・累乗和                                 ks 氏

 (1,5,6)と(2,3,7)の組は、3つの和が等しく、更に、3つのそれぞれの2乗の和も等しい。

  1+5+6=2+3+7=12

  12+52+62=22+32+72=62

 このような組は、どのように見つけるのでしょう。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年5月4日付け)

 例えば、3数が「全く同一」でなければ良いのなら、

(1,4,4)と(2,2,5) 、(2,5,5)と(3,3,6) 、(3,6,6)と(4,4,7) 、・・・ 、(k,k+3,k+3)と(k+1,k+1,k+4) 、・・・

のような簡単な例がありますし、3数とも異ならなければならないとしても、

(1,5,6)と(2,3,7) 、(2,6,7)と(3,4,8) 、(3,7,8)と(4,5,9) 、・・・ 、(k,k+4,k+5)と(k+1,k+2,k+6) 、・・・

のような例があります。同様の例は、

 (k,k+5,k+7) と (k+1,k+3,k+8)
 (k,k+7,k+8) と (k+2,k+3,k+10)
 (k,k+6,k+9) と (k+1,k+4,k+10)
 (k,k+8,k+10) と (k+2,k+4,k+12)
 ・・・

など無数にありますし、一般化して、

 (s,s+t+2,s+2t+1) と (s+1,s+t,s+2t+2)
 (s,s+t+4,s+2t+2) と (s+2,s+t,s+2t+4)
 (s,s+t+6,s+2t+3) と (s+3,s+t,s+2t+6)
 ・・・

 さらに、一般化すると、

 (s,s+t+2u,s+2t+u) と (s+u,s+t,s+2t+2u)

となりますが、おそらくこのような一般形がたくさんあると思います。


 GAI さんからのコメントです。(令和2年5月5日付け)

 用いる数は少し多くなりますが、機械的に作業できるので実践してみて下さい。
(→参考:数学感動秘話「新単語作り」)

 数字の0,1を使って、次の様な作業を繰り返して下さい。

[1]:0を書く->0
[2]:0の反転に対応する1を上の列の次に付け加える->01
[3]:上で出来た01の反転とする10を更に列に書き足す->
[4][3]に相当する作業を繰り返す->01101001
[5]更に繰り返す->0110100110010110
[6]もう一度繰り返す->01101001100101101001011001101001

 原理は同じなので一応ここでストップして、[4],[5],[6]で出来た列での0と1が並んでいる位置
を調べます。

[4]:01101001・・・ 0の位置A4=[1,4,6,7]、1の位置B4=[2,3,5,8]
[5]:0110100110010110・・・ 0の位置A5=[1,4,6,7,10,11,13,16]、1の位置B5=[2,3,5,8,9,12,14,15]
[6]:01101001100101101001011001101001
  ・・・ 0の位置A6=[1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31]、
     1の位置B6=[2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32]

 A4、B4のそれぞれを ai、bi (i=1,2,3,4)
 A5、B5のそれぞれを ci、di (i=1,2,3,4,5,6,7,8)
 A6、B6のそれぞれを ei、fi (i=1,2,3,・・・,16)

と表しておきます。面倒でも次の計算をしてみてください。

納i=1,4]ai、納i=1,4]ai^2 、納i=1,4]bi、納i=1,4]bi^2
納i=1,8]ci、納i=1,8]ci^2、納i=1,8]ci^3 、納i=1,8]di、納i=1,8]di^2、納i=1,8]di^3
納i=1,16]ei、納i=1,16]ei^2、納i=1,16]ei^3、納i=1,16]ei^4、
                     納i=1,16]fi、納i=1,16]fi^2、納i=1,16]fi^3、納i=1,16]fi^4

 なお用いる数を少なくしながらでも累乗和を高くできるものに0の数字も仲間に入れてもらい

A=[0,1,24,65,90,129,173,212,237,278,291,302]
B=[3,5,30,57,104,116,186,198,245,272,297,299]

でグループに分けます。さて、これらが何乗の和まで等しくバランスがとれているか?計算機
等の道具で楽しんでみてください。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月5日付け)

 らすかるさん、GAIさん、有難うございます。新たな境地が感じられます。

 (1,5,8,12)と(2,3,10,11)は、3乗まで

 (1,5,9,17,18)と(2,3,11,15,19)は、4乗まで

 (1,6,7,17,18,23)と(2,3,11,13,21,22)は、5乗まで

構成法に近づけそうです。

 0〜Nのk乗の数を適当な規則でN個の組に分けると、それぞれのk-1乗までの和が等しく
なるのとは少し違うような...。

 GAIさんの方法が、二進数を二つに分ける同等のものでした。私は、二進数表示して桁数
の和を偶数と奇数に分けました。

 元の組が、成立しているとき、1を全てにたしても成立している。


 りらひいさんからのコメントです。(令和2年5月9日付け)

