世に「直角三角形３・４・５の問題」は数多存在するが、その中で興味ある問題を集めた
いと思う。読者の皆様からもたくさんのご投稿をお待ちしております。


問題１　ＡＢ＝３、ＡＣ＝４、∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣに半円Ｏが内接している。このと
　　　　　き、半円の直径ＤＥに対して、線分ＥＣの長さを求めよ。

　　　　　

（解）　半円Ｏの半径を ｒ 、ＢＯ＝ｘ　とおく。半円Ｏと辺ＡＢの接点をＦとおくと、

　　　△ＢＯＦと△ＢＣＡが相似なので、　ｒ ： ４＝ｘ ： 5　より、　ｘ＝５ｒ/４

　　△ＢＯＦにおいて、三平方の定理より、　（３−ｒ）²＋ｒ²＝（５ｒ/４）²

　これを解いて、　ｒ＝１２/７　、１２　であるが、題意より、　ｒ＝１２　は不適

　よって、　ｒ＝１２/７　より、求める長さは、

　　 ＥＣ＝５−（５ｒ/４＋ｒ）＝５−９ｒ/４＝５−２７/７＝８/７　　（終）


　Ｓ（Ｈ）さんから別解をいただきました。（平成３１年４月２８日付け）

　直線 x/3 + y/4=1 上に円 (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 の中心（ｒ，ｒ）があるので、

ｒ/3 + ｒ/4=1 より、　r=12/7

　そこで、ＥＣ＝ｘ とおくと、三平方の定理より、

　　（ｘ＋12/7）²＝（12/7）²＋（４−12/7）²＝400/49

　よって、　ｘ＋12/7＝20/7　より、　ｘ＝8/7


（コメント）　Ｓ（Ｈ）さんの本解では、

　(-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49　、x/3+y/4=1　から、（24/35，108/35）　を採用し、

　Sqrt[({0,4}-{24/35,108/35}).({0,4}-{24/35,108/35})]=8/7

　または、

　(-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49　、(x-0)^2+(y-4)^2=K^2　が接するようKを定め、

  K=8/7 を採用し、K=32/7 は遺棄する

とのことですが、上記ではより易しい新しい道を模索させていただきました。悪しからずご了
承ください。


問題２　マッチ棒１２本で囲まれた直角三角形ＡＢＣがある。ＡＢ＝３、ＡＣ＝４、∠Ａ＝９０°
　　　　である。このとき、マッチ棒を２本追加して、この三角形の面積を２等分してください。

　　　　　

（解）　直角三角形の面積は６なので、次のようにマッチ棒をおけば、それぞれの面積は、
　　　３ずつとなる。

　　　　　


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから問題をいただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和元年５月２日付け）

問題３　平面上に、３点A(-2，13)、B(-11，1)、C(5，-11)がある。３辺AB、BC、CAの比
　　　　　AB：BC：CAを最も簡単な整数で表せ。（令和元年５月２日付け）


　らすかるさんから解答をいただきました。（令和元年５月２日付け）

（解）　A(-2，13)、B(-11，1)、C(5，-11)をBが原点に一致するように平行移動すると、

　　A’(9，12)、B’(0，0)、C’(16，-12)

　C’を原点B’を中心に90°左回転すると、C”(12，16)となり、B’C”=(4/3)B’A’

　よって、　∠ABC=∠A’B’C’=90°であり、また、B’C”=(4/3)B’A’　から、

　B’C’=(4/3)B’A’　なので、　AB：BC=A’B’：B’C’=3：4

　よって、　AB：BC：CA=3：4：5


（コメント）　素朴に計算してみました。

　AB²＝81+144＝225　、BC²＝256+144＝400　、CA²＝49+576＝625　より、

　AB²＋BC²＝CA²　が成り立ち、三平方の定理より、△ABCは、B＝９０°の直角三角形で、

　AB：BC：CA＝15：20：25＝3：4：5　である。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「カルピス」さんから問題をいただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和元年５月５日付け）

問題４　ピタゴラスおじさんの時計は、長針：４ｃｍで短針：３ｃｍ。丁度、ｐｍ３時にピタッと
　　　　時計が止まってしまいました。これはチャンスと、定規で、長針の先から短針の先ま
　　　　での長さを測ってみたら、なんと５ｃｍではありませんでした。

