166032273158949702115166379267718973527715079151228590791495100961^4
・・・・・・


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１０月３１日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=11858*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)をいくつ
か見つけました。ここで、11858=2*77^2です。

111417913176^4+652385155333^4+3074200685543^4=11858*294747082303^4

989522788949749^4+1923889556727881^4+2225885962409616^4=11858*239793073620943^4

1701713511620045181523042141354502976^4+2429813624428955092984771383725520743^4+2592869368970102591783500612686031981^4
=11858*293873849578109621404244688453108829^4

84311176725896063265078515046409864221399709^4+1077645461411499107993340438805609092105996233^4
+2903716842431288173313339427123879056416285128^4=11858*279570869292624553125365421372350883158022637^4

262905270922502054577133750613077133231805289468453226917565063106460315075798633808033^4
+317852556339301283813454967602542855238925558336850897275491780986395252230505771829387^4
+4812565748462729043837406947733213350791125464760386748974363038937820901253290200621032^4
=11858*461186777370763959167067260886938037439442204523466088949124377949986564194020170472501^4

6060778310683696270269227303514071561740722906362208725678373722952048675709479905793317480509^4
+52483952287526101770396470328040487798617782596464178119473508864268879192254362349338649602151^4
+130072138410261173484893213311683101480027359849424387129049025144341205991097052796688195474552^4
=11858*12546495942774991484136097073557723938025551724433856229406881975700087947882597883659513261339^4

761160107389833041746598710031445596739171839203893792216497929246977574276565306989433016916563464352^4
+2025271387057428921319275682416190126942135205233819418076330679253576580878163281077430656649318792581^4
+2960126243951465491590214965796210375513984557782817976567540196782564565630549743114769590690265722319^4
=11858*298337664697644874927797509749916245022453787583664889262970559195759934684308416590196799787586474149^4

35634472808503584996547440145968743076178269575513104408989260509486972045820682790180226751472754561519^4
+73257929213824305336768877166164926641006312127040139875296610385366237285038802052962193115333369213957^4
+88628050166553404442008263815573995737203441908830737386569828538508612090131142241991409217537700880768^4
=11858*9388120894058109322938842547894963687771516788857580740005542948111384674678699965202073733433176074347^4

35716388934647142648300976362024249554859539105798476647869380028575993557722160798988336874036276848158523272528^4
+102808132838607489069274053957361514546238169036956679922172296438050503960868360188356753109434052286018237694057^4
+158274813559361478376305376340085250632027301534761878376792081748030754352532802954424093703852836298410796133077^4
=11858*15810136468889180664008219101198826867870014189545194759660192283580581801527896999945154258691621134556315007729^4

2654399107876873702056357447838028705416019594918349888474901402917041186807359293994806461925328078429246573364724987891389781839434452744^4
+24972823556100086549512522259319016053467007353851854695322504930994589737330807009432177555852025888980171990555085243089008044468880143651^4
+102294135453114371134215139469149560483255365618273827395129900513351686932474145263878742793051566013021128695761687701150239234302630267999^4
=11858*9811443093253408960854196707073374470303575202053886233924833318763903745402184771078636859497905718595506253957778557363463619032437100353^4
・・・・・・

　もっと、大きい整数解も計算できます(解は可算個存在します)。

　整数解の求め方は、

　A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点（https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-41.html）を参

考にしてください。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月１日付け）

　同じ不定方程式 x^4+y^4+z^4=11858*w^4 の別の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)
を、いくつか見つけました。ここで、11858=2*77^2 です。

190718181996292699353956201280557122016275374019113727^4
+208838495170498672648169667428131044329692315315005763^4
+360812274643487125016468375230583903933306901853480028^4
=11858*36115369939828398336378055573156499022963759300563007^4