 次のような一般形はいかがでしょう。

 {k,k+m+n+r,k+m+n+mn/r} と {k+m,k+n,k+m+n+r+mn/r}

 m=r または n=r とすると、らすかるさんの例と一致します。

[追記] 数学感動秘話「複素世界への拡張」の中で私が挙げた

 {k+mp+nq,k-mp-nq,k+np-mq,k-np+mq} と {k+mp-nq,k-mp+nq,k+np+mq,k-np-mq}

のように冗長性を持たせた書き方をするならば、

 {k+mp,k+nq,k+np+mq} と {k+np,k+mq,k+mp+nq}

のような感じに書けます。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月11日付け)

 例えば、3個の数の二組が、a+b+c=d+e+f かつ a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2 が成立するな
らば、ab+bc+ca=de+ef+fd も成立する。更に、3乗の和 a^3+b^3+c^3=d^3+e^3+f^3 も成立す
るならば、abc=def も成り立ち、すると、必然的に同じ組になる。

 よって、異なる3個の数では、2乗までしか成立しない。一般的にもいえる。


 GAIさんからのコメントです。(令和2年5月11日付け)

 複素数まで拡張すると、 2+(1+i)+(1-i)=2^2+(1+i)^2+(1-i)^2=2^3+(1+i)^3+(1-i)^3

 例え異なる4個の複素数でも、

z1=(5+sqrt(5)+i*sqrt(2*(5-sqrt(5)))/4
z2=(5+sqrt(5)-i*sqrt(2*(5-sqrt(5)))/4
z3=(5-sqrt(5)+i*sqrt(2*(5+sqrt(5)))/4
z4=(5-sqrt(5)-i*sqrt(2*(5+sqrt(5)))/4

であれば、

z1+z2+z3+z4=z1^2+z2^2+z3^2+z4^2=z1^3+z2^3+z3^3+z4^3=z1^4+z2^4+z3^4+z4^4

が成立します。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年5月11日付け)

 ksさんの主張は、異なる2つの3数の組 (a,b,c)、(d,e,f) で、

a+b+c=d+e+f かつ a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2 かつ a^3+b^3+c^3=d^3+e^3+f^3

となることはない、という意味だと思います。


 GAIさんからのコメントです。(令和2年5月11日付け)

 完全に勘違いしておりました。


 ksさんからのコメントです。(令和2年5月12日付け)

 3個数の組の解

 (s,s+2t+u,s+t+2u) と (s+t,s+u,s+2t+2u) 、(s+u,s+2t,s+t+2u) と (s+t,s+2u,s+2t+u)

の係数の行列式の値は、3、-3 となるのが不思議です。


 GAIさんからのコメントです。(令和2年5月12日付け)

 行列で表せば、

(s,s+2t+u,s+t+2u)=[1 0 0][s]
                  [1 2 1][t]
                  [1 1 2][u]
  (s+t,s+u,s+2t+2u)=[1 1 0][s]
                  [1 0 1][t]
                  [1 2 2][u]

 左の行列式の値が 3、右の行列式の値が -3 だからでは?次も同様。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月13日付け)

 二組の行列式の値が等しくなるのは必要条件かと。符号の違いは、2乗和の順序の違い
でやはり等しい。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月25日付け)

 対称形から、4個の数の組の媒介変数も4個にして、

  (a+2b+3c+4d,4a+b+2c+3d,3a+4b+c+2d,2a+3b+4c+d)

と (a+4b+3c+2d,4a+3b+2c+d,3a+2b+c+4d,2a+b+4c+3d)

は、2乗の和まで等しくなりました。媒介変数4個では、3乗の和は無理なのでしょうか?

 d=0 としても、2乗の和は成立しますが、3乗の場合は成立させることが媒介変数4個で
は見つかりません。他の解を見てもないので、無理かと思いました。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年5月25日付け)

 (a+2b+4c+3d,3a+b+2c+4d,4a+3b+c+2d,2a+4b+3c+d)

と (a+3b+4c+2d,3a+4b+2c+d,4a+2b+c+3d,2a+b+3c+4d)

にすれば、3乗和まで等しくなります。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月26日付け)

 まさかと思い、具体的な数で検証しました。特殊な解の場合、同じになり、別の数で立派な
解であることが分かり、感動してます。人事を尽くして天命を待つ心境でしたが、更なる副産
物も有りました。

 らすかるさんの解の特徴から、残りの解も得ました。対称性から、より多くの場合に一般化
出来そうです。


 ks さんからのコメントです。(令和2年5月27日付け)

