２≡１．９９９９…（無限）≡４/２≡√４ や、
＾log3(4)＝３^log3(２)≡２ など、異なるタイプの表現を募集しています。
（コメント） 最近、 －１＝・・・９９９ という表記をみて驚いた。１＝０．９９９・・・ という表記
には、驚かないが、さすがに、「－１＝・・・９９９」という表記には不思議さを感じた。
いくつか説明が必要だろう。
例えば、ｘ＝１２３ とおくとき、ｘ を１０で割った商 ｘ1 は１２で、余りは３である。
さらに、ｘ1 を１０で割った商 ｘ2 は１で、余りは２である。
同様に、ｘ2 を１０で割った商 ｘ3 は０で、余りは１である。
ｘ3 を１０で割った商 ｘ4 は０で、余りは０である。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
このとき、余りを右から並べると、 ・・・０１２３ となり、整数１２３が表示できる。
「・・・０１２３」のような表記は、１０進数表記と呼ばれる。
例 －１の１０進数表記を求めよ。
ｘ＝－１ とおくとき、ｘ＝－１０＋９ から、ｘ を１０で割った商 ｘ1 は－１で、余りは９である。
さらに、ｘ1 を１０で割った商 ｘ2 は－１で、余りは９である。
同様に、ｘ2 を１０で割った商 ｘ3 は－１で、余りは９である。
ｘ3 を１０で割った商 ｘ4 は－１で、余りは９である。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
このことから、 －１の１０進数表記は、 ・・・９９９ となる。
すなわち、 －１＝・・・９９９ と表記される。
この表記を用いると、複素数を持ち出すことなく、
（－１）×（－１）＝１
が示される。実際に筆算をしてみると納得できることだろう。
（参考文献） 跡部 発 著 「数の表記法について」 （数学セミナー ２０２２ １０月号）
（追記） 令和４年９月２５日付け
上記では、割り算により、「－１＝・・・９９９」と表記されることを見たが、次のようにも計算
できる。すなわち、１０進数の世界において、
・・・９９９＝９＋９・１０＋９・１０2＋９・１０3＋・・・＝９/（１－１０）＝－１
また、次のようにしてもよい。
ｘ＝・・・９９９ とおくと、 １０ｘ＝・・・９９９０ なので、 １０ｘ＋９＝ｘ より、 ｘ＝－１
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年９月２３日付け）
表現というのは違和感ありますね。まだ計算の途中みたいな、同等になるというとですか。
４sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。
0.999…＝１は、厳密には極限の問題ですが、ｘ＝０.９９９９… とおいて、１０倍して、
１０ｘ＝９.９９９…＝９＋０.９９９…＝９＋ｘ より、 ９ｘ＝９ つまり、ｘ＝１
が気に入ってます。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２４日付け）
ちょっと、ｋｓ さんの計算に疑問ですが．．．、
x=a とする。
nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、x=a
さて、ここで、a=0.9999・・・・、n=10 を代入すると、
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9×0.9999・・・
両辺を10-1でわると、x=0.999・・・・
となりませんか？
（コメント） 「9x= 9×0.9999・・・」とするのではなく、「9x= 9」とすべきでは．．．？
そうすれば、１＝0.9999・・・・ となるはず。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
上記の（コメント）に対してですが、代数学的に、x=a は、10倍して引いても、x=a なのです。
ですから、よく説明される
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、x=1
なんて、真っ赤な嘘です。代数学的結論を否定するこの計算は、おかしいのです。
別のはなしで説明すると、 x=1-0.1=0.9 とする。
10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9
x=1-0.01=0.99とする。
10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99
x=1-0.001=0.999とする。
10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999
同 様にして、x=1-10^(-n)とすると、｛ x=0.9999・・・・であるが｝
10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)
よって、10^(-n)＞0であるから、
{ 10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1 つまり、 x≠1
ここで、もし、10^(-n)=0とすると、｛もし、10^(-n)=0 つまり、無限小は0であるなら｝
x= 1-10^(-n)=1 つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・とはならない。無限小を使ってもだめである。
私は、「0.999・・・=1」は、間違いだと思います。
1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3は、あまりが出てきて、0.333・・・・・と、
あまり 0．0・・・・1ですね。無限に３が続くということは、あまりが無限に続くということです。
あまりが、な くなったら、３は終わりです。
ところが、0.333・・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。
したがって、「1/3≠0.333・・・・・」です。両辺を３倍するにしても、左辺は１ですが、小数計算
は末位からするのが規則ですが、そこを無理やり、３倍しても 0．999・・・ですが、
1/3×3=1≠０．999・・・となり、1≠０．999・・・です。
また、ε-δ法は、実数なら、使えるかもしれないが、１０進数では使えないのである。
数直線で考えると、ε-δ法でできたとなるが、１０進数で、0.999・・・をいくら1に近づけよう
と9を増やしても、0.999・・・でしかない のです。
なぜなら、0.999・・・・の9を使い果たしたら、桁上がりして1になるのであるからです。
9を使い果たすということは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがって、ε-δ法
では、どこまで行っても0.999・・・に過ぎ ないのです。
0.999・・・＝１の問題は、１０進数の問題であるから、明らかに、0.999・・・＜１なのです。
極限なら、0.999・・・はほぼ１でしょう。しかし、等号で結ぶことはできません。
100歩譲りましょう。
NHK のBSPでみた「コズミック フロント「相対論ｖｓ．量子論 事象の地平線と“異次元の
ダンス”」から思いました。
車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラック
ホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったのに、量子力学者た
ちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は無くな
らないと結論が出たのです。
さ て、自然数１，２，３，・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、
