以下で、Ａ、Ｂ、Ｃ、…… は、０以上９以下の相異なる整数で、これらを並べたものは十進
数表記であるものとする。ただし、最高位は０ではない。また、p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。２式を同時に満たすＡ、Ｂ、Ｃ、…… および p、q、r、…… は何か。

(1)　ＡＢＣ＝(p^3)×(q^3)　、ＢＣＡ＝(p^4)×q

(2)　ＡＢＣ＝(p^4)×q　、ＢＣＡ＝(r^2)×q

(3)　ＡＢＣ＝p×q　（ただし，p<q）　、ＡＣＢ＝r×s×t×u　（ただし，r<s<t<u）

(4)　ＡＢＣ＝p×q×r　（ただし，p<q<r）　、ＡＣＢ＝(s^2)×t

(5)　ＡＢＣ＝(p^2)×(q^2)×r　、ＡＣＢＣ＝(p^3)×(q^3)×r　（ただし，p<q）

(6)　ＡＢＣ＝(p^2)×q　、ＡＣＢＣ＝(p^2)×q×(r^2)

(7)　ＡＢＣ＝p^3　、ＣＡＢ＝q^9

(8)　ＡＢＣ＝p^4　、ＢＣＡ＝q^8

(9)　ＡＢＣＤ＝p^4　、ＤＣＡＢ＝q^10

#　(7)〜(9)はおまけ。ほかにもきれいな形がありそうです。


（コメント）　ＨＮ「３１５６」さん、ご投稿ありがとうございます。連立型の覆面算は、「虫食い算
　　　　　の攻略法」で初めて紹介しましたが、「３１５６」さんの問題は圧巻ですね！

　おまけの問題(7)は、　１２５＝５³　、５１２＝２⁹ で、(8)は、　６２５＝５⁴　、２５６＝２⁸ という
ことは、山勘で分かりました。(9)も、２４０１＝７⁴　、１０２４＝２¹⁰ ですね！

(1)　２１６＝３³×２³　、１６２＝３⁴×２

(2)　５９２＝２⁴×３７　、９２５＝５²×３７


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月１７日付け）

　面白い問題ですね。

(1)　216 = 3^3 * 2^3　、162 = 3^4 * 2

(2)　592 = 2^4 * 37　、925 = 5^2 * 37

(3)　901 = 17 * 53　、910 = 2 * 5 * 7 * 13

(4)

(5)　180 = 2^2 * 3^2 * 5　、1080 = 2^3 * 3^3 *5

(6)　175 = 5^2 * 7　、1575 = 5^2 * 7 * 3^2

(7)　125 = 5^3　、512 = 2^9

(8)　625 = 5^4　、256 = 2^8

(9)　2401 = 7^4　、1024 = 2^10

# (4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。

　これも綺麗ですかね。知らなきゃ難問だと思いますが。

　ABC = p^2 * q^2 (p<q)　、ACB = r^2　、BCA = s^2


　ＨＮ「３１５６」さんからのコメントです。（令和４年９月１７日付け）

　ご回答ありがとうございます。正解です！

　DD++ さんの問題では、ＡＣ＝p^4 ですね。数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰
めで解くならば、素数の平方が３桁になるものを書き出して絞りそうです。

　(4) については、ＡＢＣとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
7*11*13＝1001＞999より、p は、2 または 5 であること、などを用いれば多少絞り込めます
が、最後はしらみつぶしかなと思います。

（追記）　最終的には、　ＡＢＣ＝p*q*r　、（ＡＢＣのアナグラム）＝s*t*u　のようなものを作り
　　　　たかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。


（コメント）　１６９＝１３²　、９６１＝３１²　には気づいていましたが、考え違いをしていました。
　　　　　　ＨＮ「３１５６」さんのヒントから、　ACB＝１６９　、BCA＝９６１　なんですね！
　　　　　　よって、　ABC＝１９６＝２²×７²　・・・　スッキリしました！

　山勘で、(4)も、　１７４＝２×３×２９　、１４７＝７²×３　ということが分かりました。


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月１９日付け）

　 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので、「p、q、r、…… は、相異なる素数とする。」
に反していますね。


（コメント）　DD++ さん、ご指摘ありがとうございます。


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年９月１８日付け）

(4)　874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

　s が　2 桁になるのは想定してなかった……。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年９月１８日付け）

　 (4)の解はもう一つありますね。


（コメント）　らすかるさんが仰る「(4)の解はもう一つありますね。」とは、(4) については、解が
　　　　　　複数あるんですね！


　ＨＮ「３１５６」さんからのコメントです。（令和４年９月１９日付け）

　DD++ さん、ありがとうございます。私の想定解でした。

　らすかるさん、ありがとうございます。唯一解と思っていましたが、確かに s が２桁の解が
もう１つありましたね。


（コメント）　ＨＮ「３１５６」さんのコメントから、(4) の解は、合計２個ですね！

　・８７４＝２×１９×２３　、８４７＝１１²×７
　・８５４＝２×７×６１　、８４５＝１３²×５



　　以下、工事中！