17354695111573849442212574082352350501498888543795512400585532257378173955530213723843165663048239057953870364881410949826696694846918757816701016875109934822642815145947168333206592024720744406432667172631270500498375073522155361537505047094822068162030249654965814213975908431209191737038893365314246859774878135381634127324199682148881545669786185634264999764736411420272845945771672388194270075426218721887115451946362977489849394435472433750683902600423399240184368031187665451^4
+22826264211148348329913097188345351000971733659854652655575416933233860464171300424830670772746170519091269746228675976238196509553475628561943195460329896879574556000501876733165609417917898789392400494991933954302233866469893690959382402849745081225294794117104497465787162945916046983728656177991024369491991624330292640079545124992057513225354371799513116921065085377848191005917342919585153491257794266898687523341294692216444500390289302092792539624566613037980401026989542959^4
+36259912691340546556513604074157085658889848176508449864722901475774166262872380377737406898422730631760277320101316866469462670878634735024236941168753576119194403776832753023640067847449443560013190121600445521169144088865311677633735658260753543838423478934624374127072981524068632829331370453139720572540315358868515520439556502876180162563826341060342699241707893558363988205203002552084895606429484960622847642052442966030300634253283645269332878547815356939877059584239082116^4
=11858*3643992842483123802993113014999960940237358152057895249507851806034330393946760123559031202264894022859877254785992353131866928707945497827166310885397176763298090443990893118000122733788475144968885339645407580858138746583762904641627418940862358162155719650059510400088921346753060569403932060825707558159188682392280835582101198220408826834142324868176138606071311902305655705947111127674322006722472103181516870363144854897152937465340791337017007383574091792234945267219796579^4

156984350165208009998116860899629433185156082908240027750173208715905619561070179321036004756332606046929967551864405346794108396809139297051257723429169665096111419620528986048026812749349463720651512574393699107647952350057874600029048676590102939711741032049822192429832115718006978258725890949699087742053533674677569347742086632412665128078325041059478491939266243743893852131331667679604828171578897574089906000273817327408567015106401552444755418930999672365718561323976125536119933240931673056103361389644672983450892311310506335735447949275569153974281694082526470987866696906082579243627266922587884964171325329834532043678968012604549186699796353539377079132109717308137649017580251573305685477871091733704151822584971645054512548917403814687184039937281719479663060345985650532619339631166110128972155611149767910118350089847056586527241460517243318873875330159221427256709397673573471073236001078222321470280339860201473826446217836246209798589715621748997735161206336580626791451009022909841501256131422490526537485384697906463600555239797631462246689971991908558330902269585449693288320476941197431195524002220122085445636434296118325002835906376554833432561127435846640742019332987769194398977038754817671816741630466520646211776948972319389304425417930068421922236261438113094186907720859584874948970672075835333804368311^4
+249371103922370243926884130504903840335803993669868869484915347284560123743873789726038477112063216287383548740928302706242718744780963819108074234882444632002051332781441181360818853339938335974673446310430242600047674255220881231115800371111941002144758442448773413832712020218898528403517667854689300857560538734282897852864675129354591821231953061589511690519426345927843949125133348276049564475140239430591658394516534436739802413927030422187930019810778959572874479702639903335499996828090430884993704532753537352741135094275605668872938942268237280589910415567636730334774368646446957951224872892650118860673050699426347362493908785170979113327369528694436444493128673446908414852018241260603784069264071627499195840780121643874121664748022821568710013691255287754560896956804594378922620226221912097887845246550750197119259157214803026406146616016052766021266823089668764855536219180254840780359918230051479268695720820624044959689918219322012308976608371413796987255284550458150308750937144674115673726697908610863854254998770945865932325559791801926103389733354311713990048369472744087046103476705344716423057014928543274973092614537075042627814484970093305600278473720577499782148599150985741832626996484778616063904759828047481299033041025898633907124722302134938382572923280632575757916824345250898028422787404556564094615539^4
+366197412279389749182985877659992319588359310554376612762637071599403291545426116295957669839918944918447228455236482949234023951912201177577878712490635887843517506987109831169932802865809671629499948916514651162834066340607512597998126282654581103942829821359223166746076546709725817769677288994131964261799212033545997298448596881535733110660474090554257882390156006410410247550811428324515842349104683927797463692266743513133517503919861810065567371218339978040493324643053517954858893887768459998024451267284823922144802517810151886926048822188550936941358404031288023879271907423444089612758724636454869890771024438033701415667031689526411591451738484954168857940716278745316287513505853676573233344504500140007019714384427945977386253900071377831017955418364445262609079514582501490301783662731180289006812706203817692278932956459780255108277359387615424136959394913773483981814314850537687155492173110609852405700242407418032573971160863178232363308060171337480580045385172459844983829525453107066013388207736265808695699092773977998677189154040339809047798676901282309963212718706557354585411086087590545827868412419616577045733359415774754142875860525160623540811925298179502061004147621166938014534325502844848659308849850395326840680920069022245886116336473069050094315683677950390476211163750556977579155955395871006110608644^4
=11858*37096839095585487001891238229511195225987066570342663446316666754952339453470535588297444895500878283084449768264004860209860977274345536394421481975440196901963412055889615410932595773125503090797456931275696643666065788333324916448072117985831745348273287243883094592997035464369844746425823923500416736231379767339751404545465970111333120583607693238897145707885734772550887034585611079574253594816844781801531515848379595274486229653025934966739225858669573535641239345416898822452119106199275218754857931761819013956012155962485218412839103046429744331801981691377204904854899864011364436972611687586322517056753443753547513240071727646728164361581905944815869947992244107218523625745153862861043891534010476150369410301677254551204236499702526835717078562363478696888273455987301486958878809069817136316554606011365335204073081216390226309553012486277771800991297120098327366289380480475093439083146152057118265732315952843274437778629147577752677111706626477221556293324574441922369560948709380675822724063636229336230245342120504545213340078522137070882665383618827338969063302640998889022889423804987534570315867239243636295946736524022483067657643428980067061352660608081692008134310213020983988468819303519364422947010970243393490895656759134364000121386885868133017966109193553641634847546366694685289584837156301179882050011^4