 今までの結果から、ばらばらな感じに見えたのですが、具体的な例を小さい順にならべ、
差をとると面白い。

 (1,5,6)と(2,3,7) は、  4,1  と 1,4

 (1,5,8,12)と(2,3,10,11)は、4,3,4 と 1,7,1

 (1,1,6,6)と(0,3,4,7) は、 0,5,0 と 3,1,3

 (1,5,9,17,18)と(2,3,11,15,19)は、 4,4,8 1 と 1,8,4,4


 ks さんからのコメントです。(令和2年8月25日付け)

 累乗和の3個の場合だけですが、公式を紹介。

 (a,a+2b+c,a+b+2c) と (a+b,a+c,a+2b+2c)

 (a+b,a+2c,a+2b+c) と (a+c,a+2b,a+b+2c)

 (b+2c,a+2b,2a+c) と (2b+c,a+2c,2a+b)

 2変数の場合、

 (a,3a+b,2a+2b) と (2a,a+b,3a+2b)

 (a+2b,3a,2a+b) と (2a+b,a+2b,3a)

 (a,3a+b,3b) と (b,3a,a+3b)

#異なるものが、無数にありそうです。


 ks さんからのコメントです。(令和2年8月27日付け)

 3個の累乗和を求める公式が無数にありそうですが、数字を変えれば、無数にあることは
当然ですが、それぞれの公式で表される組を、一つの集合として、異なるようです。つまり、
一方の集合にあるけれど、他方にないことを示す。そのような公式が無数に作れることを示
すことは簡単でしょうか?


 ks さんからのコメントです。(令和2年9月3日付け)

 3個の二乗までの累乗の和が等しいもの、代表的な(1,5,6)と(2,3,7)をよく見ると、

  1+7=5+3=6+2=8

 これをクロス和と呼び、そのような性質に注意して、

 クロス和=12  (3,7,8)と(4,5,9)、(1,8,9)と(3,4,11)

 クロス和=16  (1,10,13)と(3,6,15) など

 いくらでも見つけることができましたが、成り立たない場合もあります。

 (1,7,12)と(3,4,13) などです。

 魔方陣のように、特殊な求め方がないかと思います。


 ks さんからのコメントです。(令和2年9月5日付け)

 (a,b,a+b)と(a+c,b+c,c)

但し、a+bは3の倍数で、c=(a+b)/3ならば、2乗和も等しい。

クロス和が、等しいことに着目しました。


 ks さんからのコメントです。(令和2年9月21日付け)

 4個組の累乗和の作り方:a^2+b^2=c^2+d^2が成り立つものを選びます。

 例えば、6^2+7^2=9^2+2^2 のとき、(6,7,−6,−7)と(9,2,−9,−2) 若しくは、10を
足したもの (16,17,4,3)と(19,12,1,8)は、3乗和まで等しくなります。


 ks さんからのコメントです。(令和2年9月23日付け)

 5個組の場合の累乗和の作り方:a+b+c=d+e且つ、a^3+b^3+c^3=d^3+e^3を満たせば、
(a,b,c,-d,-e)と(-a,-b,-c,d,e)は、四乗和まで等しくできる。

 具体的には、(1,5,9,−7,−8)と(−1,−5,−9,7,8)、(10,4,2,−7,−9)と
(−10,−4,−2,7,9)の二組だけ

 a=b+c+d+e且つa^3=b^3+c^3+d^3+e^3もありそうですが、具体的には、まだ見つけていま
せん。a=b+c+d+eの場合は、ないみたいですね。


 ks さんからのコメントです。(令和2年12月16日付け)

 手計算で、5個の累乗和が等しいものを2組見つけました。

 (1、20、23、42、54) と (2、14、33、36、55)

 (1、18、19、44、48) と (4、8、33、34、51)


 ks さんからのコメントです。(令和3年10月2日付け)

 5個の累乗和が成り立つ組、一組例えば、(1,20,23,42,54)と(2,14,33,36,55)
が見つかれば、定数倍しても、定数を足しても成り立つので、

  (a+b,20a+b,23a+b,42a+b,54a+b)

として公式化できる。2c、3d、4e など文字を増やすこともできる。


 ks さんからのコメントです。(令和3年10月3日付け)

 6個の累乗和

(-2a-5b,-3a-4b,a-b,-a+b,3a+4b,2a+5b) と (-3a-5b,-a-4b,-2a-b,2a+b,a+4b,3a+5b)

は、5乗和まで等しくなる。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和3年10月3日付け)

 7乗和、9乗和、11乗和、13乗和も等しくなっていませんでしょうか…。私、夢でも見てい
るのかもしれません。或いは奇数ならいつも?ここで私は力尽きました。
(追伸) a、bの係数をみていて、なるほどと思いました。


 ks さんからのコメントです。(令和3年10月4日付け)