　あまりにもショックをうけたピタゴラスおじさんは、３時のおやつに用意しておいた ３：４：５
の直角三角柱のチーズケーキを食べられませんでした。

　令和になって、「三平方の定理ビックバン」が起きたのかと、悩んでしまいました。

　ピタゴラスおじさんを助けてあげてください。なんで５ｃｍにならなかったのでしょうか？


　DD++さんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）

　ピタゴラスおじさんの時計は、「実物」だったから。

　実際の時計（すなわち絵に書いたものや液晶で動くタイプではない時計）では、短針の回
転面と長針の回転面は同一ではありません。

　その２つの面の間の距離を d [cm] とすれば、長針の先と短針の先の間の距離は、
√(25+d^2) [cm] になります。


（コメント）　確かに、実際の時計では、長針、短針に段差がありますね！

　　　　


　カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）

　DD++さん、大正解であります（＾＾）／

　長針と短針は同一平面上で回転しないので、５cmより長くなってしまいます。

ｐｓ：液晶のアナログ時計の存在には気づきませんでした。あっ、でもピタゴラスおじさんの時
　　代には、液晶時計は、まだ無かったよーな．．．。


　DD++さんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）

　ピタゴラスの時代だと、そもそも短針と長針が別々に回転する時計自体がまだないですね。


　カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月６日付け）

　きっと、チーズケーキも無かったですね。


問題５　ＡＢ＝４の長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣ上にＢＥ＝３となる点Ｅをとり、線分ＡＥ上に
　　　　点Ｆを、面積比が △ＡＢＥ：△ＡＦＤ：四角形ＦＥＣＤ＝３：４：５ となるようにとる。

　　　　　このとき、線分ＥＦの長さを求めよ。

　　　　

（解）　△ＡＢＥ＝６　なので、　△ＡＦＤ＝８　、四角形ＦＥＣＤ＝１０

　　よって、長方形ＡＢＣＤ＝２４　となり、　ＢＣ＝６　であることが分かる。

　　このとき、△ＥＣＤ＝６　より、　△ＦＥＤ＝４　なので、　ＡＦ：ＦＥ＝８：４＝２：１

　ＡＥ＝５　なので、ＥＦ＝５×１/３＝５/３　となる。　　（終）


問題６　今、下図のように、３×３ および ４×４ の格子状の正方形がある。

　　　　　　　　　　　

　この正方形それぞれを適当に切り分け（線分に沿って切らなくてもよい）、適当に組み合わ
せると、１つの正方形が作られる。どのように分けたらいいのだろうか？

　　　　　　　　　　

（解）　次のように切り分けて一つの正方形が作られる。（類題→正方形を作る（７））

　　　　　　　　　　


（コメント）　直角三角形３・４・５の問題を意識して解答してみました。


　カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月８日付け）

　与えられた問題文の抜け道がいろいろあるので、解は無限大。

【抜け道その１】　切り分ける枚数が指定されてないので、３ｘ３、４ｘ４を全てバラバラにすれ
　　　　　　　　　　ば、５ｘ５に収まる。

【抜け道その２】　「曲線」で切ってはいけないと書いてないので、ジグソーパズルのように切
　　　　　　　　　　れば、解は無限に存在する。

＃昔、「法律の抜け穴」という本を読んで、凄く面白かったけど、今回は「問題文の隙間を通
　り抜ける」．．．。


問題７　下図の直角三角形ABCをＢを中心として反時計回りに９０°回転させる。このとき、
　　　　　辺ACが通過した図形の面積を求めよ。

　　　　　　　　　　

（解）　求める図形は、下図の水色の部分である。

　　　　

　よって、　２５π/４＋６−（９π/４＋６）＝４π　となる。　　（終）


問題８　次の図形の周の長さを求めよ。ただし、直角の記号は図形には含まれない。

　　　

（解）　（５＋１２）＋（３＋４）＋（１３−５）＝３２　　（終）


問題９　直角三角形ABCの斜辺ＡＢ上に点Ｐをとったところ、△ＡＰＣと△ＰＢＣの周の長さが
　　　　等しくなった。△ＡＰＣの面積を求めよ。

　　　

（解）　ＰＢ＝ａ とおくと、　３＋ａ＝４＋（５−ａ）　から、　ａ＝３　なので、

　　　ＡＰ ： ＰＢ＝２ ： ３　より、　△ＡＰＣ＝６×（２/５）＝１２/５　　（終）


（追記）　令和５年１月１３日付け

　３・４・５の直角三角形がある。内角の大きさは、３６．８７°、５３．１３°、９０°である。

　　　