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月２日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=13778*w^4 の別の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、
いくつか見つけました。ここで、13778=2*83^2 です。

222601^4+2408274^4+2863999^4=13778*292549^4

33774164352954757181603324246847925129901613009143833375760453^4
+38585427006986034364571206015869031658082115694811115164617122^4
+46666762183537493518960131104507003277403678502338208198211253^4
=13778*4948299025116306621234264359633998540151926368640469567839803^4

1647696054852734331539658863167013373712004728933048175539840897850633629191102700278133196163412532959453725275224109899648516913228851579954119369835527325905673256141834^4
+2440335681426518905318169117936509552180290509854043790132056414377663784070295603821222139192715287767359497360401285183644308592016604495739456052752259948522543486778559^4
+3017978408691407090334137134584089183354419346555433302852540129646991985263579830350371512350894384399794064879955245609775602525558824424463570016816048083602578843375041^4
=13778*309114290430890840191309105911115646532491076534340619164241037145482992089089732716557637920195210840556319510082002227031178403145397476558243506580583199410246805081609^4
・・・・・・

　整数解は可算個存在します。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月５日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の別の自然数解も見つけました。ここで、6962=2*59^2
です。

228599^4+398665^4+545334^4=6962*63949^4

2100025742028550565317034540707738058045456505545843^4
+45421086823208472056892867402399364963564512694486330^4
+86814184869655136511659601486250622020198579283437163^4
=6962*9677261339139326855835271964461652181768811191847443^4

249298444659946216580102823233061001362855903557953088233344226765750315904321202782503678245420711109072619072504886026525839122137544129754288169^4
+426731012331015557050156264319686969010691327978193190239981400598734951250398782346270386307026178732207757240763857868410222584908435162639864929^4
+549744075897987365966780251715142723959110464825326685272977437616813792819203052065304918264721987845990443381772406556770932668513763173959270590^4
=6962*65527397430050936899944588671541300142348971721754922717799825151542525706306491654476066089155900185262315918276450284734653838306746804941639569^4
・・・・・・

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=13778*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いく
つか見つけました。ここで、13778=2*83^2 です。

119495384902^4+710769404341^4+1863324838933^4=13778*172889470611^4

10858539351671^4+18812592313607^4+43672407082658^4=13778*4068988742601^4

899845672612156501940358798814179175950237961^4
+2848880022885609948243685649965165968885824642^4
+7290073773006129542485909078008929822010591911^4
=13778*676804286491662129399515488528046774580078393^4

631687913623090903089667595831516784423047195476678^4
+804951234902616487477212258124739811143472775708273^4
+1497481886471447136650176791050619619045018374649561^4
=13778*142036082302511592325069503522034652734943191396869^4

2971337102647465424269573409708455481200899933261669359728768414874498419129249^4
+4011199880783500963728708761603033071641575266616442977129661802609886773279346^4
+8062733767433340968458452582531736015678372203642659814371975481500150833535567^4
=13778*758598401363612632870759533310638407976843212900858728190950967627188033395057^4

