に新しく出来る (m+m')/(n+n') の分数を挟み、[m/n,(m+m')/(n+n'),m'/n'] なる順序ある列を構
成していくことを繰り返すと、
E(0);[0/1,1/1]
E(1);[0/1,1/2,1/1]
E(2);[0/1,1/3,1/2,2/3,1/1]
E(3);[0/1,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,1/1]
E(4);[0/1,1/5,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,4/5,1/1]
･･･････････････････････････････････････
と次々と分数を増やし、決して重複が起こらない大小順をきちんと守った分数列が構成され
ていく。
さて、ニュースによれば、新型コロナ緊急事態宣言下でも西暦2021年7月23日には多くの
外国からの選手を招き入れ、東京オリンピックの開会式が開かれようとしている。
上記の構成を繰り返せば、0＜R＜1のどのような有理数Rでも顔を表さずにはいられない。
そこで、R=723/2021 で構成されるものは、現れるときは前から何番目に位置して並んでい
るものか？（先頭の0を1番目としてカウントしてください。）
（コメント） ファレイ（Ｆａｒｅｙ）数列っぽい話題ですね！でも微妙に違うかな？
（→ 参考：「隣り合う分数」）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年７月８日付け）
0/1,1/1 → 1/2 で、723/2021＜1/2 から、
0/1,1/2 → 1/3 で、723/2021＞1/3 から、
1/3,1/2 → 2/5 で、723/2021＜2/5 から、
1/3,2/5 → 3/8 で、723/2021＜3/8 から、
1/3,3/8 → 4/11 で、723/2021＜4/11 から、
1/3,4/11 → 5/14 で、723/2021＞5/14 から、
5/14,4/11 → 9/25 で、723/2021＜9/25 から、
5/14,9/25 → 14/39 で、723/2021＜14/39 から、
5/14,14/39 → 19/53 で、723/2021＜19/53 から、
5/14,19/53 → 24/67 で、723/2021＜24/67 から、
5/14,24/67 → 29/81 で、723/2021＜29/81 から、
5/14,29/81 → 34/95 で、723/2021＜34/95 から、
5/14,34/95 → 39/109 で、723/2021＜39/109 から、
5/14,39/109 → 44/123 で、723/2021＞44/123 から、
44/123,39/109 → 83/232 で、723/2021＜83/232 から、
44/123,83/232 → 127/355 で、723/2021＜127/355 から、
44/123,127/355 → 171/478 で、723/2021＞171/478 から、
171/478,127/355 → 298/833 で、723/2021＞298/833 から、
298/833,127/355 → 425/1188 で、723/2021＜425/1188 から、
298/833,425/1188 → 723/2021
不等号を順に書き並べると、 ＜＞＜＜＜＞＜＜＜＜＜＜＜＞＜＜＞＞＜
「＜」を0、「＞」を1に置き換えると、 0100010000000100110
これを２進数とみて、十進数に変換すると、 139302
１を足して２倍すると、 278606
よって、多分 278606 番目だと思います。（手計算なのであまり自信なし）
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和３年７月８日付け）
手計算でピッタリ合っています。（驚きです。）
（コメント） 例えば、 0/1、1/4、1/3、2/5、1/2、3/5、2/3、3/4、1/1 において、3/5 は、前
から６番目の数である。らすかるさんの手法を適用してみると、
0/1,1/1 → 1/2 で、3/5＞1/2 から、
1/2,1/1 → 2/3 で、3/5＜2/3 から、
1/2,2/3 → 3/5
不等号を順に書き並べると、 ＞＜ で、「＜」を0、「＞」を1に置き換えると、 10
これを２進数とみて、十進数に変換すると、2 なので、１を足して２倍すると、6 で確かに
６番目ということが分かる。（素晴らしい〜！）
順番を最初から２進数で表すと、（ただし、先頭の項は０番目と考えて！）
０ １
００ ０１ （・） １０
０００ ００１ ０１０ （・） ０１１ １００
００００ ０００１ ００１０ ００１１ ０１００ ０１０１ ０１１０ ０１１１ １０００
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年７月１３日付け）
E(0);[0/1,1/1]
E(1);[0/1,1/2,1/1]
E(2);[0/1,1/3,1/2,2/3,1/1]
E(3);[0/1,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,1/1]
E(4);[0/1,1/5,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,4/5,1/1]
のE(0)からE(4)まで、それぞれ最初の 0/1 の項を 除去して後に、各項の分数 q/p について
