の値を
のように求めるとき、何となくスカッとする気分になるのは私だけだろうか。
同じような感覚が味わえる問題がある。
問題 ａn＝ｔａｎ３ｎ°（ｎ＝０、１、２、・・・、２０） のとき、
の値を求めよ。
この問題を、次のように解いてみると気分爽快になること間違いなしである。
（解）
より、
よって、求める値は、
（終）問題 次の値を求めよ。
（１＋２3＋４3）（１＋２9＋４9）（１＋２27＋４27）（１＋２81＋４81）/（１−２243）
（解） （１＋２81＋４81）/（１−２243）＝１/（１−２81）
（１＋２27＋４27）/（１−２81）＝１/（１−２27）
（１＋２9＋４9）/（１−２27）＝１/（１−２9）
（１＋２3＋４3）/（１−２9）＝１/（１−２3）
より、 与式＝−１/７ （終）
問題 次の値を求めよ。
（１−４/９）（１−４/１６）（１−４/２５）・・・（１−４/ｎ2）
（解）
与式
＝｛（３−２）（３＋２）/３2｝｛（４−２）（４＋２）/４2｝｛（５−２）（５＋２）/５2｝・・・｛（ｎ−２）（ｎ＋２）/ｎ2｝
＝（ｎ−２）！・（１/１２）・（２！/ｎ！）・（ｎ＋１）（ｎ＋２）
＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）/｛６ｎ（ｎ−１）｝ （終）
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１２月１４日付け）
数学感動秘話「上手い計算２」も合わせてどうぞ。
次の問題も「スカッとジャパン」相当かな？
問題 次の値を求めよ。
（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｎ−１）（ｎ＋ｎ）/｛１・３・５・・・・・（２ｎ−１）｝
（解） いくつか実験してみると、
３・４/（１・３）＝４＝２2
４・５・６/（１・３・５）＝８＝２3
５・６・７・８/（１・３・５・７）＝１６＝２4
以上から、
（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｎ−１）（ｎ＋ｎ）/｛１・３・５・・・・・（２ｎ−１）｝＝２n
であることが類推される。この類推が正しいことを数学的帰納法により示す。
ｎ＝１のとき、 左辺＝２/１＝２ 、右辺＝２1＝２ で、左辺＝右辺
よって、ｎ＝１のとき命題は成り立つ。
ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。すなわち、
（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（ｋ＋ｋ−１）（ｋ＋ｋ）/｛１・３・５・・・・・（２ｋ−１）｝＝２ｋ
ｎ＝ｋ＋１ のとき、
Ｍ＝（ｋ＋２）・・・（ｋ＋１＋ｋ−２）（ｋ＋１＋ｋ−１）（ｋ＋１＋ｋ）（ｋ＋１＋ｋ＋１）
/｛１・３・５・・・・・（２ｋ−１）（２ｋ＋１）｝
に帰納法の仮定を代入して、
Ｍ＝｛２ｋ/（Ｋ＋１）｝・（ｋ＋１＋ｋ）（ｋ＋１＋ｋ＋１）/（２ｋ＋１）＝２ｋ+1
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも命題は成り立つ。
したがって、すべての自然数ｎに対して、
（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｎ−１）（ｎ＋ｎ）/｛１・３・５・・・・・（２ｎ−１）｝＝２n
が成り立つ。
（コメント） 数学的帰納法って、あまり「スカッとジャパン」じゃないかな？直接的な証明で、
もっと「スカッとジャパン」な解を募集中です！
ＰＢさんからのコメントです。（平成３０年１２月１９日付け）
お久しぶりです。上記の問題ですが、
（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｎ−１）（ｎ＋ｎ）/｛１・３・５・・・・・（２ｎ−１）｝
＝［｛１・２・３・・・２ｎ｝/｛１・２・３・・・ｎ｝］・［｛２・４・８・・・２ｎ｝/｛１・２・３・・・（２ｎ−１）・２ｎ｝］
＝｛（２ｎ）！/ｎ！｝・｛（２n・ｎ！）/（２ｎ）！｝
＝２n
となりますよね．
（コメント） なるほど！こうすれば「スカッとジャパン」ですね。ＰＢさんに感謝します。
ｔｅｔｓｕさんからのコメントです。（平成３０年１２月１９日付け）
(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+n-1)(n+n)＝(2n)!/n!
また、 1・3・5・・・(2n-1)＝1・2・3・・・2n/(2・4・6・・・2n)＝(2n)!/(2^n・n!)
