[1] (*)を満たす整数(a,b,c)は？
[2] (*)を満たす自然数(a,b,c)は？
らすかるさんからのコメントです。（令和２年４月２８日付け）
[1]を手作業で適当に探したら、(a,b,c)=(-1,4,11) が見つかりました。
DD++さんからのコメントです。（令和２年４月２８日付け）
数学感動秘話「簡単そうな難問」で、らすかるさんが出題されてるやつそのものですかね。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年４月２８日付け）
はい、そうでした。ノートに記録していたメモを元に整数での解と自然数での解がこうも食
い違うものかと、自分なりに感動していたのをすっかりらすかるさんが提出されていた問題
であることを忘れて、出題してしまっていました。
検索で、この自然数解の求め方を読んでみて、楕円曲線の威力は物凄いものであると思
い知ったものでした。
ここに、初めてご覧になっている方にその自然数解を示すと、
a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
という途方もない大きさの組み合わせなのです。
そこで、このやり方を真似て、 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=6 の関係を満たす自然数を探し
てみたら、(a、b、cは対称形なので、a＞b＞cで示した。）以下のような、4の時よりも遥かに大
きな数の組み合わせとなってしまいました。
a = 202608698598832223799315202983263907001529883322145257113235001321799432
87700005601210288797153868533207131302477269470450828233936557
b = 225032402201268386688642646194249481114120008492122321846196737758856447
7616220767789632257358521952443049813799712386367623925971447
c = 121834324270290585579226423786880322307309029831012129752675283055832384
5503910071851999217959704024280699759290559009162035102974023
なお、整数の場合は、a=7、b=-3、c=23 でした。（他にも別のパターンが可能です。）
＜追伸＞ 多分、a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=5 には解はないと思われます。
