整数解の問題としては、

　ｘｙ−２ｘ−３ｙ＋１＝０　を満たす整数解の組 （ ｘ ，ｙ ） を求めよ。

のような問題が、高校生レベルとしては妥当なところだろう。

　（整数）*（整数）＝（整数）

の形に式変形することがポイントとなる。

（解）　与式より、　（ｘ−３）（ｙ−２）＝５　なので、

　（ｘ−３，ｙ−２）＝（５，１）、（１，５）、（−５，−１）、（−１，−５）

よって、　（ｘ，ｙ）＝（８，３）、（４，７）、（−２，１）、（２，−３）　　（終）

　この応用として、次の問題を考えてみよう。

問題　　３/ｘ＋２/ｙ＝１　を満たす整数解の組 （ ｘ ，ｙ ） を求めよ。

（解）　与式より、分母を払って、　ｘｙ−２ｘ−３ｙ＝０　から、（ｘ−３）（ｙ−２）＝６

（ｘ−３，ｙ−２）

＝（６，１）、（１，６）、（−６，−１）、（−１，−６）、（３，２）、（２，３）、（−３，−２）、（−２，−３）

よって、（ｘ，ｙ）＝（９，３）、（４，８）、（−３，１）、（２，−４）、（６，４）、（５，５）、（０，０）、（１，−２）

ここで、　ｘｙ≠０　なので、　（ｘ，ｙ）＝（０，０）　は不適

よって、求める解は、

　（ｘ，ｙ）＝（９，３）、（４，８）、（−３，１）、（２，−４）、（６，４）、（５，５）、（１，−２）　　（終）


　このように、　（整数）*（整数）＝（整数）　の形に式変形することが整数解の問題の基本
的なテクニックであるが、次のような問題については無力である。新たなテクニックが必要と
なる。

　それは、不等式の評価を用いて、どんどん文字の個数を減らす方法である。


問題　　方程式　２ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　を満たす自然数解の組（ｘ，ｙ，ｚ）を求めよ。

（解）　式の対称性から、１≦ｘ≦ｙ≦ｚ　として考える。

　このとき、　２ｘ²ｚ≦２ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≦３ｚ　から、　２ｘ²≦３　で、　ｘ＝１　と確定。

　このとき、

　２ｙｚ＝ｙ＋ｚ＋１　となる。　・・・　この形は、（整数）*（整数）＝（整数）　が適用できる！

すなわち、　（ｙ−１/２）（ｚ−１/２）＝３/４　より、（２ｙ−１）（２ｚ−１）＝３　と書けるので、

　　　２ｙ−１＝１　、２ｚ−１＝３　　すなわち、　ｙ＝１　、ｚ＝２

　以上から、求める自然数解の組（ｘ，ｙ，ｚ）は、

　（１，１，２）、（１，２，１）、（２，１，１）

の３通り。　　（終）


（コメント）　もっとたくさんあるかと思いきや、意外に少なかったですね！


　読者のために練習問題を残しておこう。（令和３年７月４日付け）

練習問題　　方程式　ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　を満たす正の整数の解の組 （ｘ，ｙ，ｚ） を求めよ。


（解）　１≦ｘ≦ｙ≦ｚ　とすると、　ｘ²ｚ≦ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≦３ｚ　より、　ｘ²≦３

　よって、ｘ＝１　と確定

　このとき、　ｙｚ＝ｙ＋ｚ＋１　より、　（ｙ−１）（ｚ−１）＝２　なので、

　ｙ−１＝１　、ｚ−１＝２　すなわち、　ｙ＝２　、ｚ＝３

　以上から、求める自然数解の組（ｘ，ｙ，ｚ）は、

　（１，２，３）、（１，３，２）、（２，１，３）、（２，３，１）、（３，１，２）、（３，２，１）

の６通り。　　（終）


　「整数問題」に類題がある。

島根大学医学部（２０１４）

　ａ、ｂ、ｃ、ｎ を自然数とし、ａ≦ｂ≦ｃ かつ ｎ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｂｃ を満たすとする。