無限大は、偶数ですか、奇数ですか？ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶
数でも、奇数でもないという説明では間違っていると思います。
無限では、バーゼル問題でも、有理数（分数）は、四則演算で、有理数で閉じているのに、
π^2/6という無理数になっているのです。
有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限
でなくなっているのです。無限では、情報はなくなるのです。
ですから、自然数から派生した無限大も自然数もそういう情報なので、無限大は、情報が
なくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、
複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。そうな
ると、大小関係（情報）もなくなるということです。
ということにすれば、1/3=0.333・・・・となるのです。
（でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・）
10進数について、注意書きをします。
10進数は、10個の記号をつかいます。０，１，２，３，４，５，６，７，８，９です。記号を使い果
たしたら、桁上がりします。つまり、９の次が必要にならないと、桁上がりしません。
０．９９９・・・と９を無限に並べても、９の次の記号が必要にならない限り、桁上がりは起き
ず、１にはなりません。
もし、超弦理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないとすると、
は、=1.414213562373095・・・ なので、桁ごとに表すと、次のようになります。=1+4/10+1/10^2+4/10^3+2/10^4+1/10^5+3/10^6+5/10^7+6/10^8+2/10^9+・・・・さて、右辺は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有
理数のはずです。
したがって、10進小数はすべて、有理数となるはずです。つまり、10進小数は、無理数を
含まない、すなわち、10進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
当然、2進数でも、桁ごとに表せば、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、
無限であっても有理数のはずです。
したがって、２進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、自然数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
結論として、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
（９/２６付け修正：有理数進数では、無理数を表せないと修正します。）
（コメント） うんざりはちべえさん、ご投稿ありがとうございます。うんざりはちべえさんの計算
で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりません。9.999・・・から0.999・・・を引いたら、9になると思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」という書き方になるのでしょうか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
上記の質問ですが、それは、次の代数式の計算に当てはめているからです。
x=aとする。
nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、 x=a
（コメント） 仮定が「x=aとする。」で、結論が「x=a」では、何も計算していないことにならないで
しょうか？うんざりはちべえさんの計算の真意は？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
Komornik-Loreti 定数 というのがありまして、定義や、どんな数値になるのかについてを
OEISの「A055060」で参照できます。
今回はこの定数を q で表すこととします。
さて、『1 の q進表現』を考えますと、1 = 0.11010011001011010010110011010011…
となりまして、この数は Thue-Morse 列 となります。
Thue-Morse 列につきましては、「犬の散歩コース」に色々な関連事項が記載されています。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
「……999=-1」は、「0.999……=1」とは全く別の等式なわけですが、議論が明後日の方向に
すっ飛んでませんかね。（前者は解析接続の話、後者は極限の話）
また、はちべえさんの論理に対して指摘を1つ。
はちべえさんは、「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがあ
る」と理解しているわけですよね。
で、最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数
が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限ら
なくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
私は、
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、x=1
この計算の、10倍したものから引いて、0.999・・・が消えるという計算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しても、無限だから、小数部が、変わらないということを代数計算で、否定
したのです。
少なくとも、小数計算は、原則として末位から行うもので、無限だから、末位はありえない
ので、この計算はできないと指摘しているWebもあります。それもあったので、代数計算で
やってみたら、x=aは、n倍して引いても、x=aであり、aの小数計算が不要であることが、示さ
れました。
DD++さんの
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」
と理解しているわけですよね。
これは、どこの話でしょうか？たくさん連投したもので、すみません。バーゼル問題でしょう
か？
で、最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数
が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限ら
なくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？
これも、どこの話でしょうか？ひらめきが悪くてすみません。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
上はバーゼル問題のところの話ですね。単なるはちべえさんの理解の確認程度です。
下はNo253の話です。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２５日付け）
1 の値についての十進表現として、自明な 1 と非自明な 0.99999… とがあることについて
話題になっているようですね。実のところ、1 の値について 2 通りの十進表現を許容するこ
とが標準的なモデルとなっていますので、なんら問題なしとしたいところではあります。
十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえます。
