(1) f(x)＝0 は唯一つの実数解を持つことを示せ。
(2) f(x)＝0 の解をαとおく。最大値Mをとるxはα<x<πを満たすことを示せ。
(3) M＞1/2 を示せ。
(1)は対数をとって、(2)は平均値の定理から解答できたのですが、(3)が分かりません。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１０月１６日付け）
数値計算による解答しか思い浮かびませんでした。
M＞1/2を示すには、e^π-π^e＞1/2 を示せば十分。
2.718＜e＜2.719 、3.141＜π＜3.142 で、2.718×1.156=3.142008 から
π/e＜3.142/2.718＜1.156
log(1+x)＜x-x^2/2+x^3/3 から、
log(1.156)＜0.156-0.156^2/2+0.156^3/3=0.145097472＜0.146
logπ=log(π/e)+1＜log(1.156)+1＜0.146+1=1.146
elogπ＜2.719×1.146=3.115974＜3.116
π-elogπ＞3.141-3.116=0.025
e^x-1＞x から、 e^π/π^e-1=e^(π-elogπ)-1＞π-elogπ＞0.025
3.1^2=9.61＞9.5=19/2
(19/2)^2=361/4＞90
90^2=8100＞8000=20^3
∴ 3.1^8＞20^3 なので、 π^e＞3.1^(8/3)＞20
従って、e^π-π^e=(π^e)(e^π/π^e-1)＞20×0.025=0.5 なので、 M＞1/2
ｃｉｔｒｕｓさんからのコメントです。（令和元年１０月１７日付け）
ありがとうございます。流れがスッキリしてて分かりやすいです。途中logの不等式を用いる
ところは全く思い付かなかったです。e、π共に結構な精度で近似できないと最後までいくの
は難しそうですね。
実際はMをとるxが大体x=2.85くらいでeに結構近いのですが、f(x)の詳しいグラフが描けな
い状態ではe^π-π^eを計算しようとは中々思えませんでした...。試験等でも、f(e)でも1/2を
超えそう、というのは大体当たりを付けられないといけないものでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１０月１７日付け）
f(x)の詳しいグラフが描けない状態ではe^π-π^eを計算しようとは中々思えませんでした...
たまたま「私的数学塾」の掲示板「ｅπのおおよその値」で、e^πとπ^eの手計算の話題が
出たばかりで、値を知っていたので、e^π-π^e＞1/2はわかっていました。
試験等でも、f(e)でも1/2を超えそう、というのは大体当たりを付けられないといけないもの
でしょうか？
e^π＞π^eを示す問題は試験でたまに出ると思いますが、e^π-π^e＞1/2を示すような
問題は見たことがありません。ただし、x^π-π^x（2＜x＜π）で「手計算で計算しやすい」の
は、e^π-π^eぐらいしかないと思いますので、もし手計算するとしたら、e^π-π^eになるか
な、とは思います。
（コメント） (1)(2)について考えてみました。
（１） f(x)=(x^π)-(π^x)=0 を満たす解αがあるとすると、α^π=π^α で、両辺の対数を
とると、πｌｏｇα＝αｌｏｇπ すなわち、 （ｌｏｇα）/α＝（ｌｏｇπ）/π が成り立つ。
そこで、Ｆ（ｘ）=（ｌｏｇｘ）/ｘ とおくと、 Ｆ’（ｘ）=（１−ｌｏｇｘ）/ｘ2＝０ より、 ｘ＝ｅ
このとき、０＜ｘ＜ｅ で、Ｆ（ｘ）は単調に増加し、ｅ＜ｘ で、Ｆ（ｘ）は単調に減少する。
Ｆ（ｅ）=１/ｅ＞０ で、ｘ→＋０ のとき、Ｆ（ｘ）→−∞ 、ｘ→＋∞ のとき、Ｆ（ｘ）→０
よって、 Ｆ（α）=（ｌｏｇπ）/π （０＜α＜ｅ） となるαがただ一つ存在する。
よって、f(x)＝0 は唯一つの実数解を持つ。
（２） f(x)＝0 の解をαとおくと、f(π)=0 でもあり、f(x)は［α，π］において連続で、
（α，π）において微分可能なので、平均値の定理より、 最大値Mをとるxにおいて、
f’(x)=0 （α＜ｘ＜π）が言える。
＃こんな感じでいいのかな？
