CＦが１点Ｐで交わるものとする。
このとき、
が成り立つことを示せ。
（証明） 底辺が等しい２つの三角形の面積の比は高さの比に等しいので、
ＰＤ/ＡＤ＝△ＰＢＣ/△ＡＢＣ 、ＰＥ/ＢＥ＝△ＰＣＡ/△ＡＢＣ 、ＰＦ/ＣＦ＝△ＰＡＢ/△ＡＢＣ
よって、
ＰＤ/ＡＤ＋ＰＥ/ＢＥ＋ＰＦ/ＣＦ＝（△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢ）/△ＡＢＣ＝１ （終）
（コメント） 位置ベクトルを用いて、Ａ（ａ）、Ｂ（ｂ）、Ｃ（ｃ）、Ｐ（ｐ） とすると、
ｐ＝（ＰＤ/ＡＤ）ａ＋（ＰＥ/ＢＥ）ｂ＋（ＰＦ/ＣＦ）ｃ
が成り立つ。このとき、
という条件は、点Ｐが３点Ａ、Ｂ、Ｃの張る平面上にあることを示す。
ところで、 ｐ＝（ＰＤ/ＡＤ）ａ＋（ＰＥ/ＢＥ）ｂ＋（ＰＦ/ＣＦ）ｃ が成り立つことは次のように示
される。
（証明） △ＰＢＣ＝ｘ、△ＰＣＡ＝ｙ、△ＰＡＢ＝ｚ とおくと、
ＢＤ：ＤＣ＝ｚ：ｙ 、ＣＥ：ＥＡ＝ｘ：ｚ 、ＡＦ：ＦＢ＝ｙ：ｘ が成り立つ。
このとき、
ＡＰ＝［（ｙ＋ｚ）/（ｘ＋ｙ＋ｚ）］ＡＤ＝［（ｙ＋ｚ）/（ｘ＋ｙ＋ｚ）］［（ｙＡＢ＋ｚＡＣ）/（ｙ＋ｚ）］
＝（ｙＡＢ＋ｚＡＣ）/（ｘ＋ｙ＋ｚ）
より、 ｐ＝［ｘ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）］ａ＋［ｙ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）］ｂ＋［ｚ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）］ｃ
ここで、 ｘ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝△ＰＢＣ/△ＡＢＣ＝ＰＤ/ＡＤ
同様にして、 ｙ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝△ＰＣＡ/△ＡＢＣ＝ＰＥ/ＢＥ
ｚ/（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝△ＰＡＢ/△ＡＢＣ＝ＰＦ/ＣＦ
なので、 ｐ＝（ＰＤ/ＡＤ）ａ＋（ＰＥ/ＢＥ）ｂ＋（ＰＦ/ＣＦ）ｃ が成り立つ。 （証終）
りらひいさんからのコメントです。（令和元年１２月３日付け）
メネラウスの定理より、
PE/EB * BC/CD * DA/AP = 1 、PF/FC * CB/BD * DA/AP = 1 が成り立つので、
PE/BE + PF/CF
= CD/BC * AP/AD + BD/CB * AP/AD
= (DC+BD)/BC * AP/AD
= BC/BC * (AD-PD)/AD
= 1 * (AD/AD - PD/AD)
= 1 - PD/AD
より、 PD/AD + PE/BE + PF/CF = 1
（コメント） 直線が三角形と交わらない場合にメネラウスの定理を適用するのはあまり経験
がなかったので、勉強になりました。（→ 参考：「メネラウスの定理」）