 おしゃる通り、奇数乗はそうです。偶数乗も含めて、連続して等しくなるという意味です。
6乗和は成り立ちません。


 ks さんからのコメントです。(令和4年9月7日付け)

 エクセルを、使って、7個の累乗和を見つけました。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和4年9月14日付け)

 ks さん、ひょっとして、以下の式でしょうか。

 1^k+19^k+20^k+51^k+57^k+80^k+82^k = 2^k+12^k+31^k+40^k+69^k+71^k+85^k
 ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

※上の式は本日、Google徘徊をしていて偶さかにみつけました。

Chen Shuwen's Equal Sums of Like Powers Page

 またもやオイラープロジェクトです。このドキュメントには「12個の累乗和」も例示されていま
した……。


 GAI さんから、「平方数と相性」と題して、ご投稿いただきました。(令和4年9月15日付け)

 6×6に、0 から 35 までを一つずつ入れたいところを 30 を入れずその代わり 36 を入れ
ています。

[ 2  1 36  5  0 35]
[ 6 33 20 29  4 13]
[25  7 14 24 31 12]
[21 32 11 15 22 16]
[34 18 23 10 19  9]
[17  8  3 28 27 26]


 または、1 から 36 を一つずつ入れたいところを 34 を使わず代わりに 40 を入れている。

[20 21  9 36 19 14]
[ 5 26  6 33 18 25]
[22 24 35 15 12 11]
[32  3 30  7 27  8]
[ 1 17 23 10 16 40]
[29 28  2  4 31 13]


 しかし、こうすることで、各数字を平方してみると、どちらも6次の魔方陣を構成してくれる。
(2つの対角線の和も含む)

 ところで、これを更に広げて、7×7のものを考えて、中に 0 から 48 の数字を一つずつ入
れる。(例外を含まない。)

[25 45 15 14 44  5 20]
[16 10 22  6 46 26 42]
[48  9 18 41 27 13 12]
[34 37 31 33  0 29  4]
[19  7 35 30  1 36 40]
[21 32  2 39 23 43  8]
[17 28 47  3 11 24 38]


(*各行での和はどれも168で一定です。)

 こうして、これらの数字の平方を作ってみると、

[ 625 2025  225  196 1936   25  400]
[ 256  100  484   36 2116  676 1764]
[2304   81  324 1681  729  169  144]
[1156 1369  961 1089    0  841   16]
[ 361   49 1225  900    1 1296 1600]
[ 441 1024    4 1521  529 1849   64]
[ 289  784 2209    9  121  576 1444]


となり、見事に7次の魔方陣が出来上がることに驚愕します。平方数と7×7の相性は抜群で
す。

 なお、入れる数字を1〜64にすれば、次の8×8に配置した

[16 41 36  5 27 62 55 18]
[26 63 54 19 13 44 33  8]
[ 1 40 45 12 22 51 58 31]
[23 50 59 30  4 37 48  9]
[38  3 10 47 49 24 29 60]
[52 21 32 57 39  2 11 46]
[43 14  7 34 64 25 20 53]
[61 28 17 56 42 15  6 35]


では、これ自身8次の魔方陣(定和260)であり、さらに、これの位置でそれぞれを平方した数
でも、やはり8次の魔方陣(定和11180)が構成されるというから、腰が抜けそう!


 GAI さんからのコメントです。(令和4年9月16日付け)

 以前出会った等式の中に、a、b、c を任意の自然数とし、

(6*a-3*b-8*c)^k+(5*a-9*c)^k+(4*a-4*b-3*c)^k+(2*a+2*b-5*c)^k+(a-2*b+c)^k+b^k
   =(6*a-2*b-9*c)^k+(5*a-4*b-5*c)^k+(4*a+b-8*c)^k+(2*a-3*b)^k+(a+2*b-3*c)^k+c^k

(但しk=0,1,2,3,4,5)

というものがありました。

 こんなにも自由度がありながら成立できるなんてと思って、いろいろ a、b、c のパラメータ
を変化させてみて確かめたんですが、確かに等号が成立していきます。

 中には a、b、c の取り方によっては、k=6,7,8,9,10,・・・ でも等号OKというものもでてきます。
こんな式をよく思いつきますよね〜


 ks さんからのコメントです。(令和4年9月16日付け)

 貴重な、スペシャルな解を、見つけてくださって、ありがとうございます。私の、探索の中で
は、2桁以内の自然数解はありませんでした。見つけたのは、2組。

 (1,19,28,59,65,90,102)≡(2,14,39,45,76,85,103)

 (1,16,26,62,75,105,107)≡(5,7、37,50,86,96,111)



  以下、工事中!



                         投稿一覧に戻る