したがって、
(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+n-1)(n+n)/{1・3・5・・・(2n-1)}＝(2n)!/n!÷{(2n)!/(2^n・n!)}＝2^n
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１２月１９日付け）
(n+1)(n+2)･･･(n+n-1)(n+n)/{1･3･5･････(2n-1)}
A[1]、A[2]、A[3]、…、A[n]、B[1]、B[2]、B[3]、…、B[n]の２ｎ個の変数に、１〜２ｎの異なる
自然数をあてはめることを考える。
A[1]＜A[2]＜A[3]＜…＜A[n]を満たすようにあてはめる場合の数は、B[1]〜B[n]にあては
めるn個を決めてから残りのn個を小さい順にA[1]〜A[n]に入れればよいので分子に等しい。
A[1]＜A[2]＜A[3]＜…＜A[n] かつ、A[1]＜B[1]、A[2]＜B[2]、A[3]＜B[3]、…、A[n]＜B[n]
を満たすようにあてはめる場合の数は、A[1]=1として、B[1]が、2n-1通り、A[2]が残りの数で
最小のもの、B[2]が2n-3通り、A[3]が残りの数で最小のもの、B[3]が2n-5通り、・・・ となる
ので、分母に等しい。
前者は、A[k]＞B[k]（1≦k≦n）の場合も含み、各kに対して、場合の数が2倍となるので、
分子は分母の2^n倍、従って(与式)=2^n
（コメント） らすかるさんの解法は斬新ですね！勉強になります。
DD++さんからのコメントです。（平成３０年１２月１９日付け）
最初に思いついたのが、ＰＢさん、tetsu さんに書かれてしまったので別の方法で。
n+1 から 2n までの n 個の自然数を全て 2^k*奇数（kは0以上の整数）という形に書いたと
き、この奇数部分には 1 から 2n-1 までの n 個の奇数が1回ずつ出現する。
なぜなら、この表記で同じ奇数を用いるような2つの数は、それらの比が2倍以上でなけれ
ばならないからである。
したがって、約分すれば、この式の値は２の累乗数であり、分子が因数に２をいくつもつか
を考えればよい。
(2n)! が因数に２をいくつ持つか考えると、偶数だけに注目すれば、ｎ! よりちょうど n 個多
いことは明らか。つまり、この式の分子は因数に２をちょうどｎ個持つ。
よって、この式の値は、２^n である。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１２月２０日付け）
もう少し簡単な考え方がありました。
１〜２ｎの数字が書かれたボールが1個ずつあり、２個ずつｎ組のペアを作ることを考える。
２ｎ個から２個選び、残り２ｎ−２個から２個選び、残り２ｎ−４個から２個選び、・・・ のよう
に考えて場合の数を求めると、ｎ組の順番の分重複するので、
2nC2・2n-2C2・2n-4C2・…・2C2/n!
=(2n)(2n-1)・・・(n+2)(n+1)・ｎ（ｎ-1)・・・2・1/（n!・2n)
=(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/2n （通り）
1とペアにするものは、2n-1通り、残りのうち最小のものとペアにするものは、2n-3通り、そ
の残りのうち最小のものとペアにするものは、2n-5通り、・・・ のように考えて、場合の数を求
めると、
(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・3・1 （通り）
従って、 (n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/2n=1・3・5・…・(2n-3)・(2n-1) なので、
(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/{1・3・5・…・(2n-3)・(2n-1)}=2n
（コメント） 等式の意味が鮮やかに説明されていて感動しました！らすかるさんに感謝します。
スモークマンさんからのコメントです。（平成３０年１２月２２日付け）
友人Tさんからのものです。(スカッとしてますよね ^^)
n=k のときと n=k+1 のときを比べると、分子は、「k+1」がなくなり、「(k+k+1)(k+k+2)」が追加
される。分母は、「(2k+1)」が追加される。
結局、分数の値は、 ((2k+1)(2k+2)/(k+1))/(2k+1)=2(倍) となることがわかる。
n=1のとき、式は、(1+1)/1=2 なので、一般の自然数 n に対して、 (与式)=2^n
（コメント） なるほど！納得です．．．。
次は、国際算数数学能力検定（準１級）の問題である。（平成３１年２月１５日付け）
問題 Σn=1∞ ｎ/（ｎ＋１）！の値を求めよ。
（解） １/１−１/１・２＝１/１・２
１/１・２−１/１・２・３＝２/１・２・３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１/１・２・・・・ｎ−１/１・２・・・・（ｎ＋１）＝ｎ/１・２・・・・（ｎ＋１）
よって、辺々加えて、 与式＝１−１/（ｎ＋１）！
より、 Σn=1∞ ｎ/（ｎ＋１）！＝１
（コメント） これも美しい消え方ですね！