黄金比を q で表すこととします。ここで、『1 の q進表現』についてさまざまな表現を列挙し
たく存じます。
いま、表現の循環部を()で囲むことといたします。
（注） 10進表現で()の使い方を例示しますと、1/3=0.(3) ですし、1/7=0.(142857) とします。
本当は循環部の始めと終わりの桁の数字の上に「・」を書きたいのですが、今回は諦める
こととし、()で代用します。
話を戻します。1の黄金比進表現をいくつか並べます。
1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011
この他にも多数あります。(上の例では可算無限個の表現がありますね）
以上、十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえる、というお話をしま
した。
なお、上記であげた Komornik-Loreti 定数を基数とした表現を取りますと、1 の値の表現
として非自明なものは、投稿済みのあの表現のたったの１個しかないそうです。
もっと驚くべきは、 基数を上手に選べば、1の値の表現が【非】可算無限個存在することも
ある、という……。
以上は、ウィキペディア（Wikipedia）の「0.999...」を参考にしております。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２６日付け）
DD++ さんの
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」
と理解しているわけですよね。
について、私としましては、自然数の2乗の逆数の和を求めるバーゼル問題は、有理数の四
則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。オイラーが、
π^2/6と求めたのが、間違いであろうと思います。
ですから、当然、オイラー積も有理数で閉じていますから間違いで、リーマンのζ関数も間
違いだと、私は思っています。
で、最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数
が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限ら
なくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？
0.999・・・のあとに、どれだけ９をつけたしても、小数点は、移動しません。また、末位で、9
の次の記号が必要になったら、桁上がりの連鎖がおきて、１になります。小数点は、移動し
ません。
Dengan kesaktian Indukmu さんの仰っていることが、レベルが高すぎて、理解できません。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２６日付け）
有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。
なるほど、ではその証明をどうぞ。四則演算一般でなく和の場合のみ、すなわち「有理数の
総和は有理数である」という命題だけで構いません。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２６日付け）
DD++ さん、これで、どうでしょう？
有理数と有理数の和が有理数であることを証明する。数学的帰納法を使う。
a0/b0を初項とする。有理数である。
これに、a1/b1をたすと、a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0) であり、右辺は有理数である。
a0/b0からan/bnまでを足しても有理数cn/dnだったとする。
さて、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えると、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) c0+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右辺は有理数である。
よって、数学的帰納法によって、証明された。
#ちょっと、雑ですが、お許しください。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２６日付け）
数学的帰納法は、任意の自然数nについてある条件が成立することを示す証明法です。
つまり、はちべえさんがここで証明した命題は、正しくは
「任意の自然数nについて任意のn個の有理数の総和は有理数となる」
という命題です。
確かにこれで、個数が100個であろうが1万個であろうが、有理数のみからなる総和は有
理数であることが保証されました。
しかし、数学的帰納法を用いた以上、そこには【その個数が自然数として表現できる限り
は】という制約がついてきます。
無限は、残念ながら自然数ではありませんね。
したがって、この証明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は不
明なままなんです。
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明を
しなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？
（コメント） うんざりはちべえさんの示した命題：有理数と有理数の和が有理数である は、
今話題になっている「有理数の無限和は有理数」とは、DD++ さんが仰っているよ
うに異なるように感じます。
１＋１/１０＋（１/１０）2＋（１/１０）3＋・・・＝１/｛１－（１/１０）｝＝１０/９＝１＋１/９
より、 １/９＝１/１０＋（１/１０）2＋（１/１０）3＋・・・＝０．１１１・・・
いままでは、直ちに、 １＝０．９９９・・・ としていたのですが、
「無限の１に９を掛けて、全部９になる」ということが保証されない考え方もあるということを、
Dengan kesaktian Indukmu さんの紹介された記事を見て、考えさせられました。
無意識に、「位ごとの四則演算」が無限小数に対しても適用できる、と見なしていたんです
ね。
「０．９９９・・・」という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを
明確に定義し直すことが必要となる。 極限を用いて、
０．９９９・・・＝ｌｉｍｎ→∞（１－（１/１０）ｎ）＝１
ただし、ｌｉｍｎ→∞（１/１０）ｎ＝０ は、実数の連続性（アルキメデスの性質）を元にしている。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明を
しなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？
困りました。そこで、世間では、どうしているのだろうと、みると、「バーゼル問題」の「収束
することの証明」では、無邪気に無限までなんの説明もなく、やっています。まあ、参考には
なりませんね。困りました。いい案ないですかね？
ところで、放送大学の「初歩からの数学」で、有理数には、循環する無限小数はふくまれ、
循環しない無限小数は無理数だと習いました。循環する無限小数は、例えば、1÷7ですが、
あまりが循環するので、循環する無限小数となるのです。ところが、0.999・・・は、無限小数
ですが、あまりはありません。つまり、あまりが循環する循環小数では、ないのです。
したがって、無理数です。１は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べないと思いま
す。
（コメント） 世間一般では、「0.999・・・」は循環小数だと思うのですが、うんざりはちべえさん
はそう考えないわけですね？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
