逆ピタゴラスの定理なるものがあることを知った。
逆ピタゴラスの定理
直角を挟む２辺の長さを ａ、ｂ とし、直角の頂点から斜辺に下ろした垂線の長さを ｈ とす
ると、
１/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2
が成り立つ。
証明は易しい。
（証） 三平方の定理より、 ａ2＋ｂ2＝ｃ2
また、△ＡＢＣの面積について、 ｃｈ/２＝ａｂ/２ より、 ｃ＝ａｂ/ｈ
よって、 ａ2＋ｂ2＝ａ2ｂ2/ｈ2
両辺をａ2ｂ2で割って、 １/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2 を得る。 （証終）
例 ａ＝４、ｂ＝３ のとき、１/ｈ2＝１/ａ2＋１/ｂ2＝１/１６＋１/９＝２５/（１６・９） より、
ｈ＝１２/５ が直ぐ求められる。
ＨＮ「JA1NKA」さんからのコメントです。（平成３０年１０月２６日付け）
「逆ピタゴラスの定理」を興味深く拝見しました。『 １/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2が成り立つ。』とい
うことは、「ピタゴラスの定理の逆」から、『1/a、1/b、1/h を三辺とする三角形は直角三角形』
ということですよね。
「逆ピタゴラスの定理」は、直角三角形ABCの『双対』な直角三角形に対するピタゴラスの
定理ではなかろうか。
すなわち、辺AB⇔点γ、辺BC⇔点α、辺CA⇔点βと対応させれば、反変ベクトル空間で
の直角三角形ABC、その双対図形は共変ベクトル空間での直角三角形αβγとなる、とい
うことではないでしょうか。
γ=∠Rとし、辺の長さは法線の長さの逆数で、
点A⇔辺βγ(=1/b) 、点B⇔辺γα(=1/a) 、点C⇔辺αβ(=1/h:斜辺となる)
です。物理的には、「実格子ベクトル空間」に対し、「逆格子ベクトル空間」で考える、というこ
とになると思います。
（コメント） 「逆ピタゴラスの定理」にJA1NKAさんと同じような感覚を感じていました。明確な
視座をいただき、ありがとうございます。
Ｓ（Ｈ）さんから座標幾何の視座をいただきました。（平成３０年１０月２７日付け）
上記の話題は、座標幾何に翻訳すると一般化への道が開かれる。
例１ 直線の方程式 ｘ/ａ＋ｙ/ｂ＝１ のｘ切片 ａ 、ｙ切片 ｂ から、２点Ａ（a，０）、Ｂ（０，ｂ）およ
び原点Ｏ（０，０）の直角三角形ＯＡＢにおいて、原点Ｏと直線との距離ｈは、
ｈ＝１/√（１/ａ2＋１/ｂ2） なので、 １/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2 が成り立つ。
例２ 平面の方程式 ｘ/ａ＋ｙ/ｂ＋ｚ/ｃ＝１ のｘ切片 ａ 、ｙ切片 ｂ 、ｚ切片 ｃ から３点Ａ（a，０，０）、
Ｂ（０，ｂ，０）、Ｃ（０，０，ｃ）および原点Ｏ（０，０，０）の三角錐Ｏ-ＡＢＣにおいて、原点Ｏと平
面との距離ｈは、
ｈ＝１/√（１/ａ2＋１/ｂ2＋１/ｃ2） なので、 １/ａ2＋１/ｂ2＋１/ｃ2＝１/ｈ2 が成り立つ。
Ｓ（Ｈ）さんからの情報によれば、上記の問題は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学
研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題らしい。（平成３０年１０月２７日付け）
ＨＮ「JA1NKA」さんからのコメントです。（平成３０年１２月７日付け）
上記の例１で、
ｈ＝１/√（１/ａ2＋１/ｂ2） なので、 １/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2 が成り立つ。
では、証明の方向が逆のような気がします。
命題 直線L：αx＋βy＋γ＝０ と、この直線上にない点C(ｐ，ｑ)との距離ｈは、
ｈ＝|αｐ＋βｑ＋γ|／√（α2＋β2）
を使って、ｈを求めたのだと思われますが、この成立を証明する（求める）には、距離を求め
るので、ピタゴラスの定理を使っているように思われます。
そこで、逆ピタゴラスの定理を使って、命題を証明する方向とします。
つまり、
直角三角形ABCでピタゴラス(三平方)の定理：ａ2＋ｂ2＝ｃ2 が成立
⇒（この双対図形を考えれば）逆ピタゴラスの定理：１/ａ2＋１/ｂ2＝１/ｈ2 … (1) が成立
⇒ 命題成立。
O-xy座標系で、直線L(線分AB)と点C(ｐ，ｑ)。L：f(x，y)≡αx＋βy＋γ＝０ … (2) と置
く。CはL上にないので、f(ｐ，ｑ)≠０。
原点を C＝O’に平行移動し、O’-XY座標系。∠C=∠Rとする直角三角形ABCで、
C：原点O’、CA：X軸、CB：Y軸。X切片：a, Y切片：b として、直線L’（線分AB）は、
X/a＋Y/b＝１ … (3) と表される。（三角形ができるので、a≠０ かつ b≠０）
(2)に、ｘ＝X＋ｐ、y＝Y＋ｑ を代入し、(2) ⇒ L’：αX＋βy＋f(ｐ，ｑ)＝０ … (2)’
I) α≠０ かつ β≠０ の場合
(2)’を(3)の形に式変形し、-X/{f(ｐ，ｑ)/α}−Y/{f(ｐ，ｑ)/β }＝１ … (3)’
(3)と(3)’から、 a＝−f(ｐ，ｑ)/α、b＝−f(ｐ，ｑ)/β … (4)
この|a|、|b|で(1)が成立するから、 １/ｈ2 ＝(α2＋β2)/ {f(ｐ，ｑ)}2
よって、 ｈ＝|αｐ＋βｑ＋γ|／√（α2＋β2） … (5) が成立
II) αとβの一方が０の場合（両方0はない、意味なし。）
α＝０、β≠０ としても一般性を失わない。α⇔β、X⇔Yと入れ替えればよい。
このとき、(2)より、 y＝−γ/β、h＝| ｑ−y|＝|(βｑ＋γ)/β| で、(5)に含まれる。
簡単に、導かれる。
なお、Hesseの標準形も、法線ベクトルを考える。法線ベクトルは直線Lに対しその向きは
一意、位置ベクトルとすれば、その終点が直線Lに対するする双対な点。双対空間（実格子
ベクトル空間に対し逆格子ベクトル空間）で考えることになる。