　この直角三角形と合同な三角形を何枚か貼り合わせて、凸ｎ角形を作りたい。裏返しや
回転も可として、どこまで作れるだろうか？

　下図のように、四角形、五角形、六角形までは何とか作れた。七角形は作れるだろうか？

　上図の六角形からは、直角三角形をどのように裏返し・回転をしても七角形を作れないの
で、発想の転換が必要だ。上図の四角形を横に２つ並べてみると、下図のように七角形を
構成することができた。

　　　

　同様にして、八角形も構成できる。

　　　

　八角形としては、次の図の方が美しいだろう。だんだんと円に近づいている。

　　　

　果たして、九角形は作れるだろうか？


（コメント）　正２０角形までできるそうである。

（詳細は、数学セミナー　２０２３年５月号　の「エレガントな解答をもとむ」の解答を参照）


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから問題をいただきました。
　　　　（令和５年７月９日付け）

　△ABCの３つの角A、B、Cについて、次の問いに答えよ。

(1)　sin(A/2)sin(B/2)＝(1/2)cos((A-B)/2)−(1/2)sin(C/2)　を示せ。

(2)　cosA＋cosB＋cosC＝k　としたとき、sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)　を k を用いて表せ。

(3)　△ABCが A＜B＜C＝π/2 の直角三角形であり、sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)＝1/10　の
　　とき、３辺の長さの比 BC：CA：AB を求めよ。

（出典）　2023年お茶の水女子大学

(補足)　(1)・(3)は、文教育学部・生活科学部・理学部共通だが、文教育学部・生活科学部
　　　　の(2)は、「cosA+cosB+cosC＝k としたとき、sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)＝(k-1)/4 とな
　　　　ることを示せ。」となっている。


（解）（１）　積和の公式から、sin(A/2)sin(B/2)＝−（1/2）（cos（（A＋B）/2）−cos（（A−B）/2））

　A＋B＋C＝π　より、　A＋B＝π−C　なので、

　sin(A/2)sin(B/2)＝−（1/2）（cos（π−C/2）−cos（（A−B）/2））

　　＝（1/2）（cos（（A−B）/2）−cos（π−C/2））＝(1/2)cos((A-B)/2)−(1/2)sin(C/2)

（２）　sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)＝(1/2)cos((A-B)/2)sin(C/2)−(1/2)sin²(C/2)

　積和の公式から、

　cos((A-B)/2)sin(C/2)＝(1/2)（sin（（A−B＋C）/2）−sin（（A−B−C）/2））

　　＝(1/2)（sin（π/2−B）−sin（A−π/2））＝(1/2)（cosB＋cosA）

　半角の公式から、　sin²(C/2)＝（１−cosC）/2

よって、　sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)＝(1/4)（cosA＋cosB＋cosC）−1/4＝（ｋ−1）/4

（３）　（ｋ−1）/4＝1/10　から、　ｋ＝7/5　で、　cosA＋cosB＝7/5

　BC＝ａ、CA＝ｂ、AB＝ｃ　とおくと、　（ｂ/ｃ）＋（ａ/ｃ）＝7/5　より、　ａ＋ｂ＝（7/5）ｃ

　三平方の定理より、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　なので、　（ａ＋ｂ）²−2ａｂ＝ｃ²　から、

　ａｂ＝（12/25）ｃ²

　よって、ａ、ｂ は、２次方程式 ｔ²−（7/5）ｃｔ＋（12/25）ｃ²＝０　の２つの解である。

　（ｔ−3ｃ/5）（ｔ−4ｃ/5）＝０　より、　（ａ，ｂ）＝（3ｃ/5，4ｃ/5）　または　（4ｃ/5，3ｃ/5）

　ここで、条件より、A＜B　なので、　ａ＜ｂ　より、　（ａ，ｂ）＝（4ｃ/5，3ｃ/5）　は不適

　よって、　（ａ，ｂ）＝（3ｃ/5，4ｃ/5）　である。

以上から、　BC：CA：AB＝3 ： 4 ： 5　である。　　（終）


（追記）　令和６年７月２０日付け

問題　　正三角形ＡＢＣの内部に点Ｐを、ＡＰ＝３、ＢＰ＝４、ＣＰ＝５ であるようにとる。

　　

このとき、∠ＡＰＢの大きさを求めよ。

（解）　△ＡＢＰと合同な△ＡＣＰ’を作る。

　　

このとき、△ＡＰＰ’は正三角形となり、ＰＰ’＝３ である。よって、∠ＰＰ’Ｃ＝９０°なので、

　∠ＡＰＢ＝∠ＡＰ’Ｃ＝６０°＋９０°＝１５０°　　（終）



　　以下、工事中！