一つ一つの素数については、気紛れですが、全体として見たとき、循環節の長さが、偶数に
なるときと、奇数になるときの割合が、２/３と１/３となる。
循環節に、このようなことを不思議と捉えるかが数学を学ぶモチベーションになるのでしょ
うか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年４月４日付け）
上記を読んで、計算させてみた。
最初から２５個の素数(2,3,5,7,･･･,97)での循環節での長さでの 偶数 対 奇数＝ 15 対 10
同様に、最初から100個の素数では、67 対 33
1000個では、675 対 325
10000個では、6655 対 3345
100000個では、66647 対 33353
1000000個では、666488 対 333512
．．． これ以上は時間が掛かり過ぎて断念
確かに、2/3 対 1/3 に近づいていますね。でも、どうして？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年４月４日付け）
検索したら、Webサイト「循環小数もおもしろい」で言及されていましたが、2：1になるのは
証明できるものの「証明はかなり難しく、大学院レベルの数学が必要」だそうです。
（もしかしたら初等的な証明があるかも知れませんが．．．。）
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年４月４日付け）
１/３は、小数に表現すると循環しますが、３進法で表現すると、０．１ となり循環しません。
３進法で、別の数が循環します。どんなｐ進法でも必ず無限循環するのでしょうか？
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年４月５日付け）
どのようなｐ進法でも、無限循環小数をなくすことはできない、という意味です。1/３に限っ
たことではなく．．．。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年４月６日付け）
自分で投げて打って二刀流みたいで変ですが、自己解決しました。
二分の１を三進法で小数展開すると、０．１１１１１１…になり、一般に、ｐ進法で、ｐ-1の逆
数を展開すると、やはり、０．１１１１１１…。ゆえに、循環小数は常に存在する。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年４月５日付け）
確率的予測としては、奇数が 1/3 になる理由は簡単ですね。厳密な証明をしようとすると
算術級数定理とかそっち方面になるのかな？
以下、p＞5 として進めます。（有限個取り除いてもほとんど影響はないため）
1/p の循環節が n 桁になるというのは、10^n-1 が p の倍数であり、かつ n の倍数でない
いかなる自然数 m についても 10^m-1 が p の倍数にならないということです。
（→ 参考：「循環小数の不思議」）
ところで、フェルマーの小定理より、10^(p-1)-1 は p の倍数です。よって、n は p-1 の約数
になります。
そこで、p-1 = 2^r*d とおきます。（r は自然数、d は奇数）
r がそれぞれの値を取る確率は、1/2^r と考えられます。
また、r がそれぞれの値をとったときに n が奇数となる条件付き確率は 1/2^r と考えられ
ます。
というのは、n が奇数となることは、n が d の約数であることと同値で、それは、10^d-1 が
p の倍数になることと同値ですが、10^(2^r*d)-1 が p の倍数だということから出発して、
10^(2^(r-1)*d)-1 と 10^(2^(r-1)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつで、前者が
p の倍数だとして、10^(2^(r-2)*d)-1 と 10^(2^(r-2)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2
ずつ、というのを r 回繰り返すことになるからです。
つまり、n が奇数となる確率は、Σ[r=1->∞] 1/2^r * 1/2^r = 1/3 となります．．．確率的
には。
以下、工事中！
