令和３年２月１５日（月）に行われた神奈川県公立高校入試の問題が翌日の新聞朝刊に
掲載された。数学の問題から、興味を引いた問題をいくつか解いてみた。問題が長文なの
で、要点だけを記することにする。

問５　３つの箱Ｐ、Ｑ、Ｒがあり、Ｐには「１」、「２」、「４」のカード、Ｑには「３」、「５」、「６」のカ
　　　ードが入っていて、Ｒには何も入っていない。

　大小２つのさいころを投げ、大小のさいころの目の数をそれぞれａ、ｂとする。

　出た目の数によって次の操作を行う。

【操作１】　カードに書かれた数の合計がａとなるように箱Ｐから１〜２枚のカードを箱Ｑに移す。

【操作２】　箱Ｑに入っているカードから、ｂの約数となるカードを全て取り、箱Ｒに移す。

（ア）　箱Ｒに入っているカードが４枚となる確率を求めよ。

　　（解）　題意より、ａ＝３、ｂ＝６　の場合のみなので、確率は、１/３６　　（終）

（イ）　箱Ｒに入っているカードが１枚となる確率を求めよ。

　　（解）　全ての場合を確認する。

　よって、求める確率は、　１６/３６＝４/９　　（終）


（コメント）　約数を考えさせての確率の問題。数え漏れが起きそうですね。

　次は、円錐の側面の最短線を問う定番の問題です。慣れていれば難なく解答することが
できるでしょう。

問６（ウ）

左図は長さ６の線分ＡＢを直径とする円Ｏを底面とし、母線ＡＣ 　　の長さ９の直円錐である。側面上でＡＢを結ぶ最短線の中点をＤ 　　とする。 　　　側面上で点Ｄから線分ＡＣ、ＢＣと交わるように曲線を引き、最 　　短となるようにする。 　　　このときの曲線の長さを求めよ。

（解）　展開図を描くと、

左図において、底面の円周の長さは、６πなので、 　側面の扇形の中心角の大きさは、１２０°である。 　　よって、∠ＡＣＢ＝６０°となり、ＣＤ＝９/２ 　以上から、左図の赤線の長さは、 　　　（９/２）×（/２）×２＝２７/２　　（終）

　次は面積比からの線分の長さを求める問題です。三角形の面積を直接求めなくても解き
うる問題になっていますが、直接求めても解けます。

問３（ア）（�A）

左図のように正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上にそれ 　　ぞれ点Ｄ、Ｅ、ＦをＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦとなるようにとる。 　　　ＡＢ＝１８で、ＡＤ＜ＢＤとする。△ＡＢＣの面積と△ＤＥＦの 　　面積の比が１２：７であるとき、線分ＡＤの長さを求めよ。

（解）　ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ＝ｘ　とおくと、　ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ＝１８−ｘ

