・直角三角形3・4・5の問題                 S.H 氏

  世に「直角三角形3・4・5の問題」は数多存在するが、その中で興味ある問題を集めた
いと思う。読者の皆様からもたくさんのご投稿をお待ちしております。


問題1 AB=3、AC=4、∠A=90°の直角三角形ABCに半円Oが内接している。このと
     き、半円の直径DEに対して、線分ECの長さを求めよ。

     

(解) 半円Oの半径を r 、BO=x とおく。半円Oと辺ABの接点をFとおくと、

   △BOFと△BCAが相似なので、 r : 4=x : 5 より、 x=5r/4

  △BOFにおいて、三平方の定理より、 (3−r)2+r2=(5r/4)2

 これを解いて、 r=12/7 、12 であるが、題意より、 r=12 は不適

 よって、 r=12/7 より、求める長さは、

   EC=5−(5r/4+r)=5−9r/4=5−27/7=8/7  (終)


 S(H)さんから別解をいただきました。(平成31年4月28日付け)

 直線 x/3 + y/4=1 上に円 (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 の中心(r,r)があるので、

r/3 + r/4=1 より、 r=12/7

 そこで、EC=x とおくと、三平方の定理より、

  (x+12/7)2=(12/7)2+(4−12/7)2=400/49

 よって、 x+12/7=20/7 より、 x=8/7


(コメント) S(H)さんの本解では、

 (-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49 、x/3+y/4=1 から、(24/35,108/35) を採用し、

 Sqrt[({0,4}-{24/35,108/35}).({0,4}-{24/35,108/35})]=8/7

 または、

 (-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49 、(x-0)^2+(y-4)^2=K^2 が接するようKを定め、

  K=8/7 を採用し、K=32/7 は遺棄する

とのことですが、上記ではより易しい新しい道を模索させていただきました。悪しからずご了
承ください。


問題2 マッチ棒12本で囲まれた直角三角形ABCがある。AB=3、AC=4、∠A=90°
    である。このとき、マッチ棒を2本追加して、この三角形の面積を2等分してください。

     

(解) 直角三角形の面積は6なので、次のようにマッチ棒をおけば、それぞれの面積は、
   3ずつとなる。

     


 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんから問題をいただきました。
                                        (令和元年5月2日付け)

問題3 平面上に、3点A(-2,13)、B(-11,1)、C(5,-11)がある。3辺AB、BC、CAの比
     AB:BC:CAを最も簡単な整数で表せ。(令和元年5月2日付け)


 らすかるさんから解答をいただきました。(令和元年5月2日付け)

(解) A(-2,13)、B(-11,1)、C(5,-11)をBが原点に一致するように平行移動すると、

  A’(9,12)、B’(0,0)、C’(16,-12)

 C’を原点B’を中心に90°左回転すると、C”(12,16)となり、B’C”=(4/3)B’A’

 よって、 ∠ABC=∠A’B’C’=90°であり、また、B’C”=(4/3)B’A’ から、

 B’C’=(4/3)B’A’ なので、 AB:BC=A’B’:B’C’=3:4

 よって、 AB:BC:CA=3:4:5


(コメント) 素朴に計算してみました。

 AB2=81+144=225 、BC2=256+144=400 、CA2=49+576=625 より、

 AB2+BC2=CA2 が成り立ち、三平方の定理より、△ABCは、B=90°の直角三角形で、

 AB:BC:CA=15:20:25=3:4:5 である。


 当HPがいつもお世話になっているHN「カルピス」さんから問題をいただきました。
                                        (令和元年5月5日付け)

問題4 ピタゴラスおじさんの時計は、長針:4cmで短針:3cm。丁度、pm3時にピタッと
    時計が止まってしまいました。これはチャンスと、定規で、長針の先から短針の先ま
    での長さを測ってみたら、なんと5cmではありませんでした。

 あまりにもショックをうけたピタゴラスおじさんは、3時のおやつに用意しておいた 3:4:5
の直角三角柱のチーズケーキを食べられませんでした。

 令和になって、「三平方の定理ビックバン」が起きたのかと、悩んでしまいました。

 ピタゴラスおじさんを助けてあげてください。なんで5cmにならなかったのでしょうか?