０．９９９・・・は、ただ９を並べただけで、９が連続する（循環する）理由がないですよね。見
かけは、循環しているように見えますが、ちがいますよね。１÷７は、あまりが循環するから、
循環小数になり、無限小数になります。
循環する根拠（理由）は、いりませんか？
（コメント） １÷１を計算すれば、９が連続しませんか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
１÷１＝1で、長さ０の有限小数です。あまり、0です。
もしかして、
0.9999
1)1
10
9
--------
10
9
------
10
9
-------
10
９
を言ってます？あまり１で循環させることもできます・・・
昔の同僚が、学校の数学の先生から１＝０．９９９・・・の証明として、説明されたと言ってま
した。これで、１＝０．９９９・・・は、終わりにしますか？
（コメント） 「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
困りました。いい案ないですかね？
ありません。なぜなら、実際には無限和の場合、この命題は偽だからです。反例の1つが
まさにバーゼル問題です。
同様に、交換法則、結合法則等も無限和においては成立せず、それどころか同じ内容の
式であれば何回計算しても常に同じ答えになることすら保証されません。
もちろん、9を付け足していくという操作に関しても、有限回であれば当たり前のことが、無
限回で成り立つかどうかは逐一証明が必要です。
9を付け足しているだけでは繰り上がりが起こらない……本当に無限回でもそうですか？
というのが最初に私が指摘した内容です。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２６日付け）
宇宙人との接触に成功し懸命に文化・学問の交流を試みはじめていました。この宇宙人と
のあいだで、地球の数学概念・数学記号について対話しています。
宇宙人側は万能翻訳機に近いものを持ってはいたのですが……、対話のなかで、不等号
についてはすぐに宇宙人にご理解いただけました。
ところが、等号についてはなかなかご理解いただけていません。
宇宙人側にとって、「1=0.999999……」がどうやら難関のようです。
十進の有限小数の範囲までなら等号の意味を理解はしてもらってはいるのですけれども。
そんなある日のこと、地球側の小さな子ども（ジョン）が、宇宙人の子ども（名前不明）と話
はじめました。
ジョン：「あのねえ、Ａ＝Ｂについて説明するよ。もひとつなんでもいいから十進の有限小数と
なるＣをもってくる。
Ａ＜Ｃ 、Ｂ＜Ｃ がともになりたつか
Ａ＞Ｃ 、Ｂ＞Ｃ がともになりたつかの、どちらかがどんなＣについても必ずいえるとき
Ａ＝Ｂというんだよ。 」
名無し（宇宙人の子）：「なあんだ、地球の等号って、そういうことなのか、悩んで損したなあ」
子どもたちの会話を聞いていた大人たちは喜びました。地球の十進無限小数の概念が伝
わった瞬間でした。
※あとでわかったことですが、宇宙人の数学での数の表現は連分数展開を基調とするもの
だったのでした。
という例えばなしはいかがでしょうか？
十進の有限小数の全体の集合をデデキントっぽく切断して十進の無限小数（循環小数ま
たは無理数）に拡大するというお伽噺です。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
DD++ さん、無限では、情報はなくなるという理解でいいのでしょうか？
（コメント）の
「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？
について、「1÷１」のことです。
Dengan kesaktian Indukmu さんの難しいお話ですが、お手数をおかけして、申しわけござい
ません。
（コメント） 具体的にどう計算するのかを知りたいのですが…。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
１÷１で、あまり１として、
0.9
--------
１）１0
9
-----
１
とあまり１にするのです。
0.99
--------
１）１0
9
-----
10
9
------
１
とあまり１にするのです。もう説明不要でしょう？
もちろん、
1
-------
１）１
１
----
0
ですけどね。だから、1=0.999・・・ となります。
もちろん、これは、方便に過ぎないと思いますが、あまり１で循環する無限小数となります。
有理数になります。
（コメント） 1÷1で、あまり1が続く計算から、0.999…が循環小数、すなわち、有理数である
ことをうんざりはちべえさんは自ら示されたわけですが、このことは、うんざりはち
べえさんが今まで言われていたことに矛盾しませんか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
0.999・・・は、無理数です。循環小数とする根拠がありませんからね。
この1÷１は、あくまで、方便です。0.999・・・を作るのに、インチキしてますからね。
1=0.999・・・を終わらせる方便です。（コメント）の発案を利用しただけです。
この議論は終わりにしないと、いつまでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だと思いました。
本当は、これから、0.999・・・は、循環小数かという議論が、したかったのですが・・・。
「循環小数」には、0.999・・・は、循環小数と書かれています。
勝手な行動ばかりで、本当にすみません。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２７日付け）
「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算につ
いて閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなる
ことがあります。また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまで
は断言することはできません。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
DD++ さんの
なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼ
ル問題です。
から、 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・ は、無理数であるとなりますね。
DD++ さんの
「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算につ
いて閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなる
ことがあります。
は、理解できました。ありがとうございます。
（コメント） 論理の飛躍がすごいですね．．．？ うんざりはちべえさんの仰る
「0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・は、無理数である」
を直接証明していただけませんか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和
が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそ
れを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。
いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。
すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が生じると思います。
