Q、Rとする。そして、３つの線分AQ、BR、CPを引けば中にこの３本の直線で囲まれる三角
形が出現する。（ただし、P、Q、Rは同時に各辺の中点となることはないものとする。）
このとき、中に出現した三角形の面積が元の△ABCの面積のちょうど半分になるようにす
るには、内分点P、Q、Rを如何なる取り方をしておけばよいか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１０月３０日付け）
（ただし、P、Q、Rは同時に各辺の中点となることはないものとする。）
これは、三角形が出来ない場合を除いているものと思いますが、三角形が出来ない場合
は他にもありますね。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１０月３０日付け）
あーそうですね。なんか勘違いしていました。とにかく ”一点では交わらない３本の直線に
おいて” の条件で考察願います。
（コメント） 「分割パズル(10)」のラウスの定理を用いると、解決の糸口がありそうと思って
計算してみました。
面積１の△ＡＢＣにおいて、ＢＤ：ＤＣ＝１：ｘ、ＣＥ：ＥＡ＝１：ｙ、ＡＦ：ＦＢ＝１：ｚ とすると、
△ＰＱＲ＝（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}
なので、（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}＝１/２ となるような ｘ、ｙ、ｚ を
探せばよい。
ｘ＝１/２、ｙ＝１/３、ｚ＝１/４ のとき、
（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}＝５２９/１８７２＝０．２８２５８５４７・・・
ｘ＝１/３、ｙ＝１/６、ｚ＝１/７ のとき、
（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}＝５２９/１８７２＝０．４８０７６９２３・・・
ｘ＝１/３、ｙ＝１/５、ｚ＝１/９ のとき、
（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}＝０．５００８２２８０４・・・
ｘ＝１/３、ｙ＝１/６、ｚ＝１/７ のとき、
（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}＝０．４９９８０８０７３・・・
＃ピッタリ０．５となるのを探すのは、なかなか難しい．．．。
スモークマンさんからのコメントです。（令和元年１０月３１日付け）
以前、以下のサイトで考えた一般式から...
水の流れ No 367回の問題の解答より：
AP：PB=m：n として、 △PQR/△ABC=(m-n)^2/(m^2+mn+n^2)=1/2
m^2+mn+n^2=2(m-n)^2 より、 m^2-5mn+n^2=0 を満たしていればいいはずですね ^^
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月１日付け）
スモークマンさんのものは、点P、Q、Rの取り方を共通の内分点として選択した場合の考
察になっているものと思われますが、ここでは、P、Q、Rはそれぞれ自由に独立して内分点
が選べます。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月１日付け）
ＧＡＩさんのコメントを見て、「そういえばスモークマンさんが出した方程式に解はあるのか？」
と思ったので、スモークマンさん提示の m^2-5mn+n^2=0 の解を考えたのですが、mについて
解くと m=(5±√21)n/2 となることから、明らかに自然数解はありませんでした。
スモークマンさんからのコメントです。（令和元年１１月１日付け）
あら...^^; またしても独り合点して、掲示板を汚してしまいました...〜m(_ _);m〜
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月１日付け）
上記（コメント）のラウスの定理による式
(xyz-1)^2/{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}=1/2
を、xについて整理すると、
(y^2z^2-y^2z-yz^2-2yz-y)x^2-(y^2z^2+2y^2z+2yz^2+z^2+8yz+2y+2z+1)x-(y^2z+2yz+y+z-1)=0
となり、このxに関する二次方程式の判別式は、D=(yz+8y+z+1)(yz+z+1)^3 となりますので、
yz+z+1とyz+8y+z+1がともに有理数の平方であればよい（十分条件）ことがわかります。
yz+z+1=a^2、yz+8y+z+1=b^2 とおくと（ただし、a、bは有理数で、b＞a＞1）、
y=(b^2-a^2)/8, z=8(a^2-1)/(b^2-a^2+8)
そして、これをxの方程式に代入して解くと、
x={(a^2-4-ab)(b^2-a^2+8)}/{(b-a)(3a^3-4a^2b+ab^2+4a+4b)}、
{(4-a^2-ab)(b^2-a^2+8)}/{(b+a)(3a^3+4a^2b+ab^2+4a-4b)}
となりますので、この式から適解になるようなa、bの範囲を考えることで、
1＜a＜√2 かつ a＜b＜(4-a^2)/a として、
x=(4-a^2-ab)(b^2-a^2+8)/{(b+a)(3a^3+4a^2b+ab^2+4a-4b)}
y=(b^2-a^2)/8, z=8(a^2-1)/(b^2-a^2+8)
とすれば、元の式を満たします。
例えば、(a,b)=(5/4,7/4)とすると、(x,y,z)=(19/447,3/16,9/19)なので、
AP：PB=447：19、BQ：QC=16：3、CR：RA=19：9
で面積が半分という条件を満たすことになります。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月１日付け）
ラウスの定理による式 S(x,y,z)= (xyz-1)^2/{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1) に、x、y、zの色々
な整数を代入して結果を見ていたら、x=3、y=6、z=7でピタリ1/2が起きた。
(AP：PB=1：3, BQ：QC=1：6, CR：RA=1：7に対応する。）
それ以外は結構ややこしい分数が多く、スッキリの分数として際立っていた。
余談：クライン著の「19世紀の数学」の本を２週間前ほどに読んでいたら、このラウスという
人物の人となりが書かれていて、ちょっと面白いと思って調べていたら、この人はケン
ブリッジ大学でジェイムズ・クラーク・マックスウェルと同級生らしく、マックスウェルは卒
業試験で召使に結果を見に行ってもらい、自分がトップであると確信していたために、
「二位は誰か？」と尋ねると、召使は「あなた様でございます」と答えたという逸話が残
る。そのときのトップがこのエドワ−ド・ラウスであるという。そして、彼の発見になるこ
の定理も同時にメモしていた。それが近ごろのこのサイトでの更新履歴10月30日での
分割パズル（１０）を読んでいたら、まさしくこの定理が書かれているではないか！と思
いがけもなく出会ったので、これで遊んでいて、思い付いた問題でした。
他にも下記のようなパターンもあるとは思ってもいませんでした。
例えば(a,b)=(5/4,7/4)とすると(x,y,z)=(19/447,3/16,9/19)なので、
AP：PB=447：19, BQ：QC=16：3, CR：RA=19：9
で面積が半分という条件を満たすことになります。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１１月２日付け）
ラウスの定理の式： S(x,y,z)= (xyz-1)^2/{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)} は、中にできる三角
形の向きを念頭におけば、x、y、zの大きさが1より小や大に関わらず（分数も含め）、
S(x,y,z)=S(1/x,1/z,1/y)=S(1/z,1/y,1/x)=S(1/y,1/x,1/z)
なる関係式で処理して構わないと考えておいていいんでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月２日付け）
Pari/GPで調べると、次のようになるので大丈夫だと思います。
(16:26) gp > S(x,y,z)=(x*y*z-1)^2/((x*y+y+1)*(y*z+z+1)*(z*x+x+1))
(16:27) gp > S(x,y,z)-S(1/x,1/z,1/y)
%1 = 0
(16:27) gp > S(x,y,z)-S(1/z,1/y,1/x)
%2 = 0
(16:27) gp > S(x,y,z)-S(1/y,1/x,1/z)
%3 = 0
(16:27) gp > S(x,y,z)-S(y,z,x)
%4 = 0
(16:27) gp > S(x,y,z)-S(z,x,y)
%5 = 0
以下、工事中！