1/(p*q) に差し替えて、e[0]からe[4]を作成することとします。
ｅ(0);[1/1]
ｅ(1);[1/2,1/1]
ｅ(2);[1/3,1/2,1/6,1/1]
ｅ(3);[1/4,1/3,1/10,1/2,1/15,1/6,1/12,1/1]
ｅ(4);[1/5,1/4,1/14,1/3,1/24,1/10,1/21,1/2,1/28,1/15,1/40,1/6,1/35,1/12,1/20,1/1]
すると、
Σ(e[1])=Σ(e[0])+1/2
Σ(e[2])=Σ(e[1])+1/2
Σ(e[3])=Σ(e[2])+1/2
Σ(e[4])=Σ(e[3])+1/2
となっています……。ちょっとだけ添字を先まで進めて手計算してみましたが、例えば、
E(5);[0/1,1/6,1/5,2/9,1/4,3/11,2/7,3/10,1/3,4/11,3/8,5/13,2/5,5/12,3/7,4/9,1/2,5/9,4/7,
7/12,3/5,8/13,5/8,7/11,2/3,7/10,5/7,8/11,3/4,7/9,4/5,5/6,1/1]
e[5];[1/6,1/5,1/18,1/4,1/33,1/14,1/30,1/3,1/44,1/24,1/65,1/10,1/60,1/21,1/36,1/2,1/45,
1/28,1/84,1/15,1/104,1/40,1/77,1/6,1/70,1/35,1/88,1/12,1/63,1/20,1/30,1/1]
では、
(1/6)+(1/5)+(1/18)+(1/4)+(1/33)+(1/14)+(1/30)+(1/3)+(1/44)+(1/24)+(1/65)+(1/10)+(1/60)
+(1/21)+(1/36)+(1/2)+(1/45)+(1/28)+(1/84)+(1/15)+(1/104)+(1/40)+(1/77)+(1/6)+(1/70)+
(1/35)+(1/88)+(1/12)+(1/63)+(1/20)+(1/30)+(1/1)=3.5
だったりしていまして（大汗）、作り方から、e[k+1]にはe[k]が含まれていますので、「1/2の単
位分数分割」を量産する方法になっているかもしれません。
数値実験に過ぎなくて証明とは程遠いですけれども、以上、ご報告でした。
（コメント） 頼みの.「WolframAlpha」先生に上記の分数計算をお願いすると、「入力が最大
文字数を超えています」とお叱りを受けたが、かすかに「７/２」と答えてくれたよう
な．．．。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年７月１４日付け）
これから実際構成していくと、1/2が次の単位分数の和で構成される式が作れますが、同
じ単位分数が重なったり、比較的多くの分数へ広がったりするので、作れることは作れます
があまり魅力は感じられませんでした。
[1/6,1/3]
[1/15,1/12,1/10,1/4]
[1/40,1/35,1/28,1/24,1/21,1/20,1/14,1/5]
[1/104,1/88,1/84,1/77,1/70,1/65,1/63,1/60,1/45,1/44,1/36,1/33,1/30,1/30,1/18,1/6]
[1/273,1/234,1/228,1/209,1/204,1/198,1/170,1/168,1/165,1/154,1/152,1/144,
1/133,1/130,1/126,1/126,1/119,1/117,1/112,1/99,1/90,1/85,1/70,1/66,1/60,
1/55,1/52,1/42,1/42,1/39,1/22,1/7]
････････････････
むしろ、
1/2
=1/3+1/3!
=1/3+1/8+1/4!
=1/5+1/6+1/8+1/5!
=1/5+1/6+1/9+1/48+1/6!
=1/7+1/8+1/9+1/10+1/48+1/7!
の様な形式が興味を引く。
ｍｏｏｎｌｉｇｈｔ さんからのコメントです。（令和３年７月１５日付け）
二分木検索な話が、「数学ガールの秘密ノート」で連載されてたので興味津々です。二つ
のことが気になりました。
1つ目は、「（いつか）必ず0〜1の有理数が現れる」ことはどう示せば良いか？
2つ目は、「加わる分数が必ず規約分数になる」は正しそうなのだけど何故だろうか？
御教授下さい。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年７月１５日付け）
2つ目については、「隣り合う分数」が、私の場合には参考になりました。
※シュテルン・ブロコ木( Stern-Brocot Tree )の《一部》が、冒頭の問題の題材になっている
と思われます。
●御参考 数学ガールの結城さんが作成した図です。
[PDF] スターン・ブロコット木(Stern-Brocot Tree)の一部
シュテルン・ブロコ木( Stern-Brocot Tree )の《全体》について、大阪大学の入試に出てい
たのかもしれません。［ＰＤＦ］の問題４がそれです。
―引用始まり
(1) この樹形図に現れる分数はすべて既約分数であることを示せ。ただし整数 n/1 は既約
分数とみなす。
(2) すべての正の有理数がこの樹形図に現れることを示せ。
(3) この樹形図に現れる有理数はすべて異なることを示せ。
(4) 省略
―引用終わり
※このツリーの左半分は、今回GAIさんにより提案されたツリーで、(0,1)区間に含まれる全
ての有理数(ただし既約分数)が全て一度だけあらわれていて、右半分には、その逆数が
含まれていると思われます。
以下、工事中！