873786834988008868696443175663211964259325858586525240931193489221266456502947193898^4
+1060251999075905785372738302168971788742701144576846921286946060025427258289657464977^4
+1648268022632209611192655312063266625599226865666229850181180387231230372202488348969^4
=13778*160869996358558772208960121115545311703448325466783526581638187496320626966808499901^4

10979889977766935135998839677842650807330424708721917905534431330218084038922964691047146255548660436731662762^4
+23508014031133890210387772586643270786054308663705336895601160513214009567615666021443377005879456785991744301^4
+57501462330226830569777675723990800075709414853451977617014446661815884709526834664326277935799796214930780429^4
=13778*5345816976019897114409380834901803972621947594164467640976217199806559574936094073912813226027746344457608347^4

12762978579416288948274047213686540612997077401703678289451355774814761349841028157650347333657023250742894568883002^4
+19175127697903284298076633715737574428421107634051190570370162526371895207870830664205476558828620990370607562677561^4
+41822697629138236879060751579889390282947759417663120149153521418412600184123411841997535426354955519332755846815249^4
=13778*3910283479791508203608477079309482797217831638150421678415464528487157371588166912035724119460105716568095594869637^4

2695115167384878828303663796900058486602503956102894967783118815259275332062603521871141141315187737405432338183339819705719^4
+3277511096465092385810862801759487319005076619237301576777153384435283948666371402128020126565570075326631417122156284302314^4
+4670344358249726444524300809484758872660870005076317838837215785542577959037452860367213019256241096391284583726907336227263^4
=13778*464955769924017994358119574740254579722891889992674597404775296440430496399124080420252408014189525077221863018404685832773^4

20433281997143442191584049013355057316919740878176726771779692380633668348505702232916748150853116933579516139638387001099681^4
+25928741445418524253105516849566255255722052178012940042845474243433772912963701503906756338803169070307959280862452988311303^4
+30528943902617961780990340250697877775287935434920319657136842862064685469226991000647696949485862687521636748250225939808442^4
=13778*3227461749111690709343271426402367727740600381899203951992767632876728710050214473774126355749037881744106784821110349543789^4

169406191608333654643982459483321319581782030620476715388016250136784315193192954552784578137078013988631131005218857534074948144156770706104210198405554225817021837019739681^4
+14192690607254497183623183266587279411399304691389160460910975754005331394770933967840252889603465782266630060518175897568736597145477863656774164188286332374225989973252454447^4
+37543167959902925567032213884742769528805583022464576843907565248618959011289398328828648770986229673710157476734866111670516127405172943362576883319436732923082052985154550546^4
=13778*3482807811034607672642738382540045994053704136995258408477512742530117263675974852805157218150706646018605670627960140533690753486744325423121511025221126477247529222744366913^4

633320975134102469452597696493275514532931455144844539761187913193686870497808396541739566362863104598803434532770657578110802307502423995747639418045292014124352875804065195123969262578279421205953962^4
+816570097106661905155512256442524336737296939077375400304130457602190382302062845420999378153870281246197469380652718601324181923527550534276817806229383289864189488211818682789241635196185258692668757^4
+919647796632978213899685401402326870790353819515638199806920089686635828973120524293857143365515225116859169321843234975299884044918272413993002092314277054535207489008614929233389101533415908605908709^4
=13778*98948898976804196126388391453143455602517737524423806995366322253576205489046088144520245560017734025833179730452017706453167666465599818665368876243840344183869709080541952532431676181704454187642939^4
・・・・・・


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月８日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=2178*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いく
つか見つけました。ここで、2178=2*33^2 です。

528988010581^4+673826751736^4+822834434251^4=2178*135897934731^4

49844029091^4+228952579861^4+1483468981664^4=2178*217182947871^4

32000460716164506351472809244649584^4
+47670989989820702500353956628214259^4
+248746349899636462497589048073689931^4
=2178*36426571922982851947285034444085879^4

219507746553061630073271959990039029^4
+345799864919744525022431412950223784^4
+383012923799155444962051137895497861^4
=2178*64689472522977490497944967135575859^4

4247886730314556740559893326524060211336868814818638384626485985765650696187476424^4
+10276555182927856478355052939728893360596697277975658519978982451476784714475954661^4
+11670167990098221359860153445747647406368220274887453239745226775105907256291873589^4
=2178*1926920096314721144089794707945575272003854088607782609121105457889769940074085859^4

