49次の方程式で、a、b、c を実数定数とし、x^49+a*x^2+b*x+c=0　の49個の解を
a₁、a₂、a₃、･･･、a₄₉　とするとき、S=a₁^47+a₂^47+a₃^47+･･･+a₄₉^47　の値は何でしょう？


　らすかるさんからのコメントです。（令和２年６月５日付け）

　47乗和が-47a、48乗和が-48b、49乗和が-49c となるようなので、おそらく「エレガントな解
き方」があるのだろうと思いますが、「エレガントな解き方」は今のところわかりません。


　DD++さんからのコメントです。（令和２年６月６日付け）

　係数に a を使って、解も a だと紛らわしいので、解は、X[1]からX[49]とします。

　c≠0を仮定します。

　x^49+a*x^2+b*x+c=0 の解が、X[1]、X[2]、……、X[49] なので、

　1+a*x^47+b*x^48+c*x^49=0 の解が、1/X[1]、1/X[2]、……、1/X[49] となります。

よって、解と係数の関係と少しの変形から、

　　Σ1/X[k]=-b/c　、Σ1/X[k]^2=b^2/c^2-2a/c

となります。よって、x^47=-a-b/x-c/x^2　と考えて、

ΣX[k]^47 = Σ(-a-b/X[k]-c/X[k]^2) = -49a+b^2/c-b^2/c+2a = -47a


＃c=0 の場合も同様に示せると思いますが、lim[c->0] で考えちゃった方が速そう。

　あとから気づきました。これ、ニュートンの恒等式使えば一瞬ですね……。


　らすかるさんからのコメントです。（令和２年６月６日付け）

　なるほど！きっと、こういうエレガントな解法があると思っていました。私が解いた方法は、
DD++さんが書かれた方法と全く一緒でした。

　因みに、c=0、b≠0の場合とc=b=0、a≠0の場合とc=b=a=0の場合も同様の方法で、-47a
になることを確認していました。

　ニュートンの恒等式を使うと、48乗和が-48b、49乗和が-49cになることも一瞬で確認でき
ますね。


（コメント）　「対称式の真実」より、x^49+a*x^2+b*x+c=0　の基本対称式

ｓ₁＝０、ｓ₂＝０、・・・、ｓ₄₆＝０、ｓ₄₇＝-a、ｓ₄₈＝b、ｓ₄₉＝-c　に対して、ニュートンの多項式

から、同次多項式　ｔ_ｎ＝ｘ₁ⁿ＋ｘ₂ⁿ＋・・・＋ｘ_nⁿ　（ｎ≧１）　について、

　ｔ₄₇−ｓ₁ｔ₄₆＋ｓ₂ｔ₄₅−・・・−ｓ₄₅ｔ₂＋ｓ₄₆ｔ₁−47ｓ₄₇＝ｔ₄₇+47a＝０ から、　ｔ₄₇=-47a

が成り立つ。（確かに、一瞬ですね……。）

　同様にして、

　ｔ₄₈−ｓ₁ｔ₄₇+・・・+ｓ₄₆ｔ₂-ｓ₄₇ｔ₁+48ｓ₄₈＝ｔ₄₈-as₁+48b＝ｔ₄₈+48b＝０ から、　ｔ₄₈=-48b

　ｔ₄₉−ｓ₁ｔ₄₈＋ｓ₂ｔ₄₇−・・・−ｓ₄₇ｔ₂＋ｓ₄₈ｔ₁−49ｓ₄₉＝ｔ₄₉+aｔ₂＋bs₁+49c＝０ において、

　ｔ₂=ｓ₁²-2ｓ₂=0　、s₁=0　から、　ｔ₄₉+49c＝０ より、　ｔ₄₉=-49c