自然数の和の計算というと次のように求めるのが一番楽な方法だろう。（参考→数列の和）
Ｓ＝１ ＋ ２ ＋ ３ ＋・・・・・・・＋(ｎ−１)＋ｎ
Ｓ＝ｎ ＋(ｎ−１)＋(ｎ−２)＋・・・・・・・ ＋ ２ ＋１
上記の２式を辺々加えて、
２Ｓ＝(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)＋・・・・・＋(ｎ＋１) ＝ ｎ(ｎ＋１)
よって、 Ｓ＝１＋２＋３＋・・・・・・・＋(ｎ−１)＋ ｎ ＝ ｎ(ｎ＋１)/２
これに対して、最近面白い方法を知る機会があった。
とおくと、定積分の性質から、
が成り立つ。ところで、
であるので、上式に代入して整理すれば、
が得られる。
定積分そのものの本質的な部分を考えれば、上記のような計算はあまり思いつかないか
もしれないが、とても斬新な方法だと思う。
（参考文献： 片岡宏信 著 数列の和を積分で考える （数研通信））
