選ばれなかったグループがわかる、３つのグループ分けの問題です。

　１〜ｎまでを、３つのグループに分ける。(各グループには少なくとも1つの数が入る)

いずれかの２グループから、それぞれ１つずつ数を選ぶ。それらの数から、選ばれなかった
グループを確定したい。mod 3 以外の分け方はあるでしょうか？（→　参考：「仲間を誰に」）

　思いついたのは...

　(2進法で1が偶数桁だけ)　、(2進法で1が奇数桁だけの奇数)　、(それ以外の数)

ですが...合ってますかしらん？また、それ以外での分け方ってありますでしょうか？


（コメント）　ｎ＝１〜１５について、スモークマンさんの分類では次のようになります。

A＝｛２，８，１０｝

Ｂ＝｛１，４，５｝

Ｃ＝｛３，６，７，９、１１，１２，１３，１４，１５｝

＃Ｃの要素の個数が甚大に大きくなる予感．．．。ほぼ均等に分類する方法は如何？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年８月１６日付け）

　t=(1+sqrt(5))/2 に対して、

　f(n)=floor(n*t^2)　、g(n)=floor(t*floor(n*t)　、h(n)=floor(t*floor(n*t^2))

とし、ｎ=1〜50で、f(n)、g(n)、h(n) を計算させると、

gp > for(n=1,50,print(n";"f(n) " VS "g(n) " VS " h(n)))

の値がそれぞれが決まるので、全ての自然数は、この３グループに完全に振り分けられて
いきます。


　スモークマンさんからのコメントです。（令和４年８月１６日付け）

　GAI 様、早速にありがとうございます。

　問題文「いずれかの２グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から」は、
「いずれかの２グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数の和から」のつもり
でした... ^^;

　その場合ではどうなのでしょう？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年８月１７日付け）

　上記の（コメント）にあるように、ｎ＝１〜１５について、スモークマンさんの分類では次のよ
うになります。

A＝｛２，８，１０｝　、Ｂ＝｛１，４，５｝　、Ｃ＝｛３，６，７，９、１１，１２，１３，１４，１５｝

　このとき、《ふたつの数の和》として「１３」が与えられたとすると、《ふたつの数》の組には、

　(8, 5)　、(4, 9)

がみつかります。 前者は、A、Bから取ったもので、後者はB、Cから取ったものです。

　すなわち、スモークマンさんによる提案においては、【選ばれなかったグループを確定した
い。】という要件を満たしていない気がいたします。以上です。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年８月１８日付け）

　思いついたのは...

　(2進法で1が偶数桁だけ)　、(2進法で1が奇数桁だけの奇数)　、(それ以外の数)

ですが...合ってますかしらん？

　これは、例えば、

　2進法で1が偶数桁だけ: 10100010(2)

　2進法で1が奇数桁だけの奇数: 1000001(2)

　それ以外の数: 2進法で1が奇数桁だけの偶数と偶数桁奇数桁の両方に1がある数

という意味でしょうか？もしそうだとしたら、1001(2)=9(10)　という和があったときに、

　第1グループと第2グループの和: 1000(2)+1(2)=1001(2)

　第1グループと第3グループの和: 10(2)+111(2)=1001(2)

のどちらなのか区別がつかないと思います。解釈が違っていたらごめんなさい。


　スモークマンさんからのコメントです。（令和４年８月２０日付け）

　らすかるさん、考えてくださってありがとうございます Orz

　偶数桁だけが1の数：10, 1010,101010,...
　奇数桁だけが1の数：1,101,10101,1010101,...

のつもりでした ^^;...

　ちなみに、ある方から、{1,n,その他の数}の３グループに分けても可能と教えていただきま
した...。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年８月２０日付け）

　なるほど。そうだとしても、1111(2)=15(10) という和があったときに、

　第1グループと第2グループの和: 1010(2)+101(2)=1111(2)

　第2グループと第3グループの和: 1(2)+1110(2)=1111(2)

のどちらなのか区別がつかないと思います。


　スモークマンさんからのコメントです。（令和４年８月２０日付け）

　そっか...!!　浅はかでした ^^;　ありがとうございました Orz〜☆


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年８月２１日付け）

　1,2,3 をどのグループに入れるかを場合分けして細かく調べることにより、条件を満たす分
け方は、

　　「mod3で分ける」　　、「1とnとその他に分ける」

の２通りしかないことが証明できました。証明は長くなりますので、とりあえず省略します。


　スモークマンさんからのコメントです。（令和４年８月２１日付け）

　らすかるさん、面白いですね ^^　どのように証明できるのか分かりませんが ^^;

　一般に、mod (m: 3以上の奇数) でグループ分け(mグループ)すれば、すべてのグループか
らの和は、mod mで0になるので、mグループに分けて、m-1グループから取り出した和が、
mod m で r なら、取り出さなかったグループは、m-r のグループとわかり、mod(m: 4以上の
偶数)でグループ分けすれば、全てのグループからの和は mod mで m/2 のなるので、取り
出さなかったグループは、m/2-r のグループとわかるので、一般化できますね。

　また、「1とnとその他に分ける」も...「kとnとその他」でも、全部の和がn(n+1)/2 なので、2グ
ループの和を引いたものがk or n以外なら、その他とわかるので可能ですね。

　同様に、mグループの時も...　例えば...　「1、2、...、(m-2)、n、その他」に分けていれば、全
体の和が一定なので、同じことが言えるので、一般化できますね。



　　以下、工事中！