・整数解の問題                          S.H 氏

 方程式 2xyz=x+y+z を満たす自然数解の組(x,y,z)を求めよ。

(解) 式の対称性から、x≦y≦z として考える。

 x≧2 と仮定すると、 y+z≦2z 、yz≧2z より、 yz≧y+z

 よって、 2xyz≧4yz≧4(y+z)≧2(x+y+z)+2z>x+y+z より、

 x+y+z>x+y+z となり、矛盾。

 したがって、 x=1 と確定。

 このとき、 2yz=y+z+1 より、 (y−1/2)(z−1/2)=3/4

 すなわち、 (2y−1)(2z−1)=3 より、

   2y−1=1 、2z−1=3  すなわち、 y=1 、z=2

 以上から、求める自然数解の組(x,y,z)は、

 (1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)

の3通り。


(コメント) もっとたくさんあるかと思いきや、意外に少なかったですね!


 読者のために練習問題を残しておこう。(令和3年7月4日付け)

練習問題  x、y、zは正の整数 xyz=x+y+z を解け。


(解) 1≦x≦y≦z とすると、 xyz=x+y+z≦3z より、 xy≦3

 よって、 x≧2と仮定すると、y≧2 でxy≧4となり矛盾するので、 x=1と確定

 このとき、 y=1、2、3

(x,y)=(1,1) のとき、 z=z+2 は解なし

(x,y)=(1,2) のとき、 2z=z+3 より、 z=3 (適)

(x,y)=(1,3) のとき、 3z=z+4 より、 z=2 (不適)

 よって、x=1、y=2、z=3

 1≦x≦y≦z の制限を外すと、3つの整数は、(1,2,3)の順列だけ、3!=6個ある。

                                                  (終)



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