　△ＡＢＣ＝Ｓ　とすると、　△ＤＥＦ＝Ｓ−（ｘ/１８）Ｓ×（１８−ｘ）/１８×３＝（７/１２）Ｓ

　よって、　１８×１８−３ｘ（１８−ｘ）＝（７/１２）×１８×１８　より、

　　　１０８−１８ｘ＋ｘ²＝６３　すなわち、　ｘ²−１８ｘ＋４５＝０

　　（ｘ−３）（ｘ−１５）＝０

　ＡＤ＜ＢＤ　から、　ｘ＝３　　（終）


　次のような別解も考えられる。

（別解）　題意より、　△ＡＢＣの面積＝３６　とすると、△ＤＥＦの面積＝２１

　　　このとき、　△ＡＤＦ＝△ＢＥＤ＝△ＣＦＥ＝５　となる。

　そこで、　△ＡＤＥ＝ｍ　とおくと、　（ｍ＋５）×（ｍ＋５）/ｍ＝３６

　よって、　ｍ²−２６ｍ＋２５＝０　より、　ｍ＝１、２５

　ｍ＝２５　は不適で、　ｍ＝１

　したがって、　ＡＤ＝１８×（１/６）＝３　　（終）

（別解）　ＡＤ：ＤＢ＝１：ｍ　とおく。△ＡＤＥ＝１　とすると、

　　　△ＡＤＦ＝△ＢＥＤ＝△ＣＦＥ＝ｍ　となる。

　このとき、　△ＡＢＣ＝ｍ＋１＋ｍ（ｍ＋１）＝（ｍ＋１）²

　△ＤＥＦ＝（ｍ＋１）²−３ｍ＝ｍ²−ｍ＋１

　題意より、　（ｍ＋１）² ： ｍ²−ｍ＋１＝１２ ： ７　なので、

　１２ｍ²−１２ｍ＋１２＝７（ｍ＋１）² すなわち、　５ｍ²−２６ｍ＋５＝０

　　（５ｍ−１）（ｍ−５）＝０　より、　ｍ＝１/５、５

　　ＡＤ＜ＢＤ　から、ｍ＝１/５ は不適で、　ｍ＝５

　よって、　ＡＤ＝１８×（１/６）＝３　　（終）


　勘の鋭い方は次のように簡単に洞察されるかもしれない。

（別解）　題意より、　△ＡＢＣの面積＝３６　とすると、△ＤＥＦの面積＝２１

　　　このとき、　△ＡＤＦ＝△ＢＥＤ＝△ＣＦＥ＝５　となる。

　そこで、　ＡＤ：ＤＢ＝１ ： ５　とすると、　△ＡＢＥ＝６　となり、

ＢＥ ： ＥＣ＝６ ： ３０＝１ ： ５　で題意を満たす。

　よって、ＡＤ＝１８×（１/６）＝３　　（終）


（追記）　令和４年２月１７日付け

　令和４年２月１５日（火）に行われた神奈川県公立高校入試の問題が翌日の新聞朝刊に
掲載された。今年は難易度が大幅に上がり、配点も高難度の問題に重点的に加点された。
　その中から、興味を引いた問題をいくつか解いてみた。問題によっては改題されている。

問３（ア）（�A） 下図において、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形とする。∠ＢＣＤの二等分線と
　　　　　　　　　ＡＤとの交点をＥとし、辺ＢＣの延長上に点Ｆを、ＣＦ＝ＤＦとなるようにとる。
　　　　　　　　　今、四角形ＣＦＤＥが平行四辺形のとき、∠ＡＢＣの大きさを求めよ。

　　　　　　

（解）　上図において、　２●＋○＝１８０°、●＋２○＝１８０°

　　このとき、辺々加えて、　３●＋３○＝３６０°より、　●＋○＝１２０°

　辺々引いて、　●−○＝０　より、　●＝○　なので、　○＝６０°

　よって、　∠ＡＢＣ＝○＝６０°　　（終）

問３（ウ）　下図のように、円Ｏの周上の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ について、ＢＥとＣＤは平行で、
　　　　　　線分ＡＤは∠ＢＤＥの二等分線である。

　　　　　

　線分ＡＤと線分ＣＥの交点をＦとするとき、∠ＡＦＥの大きさを求めよ。

（解）　上図より、　２○＝８６°より、　○＝４３°

　　また、　２●＋○＋６７°＝１８０°より、　●＝３５°

　よって、　∠ＡＦＤ＝１８０°−２○−●＝５９°　　（終）


（追記）　令和４年２月１８日付け

問３（エ）　下図において、線分ＡＢは円Ｏの直径であり、２点Ｃ、Ｄは円Ｏの周上の点である。
　　　　　　また、点Ｅは線分ＡＣ上の点で、ＢＣとＤＥは平行であり、点Ｆは線分ＡＢと線分ＤＥと
　　　　　　の交点である。

　　　　　　　

　　今、ＡＥ＝２、ＣＥ＝１、ＤＥ＝３のとき、△ＢＤＦの面積を求めよ。

（解）　下図のように、線分ＤＥを延長し円Ｏとの交点をＧとおく。

　　　　　　

　このとき、方べきの定理より、　３×ＥＧ＝２×１　なので、　ＥＧ＝２/３

　また、△ＡＤＥにおいて、三平方の定理より、　ＡＤ＝　である。

　△ＡＥＧ∽△ＡＤＢ　より、　２ ： ２/３＝ ： ＤＢ　なので、　ＤＢ＝/３

　したがって、　△ＡＤＦ＝×/３÷２＝１３/６　となる。

　ＡＦ ： ＦＥ＝２ ： １　なので、　△ＢＤＦ＝（１３/６）×（１/３）＝１３/１８　　（終）


（コメント）　受検生によれば、この問題が一番難しかったらしい。解法は他にもいくつか考
　　　　　　えられ、数学を純粋に楽しむ者にとっては、良問の部類に入るのだろう。ただ、
　　　　　　限られた時間で結果を出さなければならない受検生にとっては、所謂「捨て問」
　　　　　　とならざるを得なかったようだ。


（追記）　令和４年２月１９日付け

問４（ウ）　下図のように放物線 ｙ＝（１/４）ｘ² と直線 ｙ＝ｘ＋３ が交わっている。また、
　　　　　　Ａ（６，９）、Ｂ（−６，９）、Ｃ（−６，−３）、Ｄ（−６，０）、Ｅ（５，０）である。

