0≦x≦π/2 において、
x/π≦sin(x/2)を、微積分を使わず初等幾何だけで示すにはどうしたら良いでしょうか？
もしよろしければ、どなたか教えて下さいませんでしょうか？
(私的数学塾の記事にπの近似値を初等幾何的に結構いい精度で出していたものがあった
記憶があり、それがヒントにならないかと思ったのですが、どの記事だったか忘れてしまいま
した…)
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月８日付け）
問題が数式なので、「幾何だけ」で示すのは不可能ではないでしょうか。希望に沿っている
かどうかわかりませんが、
x=0 のとき、
x/π=sin(x/2)=0 、x=π/2 のとき、x/π=sin(x/2)=/2なので、y=
x/πは、(0,0)と(π/2,/2)を通る直線で、y=sin(x/2) は、(0,0)と(π/2,/2)を通り、上に凸な曲線
よって、 0≦x≦π/2 で、
x/π≦sin(x/2)ｙｓさんからのコメントです。（令和元年１１月８日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。凸を言うのに微積分はいらないのでしょうか？
例えば、sinx≧2x/π (0≦x≦π/2) は、「Ｊｏｒｄａｎの不等式」の最後にあるように初等幾
何的に示すことが出来るので、これも出来るのかなと思ったのですが…。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月８日付け）
はい、微積分は不要です。「凹関数」にあるように、
「f(x)が上に凸」 ⇔ 「f((x+y)/2)≧{f(x)+f(y)}/2」
であり、積和公式（加法定理）から、
0≦a＜b≦π/2のとき、 sin((a+b)/4)＞sin((a+b)/4)cos((a-b)/4)={sin(a/2)+sin(b/2)}/2
なので、y=sin(x/2)は上に凸と示せます。（定義の式のままでもほとんど同様に示せます）
初等幾何的に示すことが出来るので、これも出来るのかなと思ったのですが…
なるほど、確かにそうですね。最初から出来ないと決めつけてしまいました。
ｙｓさんからのコメントです。（令和元年１１月８日付け）
なるほどそれは知りませんでした…。ちなみに、（定義の式のままでもほとんど同様に示せ
ます）というのはどのようにやるのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月８日付け）
ごめんなさい、「同様に(簡単に)示せる」と思ったのは勘違いでした。上で示した「グラフ上
の2点の中点よりグラフが上にある」を使えば示せますが、複雑で長くなりますので割愛した
いと思います。
ｙｓさんからのコメントです。（令和元年１１月９日付け）
了解です、この度はありがとうございました！