5858372351350412823673613297285142518340249300692964162714681467684315231755113424^4
+14262474492421509278535085470527587418637596237419314316151868872102242430440306861^4
+54925930702219486645766400849682227997502008388224615170311743961352200421225868811^4
=2178*8049510025988136395443832599296811923735586716748306680901984507964215704941577159^4

92523331016124834130983179128468220533345013638229617283672079900912630324404776905949^4
+107415245590344077376373651500955307943432343200277172373640004965192143323512211297416^4
+745834333180667881833496221561802310937841467955581781234539473812937895131771826249299^4
=2178*109194384044826231478679211916895729083271158503438215979597599114906534283557270434731^4

832427785185544741813593446827186459117169965399347964141424998644371511005574282804781^4
+862367075819385373310904061759463110080590260291258079049719577752932557771914735704576^4
+1163818864297235231518227302727154265527700171153252102382494775886894044265251042684629^4
=2178*190490522024141222541614293067769538748705899187170720734526921786328580765163638372951^4

32343646465540020374405054055012194446924556801456454499655399676892132780074396996875979153316607130011137264^4
+67184580239958680530404754236190055978477199388350134531875907050458060068646175994811638370491284398555776539^4
+69113812343097840881117209010485969598404902804572272496438545006364398625303692167704049531455388192033827149^4
=2178*11941280630785677256212008642389605437278007519638491706228928068860632759703064522895297873091747316950194559^4

99086885102907091061133518464840897386417249726456863897498001514314009657822751461773575114680391673548598221^4
+145178142518767170057600202998310929638564021753689799020991512191226466544956322490393648081071332820174645709^4
+982336358486864965126579910723286009745544979377303211068120433389363544898914219624517002077686214467880968616^4
=2178*143816516790840064839285863215486629714430455475808440193875885910190257215178679747243718586950696742653140099^4

7402828404243984605569799596857761083188684616198899318755520325606359325625917142527732833764716150443457464061005069398106543690098472786747725675221^4
+109055448219187496167163626666386467122013443971397273156203172334131052157913533533454936408548813157838175427666029864912728911866765220155464114624189^4
+258439059976348300495211273805152256067481791706429947947366101179547901609399253574500670190605862845281786989373703299413968571717051166152257178704384^4
=2178*38127019987677768106569877907114822365419575293625935664896704268769769922561670479105948209163293163966484983200774207663565968040885077734973580176591^4

355657056903591370904998529196634010697455729211248036984778872809470194701195670163566260518941637617270289629376806990375843499773311149045671575225816^4
+1033173151718523130300340072786928835269370800071190810291035789170693076317388211734916205885127282991327309587254570286630363786911745778491872247106091^4
+1299605409373936588177403406063494969633460167811906230670001713642013242776853383999384856884364984983069401868806509342735642070321417894879285572904981^4
=2178*207118807767775390906579420896511429963360403449209655479902292677845852164520611490200519698442822932393637083514781634913813656388527691304965245386971^4


　不定方程式 x^4+y^4+z^4=578*w^4 --------(*) の自然数解(ただし、gcd(x,y,z)=1)で、既知
でないもの(大きい解)を見つける方法を紹介する。ここで、578=2*17^2である。

　6個の小さい自然数解(x,y,z,w)は、簡単なプログラムにより比較的簡単に見つかる。

( 257, 336, 527, 113 ),( 201, 521, 748, 161 ),( 223, 404, 1513, 309 ),( 2617, 3689, 6768, 1417 ),
( 169, 1919, 7548, 1541 ),( 2959, 7223, 15572, 3213 )

　一般化するため、n=17として、x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 --------(1)　を考察する。

　(1)を解くためには、(1)の両辺をz^4で割って、x/z,y/z,w/zを改めてx,y,tとすると、

　x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 --------(2)

の有理数解(x,y,t)を求めれば、十分である。

　ここで、ある有理数uに対して、

(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)

の両方を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(2)が成立するので、適当な整数を掛ける
ことにより、(1)の自然数解を得ることができる。

　今回は、n=17に対する最小の自然数解( 257, 336, 527, 113 )から計算した有理数

　u=42/5, 1818/397, 4242/1945

の1つである　u=42/5　を使って、より大きい自然数解(x,y,z,w)を無数に得ることができた。

n=17, u=42/5　のとき、(3a)は、以下のようになる、

　(857*y)^2=-417359*x^2 + 1194658*x - 417359 ----------- (4a)