　　線分ＡＢ上の点Ｆを、△ＡＥＦの面積が直線 ｙ＝ｘ＋３ によって２等分されるようにとり、
　直線 ｙ＝ｘ＋３ と線分ＥＦとの交点をＧとする。

　　　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　Ｆ、Ｇ の座標を求めよ。

（２）　△ＢＧＦ ： △ＣＥＧ を最も簡単な整数比で表せ。

（解）（１）　Ｆ（ｘ，９）、Ｇ（ｙ−３，ｙ）とおくと、題意より、

　（６−ｘ）（９−ｙ）/２＝（６−ｘ）・９/２・（１/２）　より、　２（９−ｙ）＝９　なので、　ｙ＝９/２

　よって、　Ｇ（３/２，９/２）　である。

　このとき、直線ＥＧの方程式は、　ｙ＝（−９/７）ｘ＋４５/７　なので、ｙ＝９とおくと、

　（−９/７）ｘ＋４５/７＝９　を解いて、　ｘ＝−２　　よって、　Ｆ（−２，９）　である。

（２）　（１）より、　△ＢＧＦ＝４・（９−９/２）・（１/２）＝９　となる。

　また、

　△ＣＥＧ＝（３/２＋６）（９/２＋３）/２＋（９/２＋３＋３）（５−３/２）/２−（５＋６）・３/２

　　　　　 ＝２２５/８＋１４７/８−３３/２＝３０

なので、　△ＢＧＦ ： △ＣＥＧ＝９ ： ３０＝３ ： １０　である。　　（終）


（コメント）　△ＣＥＧの面積の計算では、次のような方法もあるでしょう。

　△ＡＦＧ＝（６＋２）（９−９/２）/２＝１８　である。

　ＡＣ＝√（１２²＋１２²）＝１２

　直線 ｙ＝ｘ＋３　と点（５，０）との距離は、４　なので、　△ＡＣＥ＝４８

　よって、　△ＣＥＧ＝４８−１８＝３０　であるので、

　△ＢＧＦ ： △ＣＥＧ＝９ ： ３０＝３ ： １０　である。

　また、上記では面積を直接計算して、△ＢＧＦ ： △ＣＥＧ　を求めたが、面積を計算しなくて
もよいようである。

　実際に、△ＢＧＦ＝Ｓ　とおくと、　ＡＦ ： ＦＢ＝８ ： ４＝２ ： １　なので、　△ＡＧＦ＝２Ｓ

　また、題意より、　△ＡＥＧ＝２Ｓ　で、　ＡＧ ： ＧＣ＝６−３/２ ： ３/２＋６＝３ ： ５　より、

　△ＣＥＧ＝（５/３）・２Ｓ＝（１０/３）Ｓ　なので、

　△ＢＧＦ ： △ＣＥＧ＝Ｓ ： （１０/３）Ｓ＝３ ： １０　である。


（追記）　令和４年２月２０日付け

問５（イ）　長さが１０の線分ＰＱがある。大、小２つのさいころを投げ、大きいさいころの目を
　　　　　　ａ、小さいさいころの目をｂとする。線分ＰＱ上に点Ｒを、ＰＲ ： ＲＱ＝ａ ： ｂ　となる
　　　　　　ようにとる。線分ＰＲを１辺とする正方形の面積をＸ、線分ＲＱを１辺とする正方形
　　　　　　の面積をＹ とおく。このとき、Ｘ≧Ｙ＋２５ となる確率を求めよ。

（解）　Ｘ＝（１０ａ/（ａ＋ｂ））²　、Ｙ＝（１０ｂ/（ａ＋ｂ））²　なので、

　　　（１０ａ/（ａ＋ｂ））²≧（１０ｂ/（ａ＋ｂ））²＋２５

　（１０ａ/（ａ＋ｂ））²−（１０ｂ/（ａ＋ｂ））²＝１００（ａ−ｂ）/（ａ＋ｂ）　から、

　　　１００（ａ−ｂ）/（ａ＋ｂ）≧２５　　すなわち、　４（ａ−ｂ）≧（ａ＋ｂ）　より、　３ａ≧５ｂ

　ｂ＝１　のとき、　ａ＝２、３、４、５、６

　ｂ＝２　のとき、　ａ＝４、５、６

　ｂ＝３　のとき、　ａ＝５、６

　よって、求める確率は、　１０/３６＝５/１８　　（終）


（追記）　令和４年２月２１日付け

問６（ウ）　下図は、ＡＢ＝５、ＢＣ＝１、ＡＤ＝４、∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°の台形ＡＢＣＤを
　　　　　　底面とし、ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ＝１を高さとする四角柱である。

　　　　　

　　辺ＣＤ上に、ＣＩ ： ＩＤ＝７ ： ３ であるように点 Ｉ をとり、この四角柱の表面上に点Ａから点
　Ｉ まで辺ＥＦ、辺ＧＨと交わるように線で結ぶ。このような線のうち、長さが最も短いのはいく
　つか？

（解）　上図の展開図を描くと、求めるものは線分ＡＩ の長さである。

　　

　ＣＩ ： ＩＤ＝７ ： ３ なので、　ＩＤ＝４×（３/１０）＝６/５

　また、　△ＬＥＦ∽△ＫＡＥ　より、　ＫＥ＝１×（４/５）＝４/５　、　ＡＫ＝１×（３/５）＝３/５

　よって、△ＡＩＪにおいて、三平方の定理より、

　　ＡＩ²＝（６/５−３/５）²＋（５＋４/５）²＝（９＋８４１）/２５＝３４　なので、

　ＡＩ＝　である。　　（終）


（追記）　令和５年２月１５日付け

　令和５年２月１４日（火）に行われた神奈川県公立高校入試の問題が翌日の新聞朝刊に
掲載された。昨年度は急激に難化ししたが、今年度もその傾向は変わらず、難しかったよう
だ。特に、基礎力のない受検生にとっては厳しい入試となった模様だ。