その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循環
するのです。つ まり、１÷3=0.333・・・＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。
つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないの
で、1÷３は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。
その説明では、
は無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではない
か？
それには、循環する無限小数は有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数
であるが、答えにならないでしょうか？つまり、循環してないといけないのです。
０．９９９・・・は、根拠もなしにただ、９を並べた数ですから、演算はどこにもありません。
循環小数は有理数なので、分数にできますが、０．９９９・・・は、分数にできません。私が、
x=aとして、１０倍して引いても x=a でした。0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、
1/3になりますが、1/3は、０．３３３・・・より、＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。
つまり、０．３３３・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違い
です。
（コメント） うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
論理が破綻してますか？どの辺でしょうか？それは、さておいて、多分、
これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和
が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの
もともと、有理数は四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和
が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。
すると、すべての無限小数は有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、す
べての無限小数は、無理数になってしまいます。
循環する無限小数は有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。
からも矛盾します。もともと、有理数は四則演算で有理数で閉じているという事実でありな
がら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。
これで終わりにしましょう。長い間、ご迷惑おかけしました。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。
まずは参考文献のご案内から。
■《高校生における「無理数」の概念》（大山正信・米沢光洋） の p.10 から引用します。
-----
彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としていると
ころから生じていると考えられる
-----
引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定
した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。
自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思い
ます。
私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませ
んけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。
関根先生は 確か、「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違う
だけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっ
しゃいました。
関根先生が好きな例題は１/４でした。黒板に書くのはいつも
０.２５＝０.２４９９９９９９９９９………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部
の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難し
いのですけれど。
尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記：先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応について
のアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。
さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、２人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは（原
理的には）公平であるとお考えの筈です。
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー（負けたー）
という例のやつです。
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《３進法で記すときに １/２ ＝ ０.１１１１１１………（無限小数）の等式が成立する》こととは
同値であることを指摘しておきたく思います。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さん、ありがとうございます。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月２９日付け）
うんざりはちべえさんの
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・ は、無理数であるとなりますね。
について、そうなるわけないじゃないですか。私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。
最近のうんざりはちべえさんの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と
呼べないように思います。
はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという
前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。
ここは数学の場です。証明が用意できないのならば（公理と定義を除き）どんな記述も真
実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
DD++ さん、ご指摘ありがとうございます。
さて、ウィキペディア（Wikipedia）の「0.999...」によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、
0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうで
す。
昨日は、2日も更新されず、これは、DD++ さんへの返信が必要であると気づいて投稿した
のですが、あの行はDD++ さんの発言の回答には不要であると気づいて、あの行を消そうと