　(22/9,1/9)は、2次曲線(4a)の有理点の1つである。(22/9,1/9)を通る傾きkの直線

　y=k*(x-22/9)+1/9 --------------------- (5)

と2次曲線(4a)の交点(高々2個)のx座標は、22/9と

xk(k)=(-18854*k^2 + 1714*k - 1832)/(-7713*k^2 - 4383) ------ (6)

である。(6)を(3b±)のxに代入すると、(u=42/5に注意)

±t^2=(-254853803*k^4 + 45052490*k^3 - 58573092*k^2 + 838574*k - 13790777)
/(-1011336273*k^4 - 1149406686*k^2 - 326581713)

つまり、

±(3*(857*k^2 + 487)*t)^2
=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 ---- (7±)

±□
=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 ---- (8±)

となる。よって、楕円曲線

E+: y^2=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209

または

E-: y^2=-(4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209)

の有理点を求めれば良い。

MAGMAで計算すると、E-は4-descentに失敗する[計算結果1]ので、有理点を持たない。

MAGMAで計算すると、E+は4-descentに成功して、有理点を求めることができた[計算結果2]。

E+のroot noは-1なので、rank E+は奇数である。

　楕円曲線 y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 の有理点で一次
独立なものは、

P1=[-210928092371/204304, 61985243766606785/92345408]
P2=[-3314741716184/2785561, 2446782281228982520/4649101309]
P3=[-27132923883491/32126224, 123273126454748335363/182091437632]

の3個である。よって、E+をsyzygyで変換した楕円曲線

y^2=x^3 - 354982278072666952368*x - 1814602859398845682809197438592 の有理点で
一次独立なものは、

Q1=[-153766566926991/12769, 1219117269390998072337/1442897]
Q2=[-38663144670004884/2785561, 3078756446230973138552064/4649101309]
Q3=[-19779899559396831/2007889, 2424871429504987817947527/2845178713]

の3個である。syzygyにより、楕円曲線E+の有理点のx座標をいくつか求めると、

1, -3/11, -52/53, 257/191, 284/857, -659/883, -773/1021, 467/1157, 1213/1195, -373/2571,
-2549/4285, 1123/4285, -2549/4285, -893/4285, 2885/7067, 8867/11141, -7885/22613,
-7193/35137, 30443/61949, -32537/117559, -71960/122551, 52328/264779, -134731/283667,
97333/297379, 776627/106997, 1138909/1449187, 2286655/1130383, -2528399/237025,
2045795/3178613, -328385/3875329, -6335275/6348323, -6739867/2263379, -10925201/1229257,
-23341669/2292613, -45479135/3614599, 61957519/45165817, 7448561/67942103, 8305675/72825877,
2699/95097005, -177861821/129253597, 255287533/98166779, 14464696/262703923, 54749693/322057115,
-1642709/382566763, 23063195/454707917, -85438423/603347711, -773428580/274731061,
-57077759/976968343, -1144187749/1185939725, 1484183104/225255475, -667450009/1757352641,
915021392/1841673521, -168931109/1917633421, 623391085/2413191163, -1149618439/2628486703,
-904616264/2628794215, 1933785709/3039131965, 3572162513/557810159, 3742652407/2834781361,
202219351/3743061481, 236149021/4045879003, 2526439303/4783332289, -3351021161/9484704169,
-1803142273/12137342201, 3341489149/16609992187, -19464137383/6823737191, 17130342527/26312129057,
-27148117817/16368502033, 15908779613/32730387299, -37675467433/27979947041, -128146003/39276525107,
16154164141/40480477885, 55846600333/28386132475, 12475278532/71465353411, -1121207891/147807031867,
89847489356/168249611633, 23753490359/202299430049, 159638212799/267197161145,
115988670719/436305364889, 612696603979/246797683339, -480250421407/652719474599,
-335529248005/872164892741, 535665669475/906667684387, -26475050089/1020376747143,
-65393920157/1041488724445, -321152161853/1195172351581, 1084350164384/1345201603217,
-658977544913/1370134048831, -1392943937519/515414827495, 276920885204/1662849519539,
237258368071/1740850971481, 205174626317/1815804446621, -1184647511119/2525673234863,
-122805276167/4199129250319, -521812196137/4556626929623, -5351430342561/3335616257857,
6807406959995/6908757154301, -420418353529/7629665580473, -12219630158744/3923639454883,
12771966364111/2173024393753,.....

