らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月２７日付け）
点(2,1)を通る傾き3の直線は、y=3x-5
f(x)=(2x^3-12x^2+2x+29)-(3x-5)=2x^3-12x^2-x+34=(x-2){2(x-2)^2-25}
なので、x軸方向に-2平行移動すると、 f(x+2)=x(2x^2-25)=2x^3-25x
これは奇関数なので、2x^3-25x の正の解をαとして、-2∫[0〜α](2x^3-25x)dx を求めれ
ばよい。
-2∫[0〜α](2x^3-25x)dx=-[x^4-25x^2][0〜α]=-(25/2)^2+25(25/2)=625/4 （∵α^2=25/2）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年１月２８日付け）
一般に、３次曲線は変曲点において点対称をとることに偶然気付いて、ではということで、
出題していました。（→ 参考：「変曲点の性質」）
f(x)=2x^3-12x^2+2x+29 より、f'(x)=6x^2-24x+2 で、f"(x)=12x-24=0 から点(2,1)は変曲点
となる。（対称点でもある）
そこで、f も直線 y=3x-5 も x 軸方向へ -2、ｙ軸方向へ -1 平方移動させると、
y=2x^3-22x 、y=3x
となり、らすかるさんの解法に結び付く。
そこで、第２問です。
y=x^4+2x^3-12x^2-12x+24 と y=x+2 が囲む部分の面積を手計算で行うと？
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月２８日付け）
f(x)=(x^4+2x^3-12x^2-12x+24)-(x+2)=x^4+2x^3-12x^2-13x+22=(x-1)(x+2)(x^2+x-11)
から、f(1)=f(-2)=0 なので、試しに（f(x)をx軸方向に1/2平行移動した）f(x-1/2)を求めると、
f(x-1/2)={(x-1/2)-1}{(x-1/2)+2}{(x-1/2)^2+(x-1/2)-11}
={(2x-1)-2}{(2x-1)+4}{(2x-1)^2+(4x-2)-44}/16
=(2x-3)(2x+3)(4x^2-45)/16=(4x^2-9)(4x^2-45)/16=(16x^4-216x^2+405)/16
と、たまたま偶関数になり、f(x-1/2)=0の解はx=±3/2,±3√5/2 なので、求める面積は、
2{∫[0〜3/2]f(x-1/2)dx-∫[3/2〜3√5/2]f(x-1/2)dx}
=(1/8){∫[0〜3/2](16x^4-216x^2+405)dx-∫[3/2〜3√5/2](16x^4-216x^2+405)dx}
=(1/8){[16x^5/5-72x^3+405x][0〜3/2]-[16x^5/5-72x^3+405x][3/2〜3√5/2]}
=(1/40){[16x^5-360x^3+2025x][0〜3/2]-[16x^5-360x^3+2025x][3/2〜3√5/2]}
=(1/40){[x(4x^2-45)^2][0〜3/2]-[x(4x^2-45)^2][3/2〜3√5/2]}
=2(1/40)(3/2)(-36)^2 （∵x=3/2のとき4x^2-9=-36、x=3√5/2のとき4x^2-45=0）
=486/5