　ここで、興味を引いた問題をいくつか解いてみた。問題によっては改題されている。


問２（エ）　十位が４の３桁の自然数の百位と一位を入れかえた数は、元の数より３９６大き
　　　　　　い。元の数の百位と一位の数の和が１０のとき、元の数の一位の数を求めよ。

（解）　元の自然数は　１００ａ＋４０＋ｂ　と書ける。

　　題意より、　（１００ｂ＋４０＋ａ）−（１００ａ＋４０＋ｂ）＝９９（ｂ−ａ）＝３９６

　よって、　ｂ−ａ＝４　で、また、　ｂ＋ａ＝１０　より、　ｂ＝７　である。　　（終）


問３　次の問いに答えよ。

（ア）　下図のように、線分ＡＢを直径とする円Ｏの周上に、２点Ａ、Ｂとは異なる点Ｃを
　　　ＡＣ＜ＢＣとなるようにとり、線分ＡＢに関して点Ｃと対称な円周上の点をＤとおく。また、
　　　点Ａを含まない弧ＢＤ上に、２点Ｂ、Ｄとは異なる点Ｅをとり、ＡＢとＣＥ、ＡＥとＢＤ、ＢＤと
　　　ＣＥの交点をそれぞれＦ、Ｇ、Ｈとおく。さらに、点ＡよりＢＤに平行線を引き、ＣＥとの交
　　　点をＩとおく。

　　　

　このとき、次の（�@）（�A）に答えよ。

（�@）　△ＡＩＦ∽△ＥＨＧ　であることを示せ。

（�A）　∠ＢＤＥ＝３５°、∠ＤＢＥ＝２８°のとき、∠ＣＡＩ の大きさを求めよ。

（解）（�@）　△ＡＩＦと△ＥＨＧにいて、ＤＢとＡＩ は平行なので、平行線の同位角は等しいので、

　∠ＡＩＥ＝∠ＤＨＥ　すなわち、　∠ＡＩＦ＝∠ＥＨＧ　・・・　�@

　次に、仮定より、　∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ　・・・　�A

　また、弧ＡＣに対する円周角は等しいから、　∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＣ　・・・　�B

　さらに、ＤＢとＡＩ は平行なので、平行線の錯角は等しいから、　∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＩ　・・・　�C

　�A、�B、�Cより、　∠ＢＡＩ＝∠ＡＥＣ　なので、　∠ＦＡＩ＝∠ＧＥＨ　・・・　�D

　�@、�Dより、２組の角がそれぞれ等しいので、　△ＡＩＦ∽△ＥＨＧ　である。


（コメント）　予め与えられた証明中、「∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＩ」とあるが、対応する三角形の角の大
　　　　　　きさを考えて、「∠ＢＡＩ＝∠ＡＥＣ」とすべきだろう。（←ちょっと気になった！）


（�A）　∠ＢＤＥ＝３５°より、∠ＢＣＥ＝３５°　また、∠ＢＣＡ＝９０°から、∠ＡＣＥ＝５５°

　すなわち、　∠ＡＢＥ＝５５°　ところで、　∠ＤＢＥ＝２８°より、　∠ＡＢＤ＝２７°

　よって、　∠ＢＡＩ＝２７°で、∠ＡＥＣ＝２７°　また、∠ＡＥＢ＝９０°より、∠ＢＥＣ＝６３°

したがって、　∠ＢＡＣ＝６３°より、　∠ＣＡＩ＝６３°−２７°＝３６°　　（終）


（ウ）　学校から駅までの道のりは２４００ｍで、その途中に「かもめ図書館」と「いちょう図書
　　　館」がある。Ａ、Ｂの２人が１６時に学校を出発し、それぞれが図書館に立ち寄ってから
　　　駅まで移動する中で一度すれ違ったが、駅には同時に到着した。

　Ａは「かもめ図書館」に５分間立ち寄って本を借り、駅まで移動した。Ｂは「いちょう図書館」
に１５分間立ち寄って借りたい本を探したが見つからなかったため道を引き返し、「かもめ図
書館」に５分間立ち寄って本を借り、駅まで移動した。

　

　このとき、移動中のＡ、Ｂの速さは一定とし、Ａ、Ｂがすれ違った時間帯を定めよ。

（解）　Ｂは、３５−１５−５＝１５（分）で、１８００＋６００＋１２００＝３６００（ｍ）を移動したの

　で、移動の速さは、　３６００÷１５＝２４０　より、分速２４０ｍである。

　よって、Ｂの移動を赤実線で示せば、下図のようになる。

　

