いと思う。読者の皆様からもたくさんのご投稿をお待ちしております。
問題１ ＡＢ＝３、ＡＣ＝４、∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣに半円Ｏが内接している。このと
き、半円の直径ＤＥに対して、線分ＥＣの長さを求めよ。
（解） 半円Ｏの半径を ｒ 、ＢＯ＝ｘ とおく。半円Ｏと辺ＡＢの接点をＦとおくと、
△ＢＯＦと△ＢＣＡが相似なので、 ｒ ： ４＝ｘ ： 5 より、 ｘ＝５ｒ/４
△ＢＯＦにおいて、三平方の定理より、 （３−ｒ）2＋ｒ2＝（５ｒ/４）2
これを解いて、 ｒ＝１２/７ 、１２ であるが、題意より、 ｒ＝１２ は不適
よって、 ｒ＝１２/７ より、求める長さは、
ＥＣ＝５−（５ｒ/４＋ｒ）＝５−９ｒ/４＝５−２７/７＝８/７ （終）
Ｓ（Ｈ）さんから別解をいただきました。（平成３１年４月２８日付け）
直線 x/3 + y/4=1 上に円 (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 の中心（ｒ，ｒ）があるので、
ｒ/3 + ｒ/4=1 より、 r=12/7
そこで、ＥＣ＝ｘ とおくと、三平方の定理より、
（ｘ＋12/7）2＝（12/7）2＋（４−12/7）2＝400/49
よって、 ｘ＋12/7＝20/7 より、 ｘ＝8/7
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんの本解では、
(-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49 、x/3+y/4=1 から、（24/35，108/35） を採用し、
Sqrt[({0,4}-{24/35,108/35}).({0,4}-{24/35,108/35})]=8/7
または、
(-(12/7)+x)^2+(-(12/7)+y)^2=144/49 、(x-0)^2+(y-4)^2=K^2 が接するようKを定め、
K=8/7 を採用し、K=32/7 は遺棄する
とのことですが、上記ではより易しい新しい道を模索させていただきました。悪しからずご了
承ください。
問題２ マッチ棒１２本で囲まれた直角三角形ＡＢＣがある。ＡＢ＝３、ＡＣ＝４、∠Ａ＝９０°
である。このとき、マッチ棒を２本追加して、この三角形の面積を２等分してください。
（解） 直角三角形の面積は６なので、次のようにマッチ棒をおけば、それぞれの面積は、
３ずつとなる。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから問題をいただきました。
（令和元年５月２日付け）
問題３ 平面上に、３点A(-2，13)、B(-11，1)、C(5，-11)がある。３辺AB、BC、CAの比
AB：BC：CAを最も簡単な整数で表せ。（令和元年５月２日付け）
らすかるさんから解答をいただきました。（令和元年５月２日付け）
（解） A(-2，13)、B(-11，1)、C(5，-11)をBが原点に一致するように平行移動すると、
A’(9，12)、B’(0，0)、C’(16，-12)
C’を原点B’を中心に90°左回転すると、C”(12，16)となり、B’C”=(4/3)B’A’
よって、 ∠ABC=∠A’B’C’=90°であり、また、B’C”=(4/3)B’A’ から、
B’C’=(4/3)B’A’ なので、 AB：BC=A’B’：B’C’=3：4
よって、 AB：BC：CA=3：4：5
（コメント） 素朴に計算してみました。
AB2＝81+144＝225 、BC2＝256+144＝400 、CA2＝49+576＝625 より、
AB2＋BC2＝CA2 が成り立ち、三平方の定理より、△ABCは、B＝９０°の直角三角形で、
AB：BC：CA＝15：20：25＝3：4：5 である。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「カルピス」さんから問題をいただきました。
（令和元年５月５日付け）
問題４ ピタゴラスおじさんの時計は、長針：４ｃｍで短針：３ｃｍ。丁度、ｐｍ３時にピタッと
時計が止まってしまいました。これはチャンスと、定規で、長針の先から短針の先ま
での長さを測ってみたら、なんと５ｃｍではありませんでした。
あまりにもショックをうけたピタゴラスおじさんは、３時のおやつに用意しておいた ３：４：５