 DD++さんからのコメントです。(令和元年5月5日付け)

 ピタゴラスおじさんの時計は、「実物」だったから。

 実際の時計(すなわち絵に書いたものや液晶で動くタイプではない時計)では、短針の回
転面と長針の回転面は同一ではありません。

 その2つの面の間の距離を d [cm] とすれば、長針の先と短針の先の間の距離は、
√(25+d^2) [cm] になります。


(コメント) 確かに、実際の時計では、長針、短針に段差がありますね!

    


 カルピスさんからのコメントです。(令和元年5月5日付け)

 DD++さん、大正解であります(^^)/

 長針と短針は同一平面上で回転しないので、5cmより長くなってしまいます。

ps:液晶のアナログ時計の存在には気づきませんでした。あっ、でもピタゴラスおじさんの時
  代には、液晶時計は、まだ無かったよーな...。


 DD++さんからのコメントです。(令和元年5月5日付け)

 ピタゴラスの時代だと、そもそも短針と長針が別々に回転する時計自体がまだないですね。


 カルピスさんからのコメントです。(令和元年5月6日付け)

 きっと、チーズケーキも無かったですね。


問題5 AB=4の長方形ABCDにおいて、辺BC上にBE=3となる点Eをとり、線分AE上に
    点Fを、面積比が △ABE:△AFD:四角形FECD=3:4:5 となるようにとる。

     このとき、線分EFの長さを求めよ。

    

(解) △ABE=6 なので、 △AFD=8 、四角形FECD=10

  よって、長方形ABCD=24 となり、 BC=6 であることが分かる。

  このとき、△ECD=6 より、 △FED=4 なので、 AF:FE=8:4=2:1

 AE=5 なので、EF=5×1/3=5/3 となる。  (終)


問題6 今、下図のように、3×3 および 4×4 の格子状の正方形がある。

           

 この正方形それぞれを適当に切り分け(線分に沿って切らなくてもよい)、適当に組み合わ
せると、1つの正方形が作られる。どのように分けたらいいのだろうか?

          

(解) 次のように切り分けて一つの正方形が作られる。(類題→正方形を作る(7)

          


(コメント) 直角三角形3・4・5の問題を意識して解答してみました。


 カルピスさんからのコメントです。(令和元年5月8日付け)

 与えられた問題文の抜け道がいろいろあるので、解は無限大。

【抜け道その1】 切り分ける枚数が指定されてないので、3x3、4x4を全てバラバラにすれ
          ば、5x5に収まる。

【抜け道その2】 「曲線」で切ってはいけないと書いてないので、ジグソーパズルのように切
          れば、解は無限に存在する。

#昔、「法律の抜け穴」という本を読んで、凄く面白かったけど、今回は「問題文の隙間を通
 り抜ける」...。


問題7 下図の直角三角形ABCをBを中心として反時計回りに90°回転させる。このとき、
     辺ACが通過した図形の面積を求めよ。

          

(解) 求める図形は、下図の水色の部分である。

    

 よって、 25π/4+6−(9π/4+6)=4π となる。  (終)


問題8 次の図形の周の長さを求めよ。ただし、直角の記号は図形には含まれない。

   

(解) (5+12)+(3+4)+(13−5)=32  (終)


問題9 直角三角形ABCの斜辺AB上に点Pをとったところ、△APCと△PBCの周の長さが
    等しくなった。△APCの面積を求めよ。

   

(解) PB=a とおくと、 3+a=4+(5−a) から、 a=3 なので、

   AP : PB=2 : 3 より、 △APC=6×(2/5)=12/5  (終)



  以下、工事中!


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