思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。
皆様、大変、ご迷惑おかけしました。
（コメント） うんざりはちべえさんは、
「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
無限小を⊿とします。０．９９９・・・=1の考えでは、⊿＝０です。一方、０．９９９・・・＜1の考え
では、⊿＞０です。
ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。
１） さて、実数は連続なので、a＋⊿=b とすると、a、bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0 なら、a=b で、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができな
い、連続でないとなりませんか？
２） 有理数の稠密性で、a<b なら、a<(a+b)/2<b ですね。(a+b)/2=c とおくと、
a<(a+c)/2<c<b で稠密なんですよね。
ここで、ｂ＝２⊿+a とすると、a<(a+b)/2<b は、 a<(a+⊿)<a+2⊿ となりますね。
⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか？
私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
さて、実数は連続なので、a＋⊿=b とすると、a、bは隣り合うはずですね。
で、「隣り合う」とは何を意味していますか？そして、その意味の上で「a＋⊿=b とすると、a、b
は隣り合う」の証明は？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
a≠b となる b>a>0 とします。c=(b-a) とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。
aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。
三次元のグラフ上の a、b となると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。
c の最小値は⊿しかないわけですから。
なお、以下の話は、ないものとしておきます。
１） 連続なら、a<(a+b)/2<b が存在するから、最小値は⊿/2だ、（無限小は⊿なので、）とは
なりませんよね。
２） 微分の⊿＞⊿^2>0 も、ここでは、扱わないとします。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=b-a に最小値は存在しません。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
「隣り合う」とは、最小目盛りが⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣
り合う a、b と言ってます。
すべての点は、最小目盛りの自然数倍にあるとします。連続するには、すべての点は、
最小目盛り上になければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。つまり、⊿=0 だと、すべての点
が、一点に重なります。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・ c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・ この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか？
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
ｃ は、実数です。
目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではな
いでしょうか？
最初に書いた b=a+⊿ です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うとい
うことを説明しやすかったもので・・・・
だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
では、a と b の間が 3 目盛りだとして、c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつで
すか？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月３０日付け）
うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。
うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには
未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほう
がいいです。
うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思って
いらっしゃるのであれば、数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信
が持てるほどにしっかりと身につけ、そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数につい
て体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。いま、うんざりは
ちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。
標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。
ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、全く新しい非標準的なモ
デルの上での数の体系を創造しなければなりません。これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。た
ぶん、大学院レベル。
なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み
出した事例は既に *複数* 、存在していますが、そうしたなかには、1＝０.９９９…を是とし
た体系も、1＞０.９９９…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、
こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数
学掲示板では、１＝０.９９９……が真です。これが偽だといいはじめると、おそらく会話がう
まくいきません。
「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義し
て、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませ
んよね。
※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、１＝０.９９９……だった気がしますが、不勉強の私
ですから眉唾ですね。
うんざりはちべえさんからのコメントです。（令和４年１０月１日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さんのコメントで、わたしは納得しました。私としては、終わりに
しようと思います。そういうことで、DD++ さん、無回答をお許しください。
以下、工事中！