　上図のグラフから、Ａ、Ｂがすれ違った時間帯は、１６時２３分から１６時２５分までの間と
なる。　　（終）


（コメント）　Ｂの移動の速さが分速２４０ｍということは、時速１４．４ｋｍなので、Ｂは自転車
　　　　　　で移動したのだろう。

　問題が要求するのは時間帯なので、グラフが描ければ計算するまでもなく結論は得られ
る。以下で、具体的にすれ違う時間を特定しよう。

　Ａ、Ｂがすれ違う前後での直線の方程式を求めれば、

　Ａは、　ｙ＝（２/３）（ｘ−４）＋２＝（２/３）ｘ−（２/３）

　Ｂは、　ｙ＝−２（ｘ−５）＋２＝−２ｘ＋１２

となるので、連立して、　（２/３）ｘ−（２/３）＝−２ｘ＋１２　より、　　ｘ＝１９/４

　よって、すれ違う時間は、学校を出発してから　（１９/４）×５＝９５/４＝２３．７５（分後）

＃　何となく、私立中学入試の算数の問題っぽい雰囲気でしたね！


（エ）　下図において、四角形ＡＢＣＤは ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＡ、ＡＢ ： ＢＣ＝１ ： ２ の台形である。
　　　また、点Ｅは辺ＢＣ上の点で、ＢＥ ： ＥＣ＝３ ： １ であり、２点Ｆ、Ｇはそれぞれ辺ＣＤ、
　　　ＤＡの中点である。さらに、線分ＡＥと線分ＢＦとの交点をＨ、線分ＡＥと線分ＢＧとの交
　　　点を Ｉ とする。このとき、△ＢＨＩ と四角形ＣＦＨＥの面積比を最も簡単な整数の比で表
　　　せ。

　　

（解）　下図のように補助線を引く。

　

　このとき、　ＡＩ ： ＩＥ＝１ ： ３　、ＡＨ ： ＨＥ＝６ ： ３＝２ ： １　であるので、

　ＡＩ ： ＩＨ ： ＨＥ＝３ ： ５ ： ４　より、　△ＢＨＩ ： △ＢＥＨ＝５ ： ４

同様にして、　ＢＨ ： ＨＪ＝３ ： ６＝１ ： ２　、ＢＦ ： ＦＪ＝４ ： ４＝１ ： １　より、

　ＢＨ ： ＨＦ ： ＦＪ＝２ ： １ ： ３　なので、　△ＢＥＨ ： △ＢＣＦ＝６ ： １２＝１ ： ２

　よって、　四角形ＣＦＨＥの面積＝△ＢＥＨ　が成り立つので、△ＢＨＩ と四角形ＣＦＨＥの面

積比は、　５：４　となる。　　（終）


（コメント）　△ＢＥＨ ： △ＢＣＦ　の計算で、高さの比が、ＢＨ ： ＢＦ＝２ ： ３　であることから、

　　△ＢＥＨ ： △ＢＣＦ＝２・３ ： ３・４＝１ ： ２　である。

　三角比を用いた三角形の面積の公式を知っていれば明らかだが、中学生対象なので、
上記のような解法となる。


問４　下図において、直線�@は関数 ｙ＝−ｘ＋９　のグラフであり、曲線�Aは関数 ｙ＝ａｘ²
　　　のグラフ、曲線�Bは関数 ｙ＝（−１/６）ｘ² のグラフである。点Ａは直線�@と曲線�Aとの
　　　交点で、その ｘ 座標は３である。点Ｂは、曲線�A上の点で、線分ＡＢは ｘ 軸に平行で
　　　ある。点Ｃは直線�@と ｘ 軸との交点である。また、２点Ｄ、Ｅは曲線�B上の点で、点Ｄ
　　　の ｘ 座標は−６であり、線分ＤＥは ｘ 軸に平行である。さらに、点Ｆは線分ＢＤと ｘ 軸
　　　との交点である。

　　　　

　原点をＯとするとき、次の問いに答えよ。

（ア）　ａ の値を求めよ。

（イ）　直線ＥＦの方程式を求めよ。

（ウ）　線分ＢＣ上に点Ｇを、△ＢＤＧ＝△ＤＥＧ となるようにとるとき、点Ｇの ｘ 座標を求めよ。

（解）（ア）　Ａ（３，６）　なので、　６＝９ａ　から、　ａ＝２/３

（イ）　Ｂ（−３，６）、Ｄ（−６，−６）　より、直線ＢＤの方程式は、　ｙ＝４ｘ＋１８

　　よって、４ｘ＋１８＝０　より、　ｘ＝−９/２　から、　Ｆ（−９/２，０）

　　Ｅ（６，−６）　なので、直線ＥＦの方程式は、　ｙ＝（−４/７）ｘ−１８/７

（ウ）　下図のように補助線を引いて考える。

　　

