し、(1,0)、(0,1)へ進む２つの行き方を組み合わせると、教科書でも取り上げられている様に
全部で、6Ｃ3＝２０(通り)のコースがとれる。
次に、(1,0)、(0,1)に加え、(1,1)へ斜めに進める行き方も認めて調べると、今度は、63（通り)
が存在していることが起こる。
これらの数は各格子点に行ける可能な方法の数を順次置いていくことで手に入れられる。
（→ 参考：「最短経路問題」）
そこで、平面から空間に拡張させ、(0,0,0)から出発し、格子点(4,4,4)までのコースは何通り
かを求めて貰きたい。
但し、進行ベクトルとして、次の４タイプを自由にその都度選択していけるものとする。
A：(0,0,0)->(1,0,0) 、B：(0,0,0)->(0,1,0) 、C：(0,0,0)->(0,0,1) 、D：(0,0,0)->(1,1,1)
更に、Dの行き方を行う時、
D1：歩いていく 、D2：走っていく
とDを２つを異なる行き方をしてみることで見分ける時、(0,0,0)->(4,4,4)の異なる行き方は何
通りとなるか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月２２日付け）
前半が、 6!/(3!3!)=20 (6C3=20) 、6!/(3!3!0!)+5!/(2!2!1!)+4!/(1!1!2!)+3!/(0!0!3!)=63 であ
るのと同様に、
12!/(4!4!4!0!)+10!/(3!3!3!1!)+8!/(2!2!2!2!)+6!/(1!1!1!3!)+4!/(0!0!0!4!)=54091通り
最後のは、解釈がよくわかりませんが、単にそれぞれのDが2通りずつになるだけなら、
12!*2^0/(4!4!4!0!)+10!*2^1/(3!3!3!1!)+8!*2^2/(2!2!2!2!)+6!*2^3/(1!1!1!3!)+4!*2^4/(0!0!0!4!)
=79306通り
となりますね。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月２４日付け）
上記では、平面から空間に拡張させ考えてもらったが、今度は単に平面でのlattice paths
で、進行ベクトルを(1,0)、(0,1)、(1,1)などの単位的進行から、例えば、U：(0,3)を１つ、D：(2,2)
を２つ、H：(3,0)を３つ準備しておき、このいずれかをその都度自由に選択しながら、(0,0)から
出発し、(10,10）の点に到達できる方法は何通りあるかを知るには如何なる方法がとれます
か？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月２４日付け）
一般には、ゴールに到達できる組合せを頭で考えて場合の数を算出し、総和をとるしかな
いと思いますが、U：(0,3)、D：(2,2)、H：(3,0)の例の場合は、UとHが同数かつそれぞれ偶数個
でなければならないことから、DDDDDの1通りしかないことがわかります。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月２４日付け）
地道に、各格子点での可能数を調べて置いていくと、
(0,3):1 、(0,6):1 、(0,9):1 、(2,2):2 、(2,5):4 、(2,8):6 、(3,0):3 、(3,3):6 、(3,6):9 、(3,9):12
(4,4):4 、(4,7):12 、(4,10):24 、(5,2):12 、(5,5):36 、(5,8):72 、(6,0):9 、(6,3):27 、(6,6):62
(6,9):122 、(7,4):36 、(7,7):144 、(7,10):360 、(8,2):54 、(8,5):216 、(8,8):556 、(9,0):27
(9,3):108 、(9,6):366 、(9,9):1020 、(10,4):216 、(10,7):1080
これから、 (10,10):3*(7,10)+2*(8,8)+1*(10,7)=3*360+2*556+1*1080=3272(通り) 存在でき
るような計算になると思うんですが・・・。
りらひいさんからのコメントです。（令和元年１１月２４日付け）
GAIさんとらすかるさんの想定が食い違っているように思います。多分、GAIさんは次のよう
なものを想定しているのでは？
U：(0,3)を１つ、D：(2,2)を２つ、H：(3,0)を３つ
→ U:(0,3)を１種 (U1) 、D:(2,2)を２種 (D1,D2) 、H:(3,0)を３種 (H1,H2,H3)
U×0、D×5、H×0 … (0+5+0)!/(0!*5!*0!)*1^0*2^5*3^0 = 32
U×2、D×2、H×2 … (2+2+2)!/(2!*2!*2!)*1^2*2^2*3^2 = 3240 計3272通り
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月２４日付け）
りらひいさんのおっしゃる通りです。
U：(0,3)を１つ、D：(2,2)を２つ、H：(3,0)を３つ の条件から「個数制限付き移動」、つまり
UUHHDDはUが二つなのでNGと考えていました。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月２５日付け）
りらひいさんの計算方法から、一般に、
U:(0,3)を１種 (U1) 、D:(2,2)をa種 (D1,D2,･･･,Da) 、H:(3,0)をb種 (H1,H2,･･･,Hb)
（|U*H|=bならU,Hでの種類は他の組み合わせでも構わない。例b=12->U:3種、H:4種)
の場合は、(0,0)->(n,n)への経路a(n)は、
a(n)=sum(k=0,floor(n/2),binomial(n-k,k)*binomial(k,n-2*k)*a^(3*k-n)*b^(n-2*k))
で計算できそうです。ただし、a(0)=1 とする。
また、これらの数a(n)を生み出す母関数が、 1/sqrt((1-a*x^2)^2-4*b*x^3) によって構成
されそうです。さらに、
U:(0,r)を１種 (U1) 、D:(s,s)をa種 (D1,D2,･･･,Da) 、H:(r,0)をb種 (H1,H2,･･･,Hb)
なら、母関数が 1/sqrt((1-a*x^s)^2-4*b*x^r) となりそうです。
特に、r=s=b=1の場合、 a(n)=a^n*pollegendre(n,(a+2)/a)
＃対角線方向がa種での数がルジャンドル多項式によって与えられる。
ｍｏｏｎｌｉｇｈｔさんからのコメントです。（令和元年１１月２５日付け）
ちらと眺めていて、空間への拡張で違和感があったので少し考えてみて、そうか、進行ベク
トルがABCDと4つしかないからで、
E(1,1,0) 、F(0,1,1) 、G(1,0,1)
を入れて、７つで考えるほうが拡張としては自然ではないのかと思いました。
