公約数が出現できます。さて、そのXと最大公約数は何となるでしょうか？
(1) gcd(X^11+1,(X+1)^11+1)
(2) gcd(X^11+2,(X+1)^11+2)
(3) gcd(X^11+3,(X+1)^11+3)
(4) gcd(X^11+4,(X+1)^11+4)
(5) gcd(X^11+5,(X+1)^11+5)
(6) gcd(X^17+9,(X+1)^17+9) （*これは超難問）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年５月２６日付け）
(1)は、X=10 のとき、23
(2)は、X=1234 のとき、1321 （いずれも一例）
というのは探索してすぐにわかったのですが、超難問に行くよりずっと前の(3)でつまずいてし
まいました。（(3)は解があるならばXは8億以上で最大公約数は300万以上）
うまく論理的に考えて見つける方法も思いつきません。解を見つけるには、どのように考え
れば良いのでしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年５月２７日付け）
(3)は、X=1994117680 のとき、14188284463 で、やっと互いに素ではなくなると思います。
ずっと前に、gcd(n^5+5,(n+1)^5+5) が、n=1,2,3,･･･,2502110 のそのほとんどが1で互いに素
の状態であるのに、唯一 n=533360（次は、n=2502111)であるときだけ、gcdが 1968751 とな
り、この2数が関係性を有するのが不思議で、このサイトで質問していたら、らすかるさんか
ら、次の様な方法で解説してもらっていました。（→ 参考：「質問に対する回答(20)」）
A=(n+1)^5+5 、B=n^5+5 とおき、ユークリッドの互除法を用いて、5回目の作業で最大公
約数に相当する部分の値として、G=96468799/156950784 を求め、その分子を因数分解さ
れ、 96468799=7^2*1968751 そして、n^5+5≡0 (mod 1968751) から
n=96502 、533360 、533361 、1066696 、1707583
を導かれ、(n+1)^5+5 (mod 1968751) も 0 を起こすものが、上記5つの中で、n=533360 であ
ると導かれて解説されていました。
なるほど、これで、次のｎは、533360+1968751=2502111 なのかと納得しました。
そこで、この手法を見習い、自分なりに改良をいくと、gcdに相当する1968751が2つの式
x^5+5 、(x+1)^5+5
の終結式 polresultant(x^5+5,(x+1)^5+5,x) で求まることがわかりました。
これらを含め、プログラムを組むと(PARI/GPで)、polresulant(x^11+3,(x+1)^11+3) から
%=577824313765319159023
が手に入り、これを因数分解して、
=14188284463*40725453121
ここで、p1=14188284463 と置くと、
setintersect(lift(polrootsmod(x^11+3,p1))~,lift(polrootsmod((x+1)^11+3,p1))~) から、
%=1994117680
また、p2=40725453121 と置くと、
setintersect(lift(polrootsmod(x^11+3,p2))~,lift(polrootsmod((x+1)^11+3,p2))~) から、
%=40515509471
が得られます。確かに、
gp > gcd(1994117680^11+3,1994117681^11+3)
%166 = 14188284463
gp > gcd(40515509471^11+3,40515509472^11+3)
%167 = 4072545312
ですから、Xに小さいものから順に検索していくと先に、X=1994117680で gcd=14188284463
が起こることになります。
正に、らすかるさんから解説してもらった処方を行っただけです。
以下、(4)、(5)、(6) も数字は大きくなっていきますが、同じプログラムで得られると思います。
答えは次を参考に．．．。（→ 「A255854」、「A255855」、「A255859」、「A010034」）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年５月２７日付け）
まさか自分が前に言ったことだったとは。でも、それを忘れていても同じことは考えるもので、
実は分子を素因数分解して、14188284463 という値は見つけていました。それなのに「最大
公約数が14188284463になるものはない」と思ってしまったのは、単に自分のプログラムにバ
グがあって、見つからなかっただけでした。今修正したらちゃんと見つかりました。
（バグに気づかなかったのは、(1)では値が小さく、きちんと求まっていたためです。
14188284463＞2^32が罠でした。）
14188284463 以外も調べ続けていたのは、分子の素因数でないものが出てくることがある
からです。
(1)の分子を素因数分解すると、 23^3*31^2*89*109^2*151^2*653^2 なのですが、最大
公約数が上記の素因数に含まれない
X=52 のとき、gcd=67
X=137 のとき、gcd=199
などが見つかります。
よって、(3)の場合も、14188284463以外もあるかも知れないと思って、しばらく探していたの
でした。