　Ｂ（−３，６）、Ｃ（９，０）　より、直線ＢＣの方程式は、　ｙ＝（−１/２）ｘ＋９/２　なので、

　（−１/２）ｘ＋９/２＝−６　より、　Ｘ＝２１　　よって、Ｈ（２１，−６）となる。

　このとき、　ＤＥ ： ＥＨ＝１２ ： １５＝４ ： ５　なので、△ＧＥＨ＝５Ｓ　とおくと、△ＤＥＧ＝４Ｓ

題意より、　△ＢＤＧ＝△ＤＥＧ＝４Ｓ　となるので、　△ＢＤＨ＝１３Ｓ　となる。

　ところで、△ＢＤＨ＝２７×１２÷２＝１６２　なので、　１３Ｓ＝１６２　から、　Ｓ＝１６２/１３

　よって、△ＧＤＥ＝４Ｓ＝６４８/１３　となるので、Ｇの ｙ 座標を ｙ として、

　１２（ｙ＋６）÷２＝６４８/１３　から、　ｙ＝１０８/１３−６＝３０/１３

このとき、　（−１/２）ｘ＋９/２＝３０/１３　より、　ｘ＝５７/１３　　（終）


（コメント）　問３（エ）と同様な補助線を考えるパターンは、出題者はお好きらしい。ただ、数
　　　　　値が汚すぎて、受検生を戸惑わせるのに十分だろう。

　問題を見て、点と直線の距離の公式を使えばよい、と思ったものの、それは中学生の学習
範囲を超えたものなので躊躇してしまう。参考までに、その解法を調べてみた。

（別解）　点Ｄを通り、傾きｍの直線の方程式は、ｙ＝ｍ（ｘ＋６）−６　すなわち、

　ｍｘ−ｙ＋６ｍ−６＝０　である。このとき、

　点Ｂと直線の距離は、　３｜ｍ−４｜/√（ｍ²＋１）

　点Ｅと直線の距離は、　１２｜ｍ｜/√（ｍ²＋１）

　△ＢＤＧ＝△ＤＥＧ となるためには、　３｜ｍ−４｜/√（ｍ²＋１）＝１２｜ｍ｜/√（ｍ²＋１）

すなわち、　｜ｍ−４｜＝４｜ｍ｜　が成り立てばよい。

　このとき、　ｍ−４＝±４ｍ　から、ｍ＝−４/３　、４/５　であるが、　ｍ＝−４/３　は不適

よって、直線ＤＧの方程式は、　ｙ＝（４/５）（ｘ＋６）−６

また、直線ＢＣの方程式は、　ｙ＝（−１/２）ｘ＋９/２　なので、連立して、

　（４/５）（ｘ＋６）−６＝（−１/２）ｘ＋９/２　より、　ｘ＝５７/１３　　（終）


問５　下図のように、場所Ｐ、Ｑ、Ｒがあり、場所Ｐには１〜６の数が１つずつ書かれた６個の
　　　直方体のブロックが、書かれた数字の大きいものから順に、下から上に向かって積ま
　　　れている。

　　　

　大小２つのさいころを同時に１回投げ、大きいさいころの出た目の数を ａ、小さいさころの
出た目の数を ｂ とする。出た目の数によって、次の【操作１】、【操作２】を順に行い、場所Ｐ、
Ｑ、Ｒの３か所にあるブロックの個数について考える。

【操作１】　ａ のブロックおよびその上のブロックを順番を変えずに場所Ｑへ移動する。

【操作２】　場所Ｐ、Ｑの ｂ のブロックおよびその上のブロックを順番を変えずに場所Ｒへ移
　　　　　　動する。

　今、大小２つのさいころを同時に１回投げるとき、次の問いに答えよ。

（ア）　ブロックの個数が３か所とも同じになる確率を求めよ。

（イ）　３か所のうち、少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる確率を求めよ。

（解）（１）　起こり得る場合は、（ａ，ｂ）＝（２，４）、（４，２）　の２通りなので、

　　求める確率は、　２/３６＝１/１８

（２）　起こり得る場合は、

（ａ，ｂ）＝（１，１）、（１，６）、（２，２）、（２，６）、（３，３）、（３，６）、（４，４）、（４，６）、（５，５）、
　　　　　（５，６）、（６，１）、（６，２）、（６，３）、（６，４）、（６，５）、（６，６）

　の１６通りなので、

　　求める確率は、　１６/３６＝４/９　　（終）


（コメント）　【操作１】、【操作２】の意味が分かれば、易しい確率の問題でした。


問６　下図は、線分ＡＢを直径とする円Ｏを底面とし、線分ＡＣを母線とする円すいである。
　　　点Ｄは線分ＢＣの中点で、点Ｅは円Ｏの周上の点で、点Ｆは線分ＡＣの中点である。

　　　

　ＡＢ＝８ｃｍ、ＡＣ＝１０ｃｍ、∠ＡＯＥ＝６０°のとき、次の問いに答えよ。

（ア）　円すいの表面積を求めよ。

（イ）　２点Ｄ、Ｅ間の距離を求めよ。

（ウ）　円すいの側面上に点Ｅから線分ＢＣと交わるように点Ｆまで線を引く。このとき、この
　　　ような線の長さの最小値を求めよ。

（解）（ア）　１０×８π÷２＋１６π＝５６π（ｃｍ²）

（イ）　中点連結定理より、　ＯＤ＝５　なので、△ＤＯＢは２等辺三角形となる。線分ＯＢの中

　点をＭとおくと、　ＤＭ＝√（５²−２²）＝√２１　である。

　また、　ＭＥ²＝（２）²＋４²＝２８　なので、　ＤＥ²＝ＤＭ²＋ＭＥ²＝４９　より、

　ＤＥ＝７（ｃｍ）　となる。

　　　　