の直角三角柱のチーズケーキを食べられませんでした。
令和になって、「三平方の定理ビックバン」が起きたのかと、悩んでしまいました。
ピタゴラスおじさんを助けてあげてください。なんで５ｃｍにならなかったのでしょうか？
DD++さんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）
ピタゴラスおじさんの時計は、「実物」だったから。
実際の時計（すなわち絵に書いたものや液晶で動くタイプではない時計）では、短針の回
転面と長針の回転面は同一ではありません。
その２つの面の間の距離を d [cm] とすれば、長針の先と短針の先の間の距離は、
√(25+d^2) [cm] になります。
（コメント） 確かに、実際の時計では、長針、短針に段差がありますね！
カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）
DD++さん、大正解であります（＾＾）／
長針と短針は同一平面上で回転しないので、５cmより長くなってしまいます。
ｐｓ：液晶のアナログ時計の存在には気づきませんでした。あっ、でもピタゴラスおじさんの時
代には、液晶時計は、まだ無かったよーな．．．。
DD++さんからのコメントです。（令和元年５月５日付け）
ピタゴラスの時代だと、そもそも短針と長針が別々に回転する時計自体がまだないですね。
カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月６日付け）
きっと、チーズケーキも無かったですね。
問題５ ＡＢ＝４の長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣ上にＢＥ＝３となる点Ｅをとり、線分ＡＥ上に
点Ｆを、面積比が △ＡＢＥ：△ＡＦＤ：四角形ＦＥＣＤ＝３：４：５ となるようにとる。
このとき、線分ＥＦの長さを求めよ。
（解） △ＡＢＥ＝６ なので、 △ＡＦＤ＝８ 、四角形ＦＥＣＤ＝１０
よって、長方形ＡＢＣＤ＝２４ となり、 ＢＣ＝６ であることが分かる。
このとき、△ＥＣＤ＝６ より、 △ＦＥＤ＝４ なので、 ＡＦ：ＦＥ＝８：４＝２：１
ＡＥ＝５ なので、ＥＦ＝５×１/３＝５/３ となる。 （終）
問題６ 今、下図のように、３×３ および ４×４ の格子状の正方形がある。
この正方形それぞれを適当に切り分け（線分に沿って切らなくてもよい）、適当に組み合わ
せると、１つの正方形が作られる。どのように分けたらいいのだろうか？
（解） 次のように切り分けて一つの正方形が作られる。（類題→正方形を作る（７））
（コメント） 直角三角形３・４・５の問題を意識して解答してみました。
カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月８日付け）
与えられた問題文の抜け道がいろいろあるので、解は無限大。
【抜け道その１】 切り分ける枚数が指定されてないので、３ｘ３、４ｘ４を全てバラバラにすれ
ば、５ｘ５に収まる。
【抜け道その２】 「曲線」で切ってはいけないと書いてないので、ジグソーパズルのように切
れば、解は無限に存在する。
＃昔、「法律の抜け穴」という本を読んで、凄く面白かったけど、今回は「問題文の隙間を通
り抜ける」．．．。
問題７ 下図の直角三角形ABCをＢを中心として反時計回りに９０°回転させる。このとき、
辺ACが通過した図形の面積を求めよ。
（解） 求める図形は、下図の水色の部分である。
よって、 ２５π/４＋６−（９π/４＋６）＝４π となる。 （終）
問題８ 次の図形の周の長さを求めよ。ただし、直角の記号は図形には含まれない。
（解） （５＋１２）＋（３＋４）＋（１３−５）＝３２ （終）
問題９ 直角三角形ABCの斜辺ＡＢ上に点Ｐをとったところ、△ＡＰＣと△ＰＢＣの周の長さが
等しくなった。△ＡＰＣの面積を求めよ。
（解） ＰＢ＝ａ とおくと、 ３＋ａ＝４＋（５−ａ） から、 ａ＝３ なので、
ＡＰ ： ＰＢ＝２ ： ３ より、 △ＡＰＣ＝６×（２/５）＝１２/５ （終）
（追記） 令和５年１月１３日付け
３・４・５の直角三角形がある。内角の大きさは、３６．８７°、５３．１３°、９０°である。
この直角三角形と合同な三角形を何枚か貼り合わせて、凸ｎ角形を作りたい。裏返しや
回転も可として、どこまで作れるだろうか？
下図のように、四角形、五角形、六角形までは何とか作れた。七角形は作れるだろうか？
