図形の分割パズルを３題用意しました。
問題１ 面積１の正方形から、面積が１/５の正方形を作れ。
問題２ 面積１の三角形から、面積が１/７の三角形を作れ。
問題３ 正六角形を９つの合同図形に分割せよ。
（答） 答えは、絵とにらめっこすると分かるかな？
問題１の答え：頂点と中点を結ぶと、真ん中に求める正方形ができる。
問題２の答え：三角形の３辺を２：１に分ける点を結ぶと真ん中に求める三角形ができる。
カルピスさんからのコメントです。（令和元年８月１７日付け）
問題２の解き方が分かりません。教えてください。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年８月１７日付け）
△ABCでAB、BC、CAをそれぞれ2：1に内分する点をF、D、Eとし、ADとBE、BEとCF、CFと
ADの交点を順にP、Q、Rとします。
Eを通り、ADと平行な直線とBCとの交点をGとすると、DG：GC=1：2、また、BD：DC=2：1で
すから、BP：PE=BD：DG=6：1 となります。
従って、 △APE=(1/7)△ABE=(1/21)△ABC であり、△BQF、△CRDも全く同様に
(1/21)△ABCとなります。
従って、
△PQR=△ABC-△ABP-△BCQ-△CAR
=△ABC-(△ABE-△APE)-(△BCF-△BQF)-(△CAD-△CRD)
=△ABC-(△ABE+△BCF+△CAD)+(△APE+△BQF+△CRD)
=△ABC-{(1/3)△ABC+(1/3)△ABC+(1/3)△ABC}+{(1/21)△ABC+(1/21)△ABC+(1/21)△ABC}
=(1/7)△ABC
となります。
カルピスさんからのコメントです。（令和元年８月１８日付け）
らすかるさん、有難うございました。やーーーーーっと理解できました。ふー、こんなに難し
いとは思いませんでした。３つの角に出来たプロペラみたいな形は、全て面積が同じで、そ
の合計が真ん中の三角形の面積になるのですね。これは、どんな三角形でも成り立つです
ね？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年８月１８日付け）
三角形ということ以外何も仮定していませんので、どんな三角形でも成り立つことになりま
すね。
（コメント） らすかるさんの証明と同様ですが、メネラウスの定理から、BP：PE=6：1 を導い
てもＯＫと思います。
カルピスさんからのコメントです。（令和元年８月１８日付け）
らすかるさん、有難うございました。この問題２の証明は難しいので、このような条件の時
は１／７になると覚えてしまった方が良いかもですね。
（コメント） 視覚的に１/７と分かる別解を考えてみました。（令和元年８月２５日付け）
真ん中の三角形の各辺に平行な直線を描き、真ん中の三角形に合同な１３個の三角形
で、元の三角形を被覆すると、面積は１３（ただし、真ん中の三角形の面積＝１とする。）
このとき、元の三角形の面積は、 （４÷２）×３＋１＝７ なので、真ん中の三角形の面積
は元の三角形の１/７となる。
（追記） 令和元年９月２９日付け
問題２を一般化したものとして、ラウスの定理が知られている。