（ウ）　側面を展開して扇形を作ると、その中心角は、８π/１０＝４π/５　即ち、１４４°

　このとき、　∠ＥＣＦ＝１４４°×（５/６）＝１２０°となる。

　　　　

このとき、　ＥＦ²＝（５）²＋１０²＝１７５　なので、　ＥＦ＝５（ｃｍ）　となる。　　（終）


（コメント）　余弦定理を知っていれば、　ＥＦ²＝１０²＋５²−２・１０・５・（−１/２）＝１７５
　　　　　　から、ＥＦ＝５（ｃｍ）　であることは直ちに分かる。


（追記）　令和６年２月１６日付け

　令和６年２月１４日（水）に行われた神奈川県公立高校入試の問題が翌日の新聞朝刊に
掲載された。ところどころで難しい問題も散見され、基礎力のない受検生にとっては厳しい
入試となった模様だ。平均点は、例年通りの結果になる模様である。

　ここで、興味を引いた問題をいくつか解いてみた。問題によっては改題されている。


問３　次の問いに答えよ。

（ア）　下図のように、円Ｏの周上に、異なる３点Ａ、Ｂ、ＣをＡＢ＝ＡＣとなるようにとる。また、
　　点Ａを含まない弧ＢＣ上に２点Ｂ、Ｃとは異なる点ＤをＢＤ＞ＣＤとなるようにとり、線分ＡＤ
　　と線分ＢＣとの交点をＥとする。さあに、∠ＣＡＤの２等分線と円Ｏとの交点のうち、点Ａと
　　は異なる点をＦとし、線分ＡＦと線分ＢＣとの交点をＧ、線分ＡＦと線分ＣＤとの交点をＨと
　　する。

　　

　線分ＡＣの延長と線分ＤＦの延長との交点を Ｉ とする。∠ＡＩＤ＝７３°、∠ＤＨＦ＝６１°の
とき、∠ＡＥＢの大きさを求めよ。

（解）　△ＡＦＩ において、　●＋（●＋６１°）＋７３°＝１８０°より、　●＝２３°

　△ＡＤＨ　において、　●＋×＋（１８０°−６１°）＝１８０°より、　●＋×＝６１°

　よって、　×＝３８°である。

　このとき、∠ＡＥＢ＝●＋●＋×＝８４°　　（終）


問３（ウ）　下図において、△ＡＢＣは∠ＡＣＢ＝９０°の直角三角形であり、点Ｄは辺ＡＢの
　　中点である。また、２点Ｅ、Ｆは辺ＡＣ上の点で、ＢＣ＝ＣＥであり、ＢＦ‖ＤＥである。

　　

　さらに、点Ｇは線分ＤＥの中点であり、点Ｈは線分ＢＦと線分ＣＧとの交点である。

　ＡＢ＝２４、ＢＣ＝１２のとき、線分ＧＨの長さを求めよ。

（解）　題意より、△ＡＢＣにおいて、∠Ａ＝３０°、∠ＡＢＣ＝６０°である。

　　

　このとき、ＡＤ＝ＣＤ＝１２　なので、∠ＤＣＥ＝∠Ａ＝３０°である。

　ＣＧは２等辺三角形ＣＤＥにおいて、∠ＤＣＥの２等分線なので、∠ＧＣＥ＝１５°となる。

このとき、△ＢＣＦ∽△ＣＨＦ　なので、　∠ＣＢＦ＝∠ＨＣＦ＝１５°

　よって、∠ＤＢＩ＝６０°−１５°＝４５°となるので、

　ＧＨ＝ＤＩ＝１２×（/２）＝６　　（終）


（コメント）　三角比を用いれば、

　ＧＨ＝（１２−１２）ｃｏｓ１５°＝１２（−１）（＋１）/４＝６

と簡単に求められるが、これは、中学生には無理かな．．．？


問３（エ）　４％の食塩水３００ｇが入ったビーカーから、食塩水 ａ ｇを取り出した。その後、
　ビーカーに残っている食塩水に食塩 ａ ｇを加えてよくかき混ぜたところ、１２％の食塩水
　になった。このとき、ａ の値を求めよ。

（解）　題意より、　０．０４×（３００−ａ）＋ａ＝０．１２×３００　なので、

　１２−０．０４ａ＋ａ＝３６　より、　０．９６ａ＝２４　を解いて、　ａ＝２５（ｇ）　　（終）


（コメント）　こういう食塩水の濃度の問題では、適切な問題設定か、よく注意している。１００
　　　　　ｍｌ の水に溶ける食塩の量は、約３６ｇが限界で、濃度だと、約２６．５％くらい。