（１）　ａ＝ｂ＝ｃ のとき、ｎは３の倍数であることを示せ。

（２）　ｎ＝３のとき、自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めよ。


　ここでは、（別解）を考えてみよう。

（別解）（１）　題意より、　３ｎａ＝ａ³　なので、　３ｎ＝ａ²　となる。このとき、ａ² すなわち、ａ は３

　　　　　の倍数となる。ａ＝３ｋ　（ｋは自然数）　と書けるので、　３ｎ＝９ｋ²

　　　　　すなわち、　ｎ＝３ｋ²　となり、ｎは３の倍数である。

（２）　題意より、　３（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｂｃ　なので、　ａ²ｃ≦ａｂｃ＝３（ａ＋ｂ＋ｃ）≦９ｃ

　よって、　ａ²≦９　より、　ａ＝１、２、３

　ａ＝１　のとき、　ｂｃ＝３（１＋ｂ＋ｃ）　から、　（ｂ−３）（ｃ−３）＝１２

　　（ｂ−３，ｃ−３）＝（１，１２）、（２，６）、（３，４）　から、　（ｂ，ｃ）＝（４，１５）、（５，９）、（６，７）

　ａ＝２　のとき、　２ｂｃ＝３（２＋ｂ＋ｃ）　から、　（２ｂ−３）（２ｃ−３）＝２１

　　（２ｂ−３，２ｃ−３）＝（１，２１）、（３，７）　から、　（ｂ，ｃ）＝（２，１２）、（３，５）

　ａ＝３　のとき、　ｂｃ＝３＋ｂ＋ｃ　から、　（ｂ−１）（ｃ−１）＝４

　　（ｂ−１，ｃ−１）＝（１，４）、（２，２）　から、　（ｂ，ｃ）＝（２，５）、（３，３）

　　（ｂ，ｃ）＝（２，５）は、　ｂ＜ａ　で不適なので、　（ｂ，ｃ）＝（３，３）　のみ。

　以上から、求める解は、

（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，４，１５）、（１，５，９）、（１，６，７）、（２，２，１２）、（２，３，５）、（３，３，３）

（終）


　東京女子大学（１９９１）で、次のような問題が出題されている。

問題　　方程式　ａｂｃｄ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ　を満たす自然数の解の組 （ａ，ｂ，ｃ，ｄ） を求めよ。

（解）　１≦ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ　とすると、ａ³ｄ≦ａｂｃｄ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ≦４ｄ　より、ａ³≦４　なので、

　ａ＝１　と確定　このとき、　ｂｃｄ＝１＋ｂ＋ｃ＋ｄ

　同様にして、　ｂ²ｄ≦ｂｃｄ＝１＋ｂ＋ｃ＋ｄ≦４ｄ　より、　ｂ²≦４　なので、　ｂ＝１　、２

　ｂ＝１　のとき、　ｃｄ＝ｃ＋ｄ＋２　より、　（ｃ−１）（ｄ−１）＝３　なので、

　ｃ−１＝１　、ｄ−１＝３　すなわち、　ｃ＝２　、ｄ＝４

　ｂ＝２　のとき、　２ｃｄ＝ｃ＋ｄ＋３　より、　（２ｃ−１）（２ｄ−１）＝７　なので、

　２ｃ−１＝１　、２ｄ−１＝７　すなわち、　ｃ＝１　、ｄ＝４　これは、　ｃ＜ｂ　で不適

　以上から、求める自然数解の組（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）は、

（１，１，２，４）、（１，１，４，２）、（１，２，１，４）、（１，２，４，１）、（１，４，１，２）、（１，４，２，１）、
（２，１，１，４）、（２，１，４，１）、（２，４，１，１）、（４，１，１，２）、（４，１，２，１）、（４，２，１，１）

の１２通り。　　（終）