のようになる。kをこれらの有理数の1つとすると、(7+),(6),(5)により、(2)を満たす有理数t,x,yが
順に求まる。

　よって、(1)を満たす自然数解を求めることができて、数式で表現すると、以下のようになる。

257^4+336^4+527^4=578*113^4
2617^4+3689^4+6768^4=578*1417^4
4304^4+5599^4+7497^4=578*1669^4
360368^4+472107^4+747341^4=578*159967^4
31616483^4+41179627^4+54609368^4=578*12191319^4
65381968^4+88720433^4+99969847^4=578*23626701^4
32193074203^4+55137925928^4+115838763997^4=578*23956381071^4
137719266224^4+518327846617^4+1240115318079^4=578*254835621149^4
37748011899184^4+53594235797981^4+99149554742299^4=578*20738861139087^4
911962469072^4+47697882831047^4+117088521489553^4=578*24042624900021^4
132040660931^4+50981397800904^4+125164601220757^4=578*25700857668551^4
183172606825601^4+641724245129489^4+1528921737849616^4=578*314226890651457^4
3992834180231888^4+7947888557831901^4+17553209227881707^4=578*3619290521182967^4
424026664488682768^4+590367110261952177^4+623604801055104311^4
=578*151567028070931213^4
426782348370995248^4+597519030989210843^4+1087059872673685869^4
=578*227821281673890983^4
511871981592360784^4+863111044562217231^4+1800903433700001673^4
=578*372616286771678861^4
1650021572438995681^4+2247043212746366664^4+2507220270902205367^4
=578*594958299500558309^4
1612453217410171421^4+5743271933345698939^4+13697534912126403912^4
=578*2815046894250490591^4
7936594276895418859^4+10732374603788513592^4+12212467136669907859^4
=578*2874813599676665071^4
622958770626821931152^4+2074655592165152706017^4+4926169783694173430391^4
=578*1012552004365558762373^4
1962917948926610413363^4+3796383477507785726544^4+8319462310438050509213^4
=578*1716105413379319233203^4
5384567221639123662971^4+6997214332605763269997^4+9459926037921191604024^4
=578*2100247549156328095031^4
14979387953953074356329^4+20946524056435695442864^4+21909160248870089122631^4
=578*5349267423129536330697^4
144091019256093688591481^4+379718005409783626524001^4+882017123297849127717048^4
=578*181441554542368090763581^4
431181146058955199121584^4+562696779778915419572749^4+874427646138745348611131^4
=578*187832554359228114323463^4
312434022614016528013847^4+636432985842491242386672^4+1413721289183998561918361^4
=578*291407432306288627926393^4
676667754188561721721808^4+1721774108602917055112737^4+3981501314758365708216503^4
=578*819189754610213423150469^4

[MAGMA program RP4()]

function RP4(fd,M)
T0:=Realtime();
for J:=1 to #fd do
FD:=fd[J];
printf "J="; J;
pts:=PointsQI(FD,M);
F,m:=AssociatedEllipticCurve(FD); F;
printf "rootno="; RootNumber(F);
for K:=1 to #pts do
P:=m(pts[K]); P; printf "height "; Height(P);
IsPoint(F,P[1]);
end for; //K
end for; //J
T1:=Realtime(T0);
printf "realtime="; T1;
return #fd;
end function;

SetClassGroupBounds("GRH");
P<x> := PolynomialRing(Rationals());

function FD(p)
C := HyperellipticCurve((p));
fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
#fd;
return fd;
end function;

[計算結果1]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<x> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve(-(4332514651*x^4 - 765892330*x^3 + 995742564*x^2 - 14255758*x + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
> #fd;
0
>

[計算結果2]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<k> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve((4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
>
> #fd;
4
> RP4(fd,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/3258966138237103174658\
0487634752 : 1)
height 51.4128814258091804198557312981
true (-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/32589661382371031\
746580487634752 : 1)
(-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/79933440530789674858170567405117976705700848776979344 :
5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/225991840811874984342996246241\
91742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
height 124.817988080703879880727284149
true (-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/7993344053078967485817056740511797670570084877697934\
4 : 5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/22599184081187498434299624\
624191742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
J=2
...省略...
J=4
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
height 18.8919679210704994202720646483
true (-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
...省略...
(-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
-33225075956333521771598929318378893719039539417616286028133995342322288215/3628266170517752686090606297680923266273325\
17791450461902368044736 : 1)
height 103.793113698916990650060057862
true (-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
33702920602207105488671174531601698730150323030925233820529762361855818075/36282661705177526860906062976809232662733251\
7791450461902368044736 : 1)
realtime=151.878
4
>