問４　下図のように、放物線 ｙ＝（１/６）ｘ² と直線 ｙ＝−ｘ 、ｙ＝−３ｘ が与えられている。

　点A（−６，６）、点B（６，６）、点C（−２，６）、点D（−６，０）、点E（−６，３）とする。

　さらに、原点をＯとするとき、点Fは直線 ｙ＝−３ｘ 上の点で、CO ： OF＝ ２ ： １ であり、そ

の ｘ 座標は正である。

　　

　線分BD上に点Gを、△CEFと△COGの面積の比が △CEF ： △COG＝３ ： ２ で、その ｘ

座標が正となるようにとる。このときの、点Gの ｘ 座標を求めよ。

（解）　△ＣＥＦ ： △ＣＥＯ＝３ ： ２ なので、　△ＣＥＯ＝△COG　である。

　点E（−６，３）を通り、直線 ｙ＝−３ｘ と平行な直線は、　ｙ＝−３（ｘ＋６）＋３＝−３ｘ−１５

　よって、ｘ 軸と点（−５，０）で交わる。

　△ＣＥＯ＝△COG　なので、点Ｇを通り、直線 ｙ＝−３ｘ と平行な直線は、ｘ 軸と点（５，０）

で交わる。その直線の式は、　ｙ＝−３（ｘ−５）＝−３ｘ＋１５

　直線ＢＤの方程式は、　ｙ＝（１/２）ｘ＋３　なので、その交点を求めると、

　−３ｘ＋１５＝（１/２）ｘ＋３　より、　（７/２）ｘ＝１２　すなわち、　ｘ＝２４/７　　（終）


問５　１、２、３、４、５、６の数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。
　大、小２つのさいころを同時に１回投げ、大きいさいころの出た目の数を ａ、小さいさいこ
　ろの出た目の数を ｂ とする。出た目の数によって、次の【操作１】、【操作２】を順に行い、
　残ったカードについて考える。

【操作１】　ａ の約数が書かれたカードをすべて取り除く。
【操作２】　ｂ が書かれたカードを取り除く。ただし、【操作１】により、ｂ が書かれたカードを
　　　　　すでに取り除いていた場合は、残っているカードのうち、最も大きい数が書かれた
　　　　　カードを取り除く。

　大、小２つのさいころを同時に１回投げるとき、次の問いに答えよ。ただし、大、小２つのさ
いころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（ア）　残ったカードが「４」のカード１枚だけになる確率を求めよ。
（イ）　残ったカードに、「６」のカードが含まれる確率を求めよ。

（解）　残ったカードの起こり得る場合を表にまとめると、

　よって、求める確率は、

（ア）　５/３６　　（イ）　１５/３６＝５/１２　となる。　　（終）


問６　下図は、点Aを頂点とし、BC＝CD の二等辺三角形BCDを底面、△ＡＥＢ、△ＡＢＤ、
　△ＡＤＦを側面とする三角すいの展開図であり、∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°である。

　　

　また、点Gは辺AB上の点で、AG ： GB＝１ ： ２ であり、点Ｈは辺ADの中点である。
AE＝１０cm、BC＝５cm、BD＝６cm のとき、この展開図を組み立ててできる三角すいにつ
いて、次の問いに答えよ。

（イ）　３点C、E、F が重なった点を I とする。この三角すいの側面上に、点Gから辺 AI と交
　　わるように点Hまで線を引く。このような線のうち、最も短くなるように引いた線の長さを
　　求めよ。

（解）　下図のように、側面ＡＥＢをＡＦ側に移動させて考える。求める線分は、下図の赤色の
　直線ＧＨである。Ｇ、Ｈより、直線ＢＤに垂線を下ろし、その足をそれぞれＱ、Ｐとおく。同様
　に、Ｇ、Ｈより、直線ＡＦに垂線を下ろし、その足をそれぞれＲ、Ｓとおく。

　　

　Ｇは、AG ： GB＝１ ： ２ なので、ＦＢ＝５より、ＦＱ＝５/３　で、さらに、ＡＦ＝１０より、

ＲＦ＝２０/３

　Ｈは、辺ADの中点なので、ＦＤ＝５より、　ＰＦ＝５/２　で、さらに、ＡＦ＝１０より、ＳＦ＝５

　よって、　ＧＨ²＝（５/２＋５/３）²＋（２０/３−５）²＝６２５/３６＋２５/９＝７２５/３６　より、

　ＧＨ＝（５/６）　　（終）

（別解）　線分ＧＢの中点をＭとし、Ｍから線分ＦＢに垂線ＭＮを引く。

　　

　△ＡＤＭにおいて、中点連結定理より、　ＧＨ＝（１/２）ＤＭ

ここで、　ＤＭ²＝（５＋１０/３）²＋（１０/３）²＝６２５/９＋１００/９＝７２５/９　より、

　ＤＭ＝（５/３）　なので、　ＧＨ＝（５/６）　　（終）


（コメント）　例年と比べて、問題レベルは平易だったように感じました。平均点も若干上がる
　　　　　かな？



　　以下、工事中！