ラウスの定理 面積１の△ＡＢＣにおいて、ＢＤ＝ａ、ＣＤ＝ａｘ、ＣＥ＝ｂ、ＥＡ＝ｂｙ、ＡＦ＝ｃ、
ＦＢ＝ｃｚ とおくと、
△ＰＱＲ＝（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）}
（証明） △ＡＢＤと直線ＦＣについて、メネラウスの定理より、
（ｃ/ｃｚ）（（ｘ＋１）ａ/（ａｘ））（ＤＰ/ＰＡ）＝１
よって、 ＤＰ/ＰＡ＝ｚｘ/（ｘ＋１）
このとき、
△ＡＰＣ＝（ｘ＋１）/（ｚｘ＋ｘ＋１）・△ＡＤＣ＝（ｘ＋１）/（ｚｘ＋ｘ＋１）・ｘ/（ｘ＋１）＝ｘ/（ｚｘ＋ｘ＋１）
同様にして、 △ＢＱＡ＝ｙ/（ｘｙ＋ｙ＋１） 、△ＣＲＢ＝ｚ/（ｙｚ＋ｚ＋１）
よって、 △ＰＱＲ＝１−ｘ/（ｚｘ＋ｘ＋１）−ｙ/（ｘｙ＋ｙ＋１）−ｚ/（ｙｚ＋ｚ＋１）
地道に通分して（意外と大変な計算でした．．．。）
△ＰＱＲ＝（ｘｙｚ−１）2/{（ｘｙ＋ｙ＋１）（ｙｚ＋ｚ＋１）（ｚｘ＋ｘ＋１）} （証終）
（コメント） 問題２は、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１/２ の場合で、実際に代入してみると、
△ＰＱＲ＝（１/８−１）2/（１/４＋１/２＋１）3＝（４９/６４）/（４９・７/６４）＝１/７
（追記） 令和元年１０月１７日付け
ラウスの定理に関連して、次の事実も興味深い。
△ＡＢＣの各辺を３等分して各辺２：１に分けてから３本の直線を引くと、互いに等し
い長さの２本の線分とそうでない線分に分かれる。
（証明） △ＡＢＣ＝Ｓ とおくと、 △ＡＣＦ＝２Ｓ/３
△ＣＢＦ＝Ｓ/３＝△ＣＤＦ＋△ＤＢＦ と分割すると、 △ＣＤＦ＝Ｓ/９、△ＤＢＦ＝２Ｓ/９
△ＡＣＦ：△ＣＤＦ＝２Ｓ/３：Ｓ/９＝６：１ より、 ＡＨ：ＨＤ＝６：１
△ＣＤＨ＝△ＡＣＤ×（１/７）＝Ｓ/２１ 、同様にして、△ＢＦＧ＝△ＡＥＩ＝Ｓ/２１
四角形ＣＨＩＥ＝△ＡＣＤ−２×Ｓ/２１＝Ｓ/３−２×Ｓ/２１＝５Ｓ/２１
同様にして、 四角形ＢＧＨＤ＝四角形ＡＩＧＦ＝５Ｓ/２１
よって、△ＧＨＩ＝Ｓ−３×５Ｓ/２１−３×Ｓ/２１＝Ｓ/７
以上から、△ＧＨＩが、△ＡＢＣの面積の１/７の三角形である。
△ＡＤＣと直線ＢＥについて、メネラウスの定理より、
（１/２）×（３/２）×ＤＩ/ＡＩ＝１ より、 ＤＩ/ＡＩ＝４/３ すなわち、ＤＩ：ＡＩ＝４：３
ここで、ＡＩ＝ｘ、ＩＨ＝ｙ、ＨＤ＝ｚ とおくと、 ｘ＋ｙ：ｚ＝６：１ 、ｘ：ｙ＋ｚ＝３：４
ｘ＋ｙ＝６ｚ 、４ｘ＝３ｙ＋３ｚ より、ｚを消去して、 ｘ＋ｙ＝８ｘ−６ｙ より、 ｘ ＝ｙ
さらに、ｘ＝ｙ＝３ｚ であることが分かる。
よって、 ＡＩ＝ＩＨ で、同様にして、 ＢＧ＝ＧＩ 、ＣＨ＝ＨＧ が成り立つ。
すなわち、３本の線分ＡＤ、ＢＥ、ＣＦは、互いに等しい長さの２本の線分とそうでない線分
に分かれる。
この性質に気が付けば、下図のように面積がすべて等しい７つの三角形に分割されるこ
とが直ちに分かる。
令和元年８月２５日付けの（コメント） 視覚的に１/７と分かる別解を考えてみました、も
上記の性質を承知していれば自然な発想であることが分かる。
（追記） 令和２年１月１６日付け
平成４年度入試で、次の問題が白百合学園中学から出題されている。