　この方法により、n=17の他にも、小さい自然数解が知られていない場合(例えば、n=33,41,
47,51,59,77,83)についても、x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 ---- (1)　の自然数解を求めることができた。

　詳細は、公開Webページ
(n=41のとき)　http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-41.html
(n=83のとき)　http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-83.html
などを参照ください。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月１０日付け）

　不定方程式 x^4+y^4+z^4=15842*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いく
つか見つけました。ここで、15842=2*89^2 です。

126215805930147^4+485935830351899^4+2973546615480140^4=15842*265094067731333^4

236158429530448531692009863365098768151663151306576841341335723161415719322908976909991812733873357804925231937889826578804525145469101^4
+283293964486964464224516447743899035752285897905685403979835833551666003081655906734176753972087965135564876383588161764282993650626435^4
+1852381311834935750237261357803228034624125438244795658444100893385105070692805640862236353930093123995101725029863982842093106693337828^4
=15842*165145190641921456766957238595760956513692563001125795696726264084587742066655585830135564897579894923526426130066675581025906991381169^4

94823813032644294721428142735054976174667569817339773629143976228070377333187258536302661538030391671503457646043591508300786904833534234084228686248527446510366425940299229284526972156382258200399538998018901718438574700901791635618277814147221510613493606615096627561110986694661701093871685803157481094816818576979953144623652532567128865860074301749474128517219199941075^4
+153097756625465939556045833403960274117140702350818003444472732149494028689897864324963641003768624086993202932538448345490226852356797360744796764813668391470909344672028521198482456990332131598787404805009496460519727718604757380034106376914745018264797612462891528649838718454792285821491382320896630811947623109923578957561420092628872710381072695315972510963716392652211^4
+718774163774293278320456835430159440537292109613301528548042843598855373971446023656684641402486766293572077506927471633729920002051962120213825401103196150319341095297419546730906733765481455935020334928399154362932200907846984156498665296169281088511281140356014254755100079056535262673973591112237138234797223896961226104828202913884475791043039076487530102866845098333332^4
=15842*64105606897885694763667337375598445903952289837320872231122540950405608831207927732278818236816903710313823211845200258817794047025782946231184497166645061741607711982926663347042464546703710215352691763812940004206993207773742292506039243573577669006540212995381804932233093161684724288023946221917816631541122665914223389898411643839275939682518894539274200532613165843801^4
・・・・・・

1741159879^4+278196472772^4+415156380825^4=15842*38743789163^4

264969655489272996898855304594180249126633464732806856821540706873750633897448848867267578935283437044^4
+361682073306942838435651958694629042177131586063663165825648437842499979589004431802393339855767906825^4
+382994674028578746783341775177187661309563054315698368742944007344090996679206639224538606230584240367^4
=15842*40720638661305420612722155615314259167296330704627036040345118311584880879301979511492594531167168799^4

262014099938308381985789711386138418198678777871559642020065434070405615735419134217152068281282415848356685461599383924471427299226050862542567058468103262504795844378504683226359535077671648183429966726200141073800758306787816313444126128840862422420816974606141439555437054007324^4
+328465036966340813444499799979927465247255104253577852843816460473958624961113059281817890897236245271737317614083469267807388755595453313473741611091354057450119015130599518974361280968600308432342395397926910030690516752842339357250374670398355684802431892446877901436996794907625^4
+350566271860209455275895848718172790449574392001648100566117681567842628749040153735811210525021293959674122370848037958619931032133328212347310594573005081565834785985813173229258895829077214656716739804805315993133666363674375961662857148634323523913304805934163267150428218510657^4
=15842*37538406057560437332189763255167425808113387106512247265130392580828833334849199096712423953705956545213214458284721377474304490277283334005693833168750335160943021905127461921764174005124623446959427994919247509003527954342019842018909189262752726808882087133071092614889919574071^4
・・・・・・



　　以下、工事中！