調非減少関数とは、１≦ｋ≦ｍ−１を満たすすべての自然数ｋに対して、Ｆ（ｋ）≦Ｆ（ｋ＋１）
が成り立つときをいう。
例 Ｆ（ｘ）＝ｘ が単調非減少関数であることは自明だろう。
この単調非減少関数の個数は、通常、重複組合せの定番の問題として、
ｎＨｍ＝ｎ＋ｍ−１Ｃｍ （異なるｎ個のものから重複を許してｍ個とる組合せ）
で求められることはよく知られていることと思う。
最近、この問いに対して、次のような考え方もあることを知った。
集合Ａ＝｛１，２，・・・，ｍ｝から集合Ｃ＝｛１，２，・・・，ｍ＋ｎ−１｝（ｍ、ｎは自然数）への関
数Ｇを、
Ｇ（ｋ）＝Ｆ（ｋ）＋ｋ−１ （各ｋに対するＦ（ｋ）の値に下駄を履かせる！）
と定義すると、Ｆ（ｘ）が単調非減少関数であれば、Ｇ（ｘ）は単調増加関数となり、逆もまた真
となる。
実際に、Ｇ（ｘ）が単調増加関数とすると、１≦ｋ≦ｍ−１を満たすすべての自然数ｋに対し
て、
Ｇ（ｋ）＜Ｇ（ｋ＋１） すなわち、 Ｆ（ｋ）＋ｋ−１＜Ｆ（ｋ＋１）＋ｋ より、
Ｆ（ｋ）＜Ｆ（ｋ＋１）＋１ すなわち、 Ｆ（ｋ）≦Ｆ（ｋ＋１） となり、
Ｆ（ｘ）は単調非減少関数となる。
よって、求める個数は、集合Ａ＝｛１，２，・・・，ｍ｝から集合Ｃ＝｛１，２，・・・，ｍ＋ｎ−１｝
への単調増加関数の個数に等しく、その個数は、
ｎ＋ｍ−１Ｃｍ（個）
となる。（通常の組合せの計算となる！）
この個数計算は、次のように漸化式を作って求めることも可能である。（若干煩雑かな？）
単調増加となる関数Ｇ：Ａ＝｛１，２，・・・，ｍ｝→Ｃ＝｛１，２，・・・，ｍ＋ｎ−１｝の個数を、
ａ1（ｍ，ｍ＋ｎ−１）
とおく。 ｍ＝１のとき、 ａ1（１，ｎ）＝ｎ である。
ｍ≧２ とし、Ｇ（ｍ）＝ｐ であるとすると、Ｇ（１）＜Ｇ（２）＜・・・＜Ｇ（ｍ−１）は、
１＜２＜・・・＜ｐ−１
に値を取るので、数学的帰納法により、
ａ1（ｍ，ｍ＋ｎ−１）＝Σｐ＝ｍｍ＋ｎ−１ａ1（ｍ−１，ｐ−１）＝Σｐ＝ｍｍ＋ｎ−１ｐ−１Ｃｍ−１
＝ｍ−１Ｃｍ−１＋ｍＣｍ−１＋・・・＋ｍ＋ｎ−２Ｃｍ−１＝ｎ＋ｍ−１Ｃｍ
上記の計算では、「２項係数の性質」の（１１）の公式が用いられている。
ｎＣｎ＋ｎ+1Ｃｎ＋ｎ+2Ｃｎ＋・・・＋ｎ+ｍＣｎ＝ｎ+ｍ+1Ｃｎ+1
