山登り法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　問題解決法として普段行っていることを整理してみよう。

１．（分類法）　問題を、より簡単な場合に分けて示す方法

例　題　連続する２整数の積は２の倍数であることを示せ。

（解）　整数 ｎ に対して、連続する２整数の積は、　ｎ（ｎ＋１）

（１）　ｎ＝２ｋ　（ｋは整数）のとき、

　　ｎ（ｎ＋１）＝２・ｋ（２ｋ＋１）　は２の倍数である。

（２）　ｎ＝２ｋ＋１　（ｋは整数）のとき、

　　ｎ（ｎ＋１）＝２・（ｋ＋１）（２ｋ＋１）　は２の倍数である。　　（終）

　単に、整数 ｎ では雲を掴むような感じだが、ｎ の偶奇や３で割った余り、・・・で分類するこ
とによって問題を考えやすくすることは問題解決の基本だろう。

２．（山登り法）　問題を、簡単な場合から段階を追って示す方法

例　題　全ての有理数 ｘ 、ｙ に対して、Ｆ(ｘ＋ｙ)＝Ｆ(ｘ)＋Ｆ(ｙ) を満たすとき、関数 Ｆ(ｘ) は、
　　　　Ｆ(ｘ)＝ｘＦ(１)　と書けることを示せ。

（解）　まず、（１）　ｘ が正の整数のとき、

　Ｆ(２)＝Ｆ(１＋１)＝Ｆ(１)＋Ｆ(１)＝２Ｆ(１)

　Ｆ(３)＝Ｆ(２＋１)＝Ｆ(２)＋Ｆ(１)＝２Ｆ(１)＋Ｆ(１)＝３Ｆ(１)

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

より、一般に、正の整数 ｘ に対して、Ｆ(ｘ)＝ｘＦ(１)　が成り立つ。
（厳密には数学的帰納法を用いる）

（２）　ｘ ＝０　のとき、　Ｆ(０＋０)＝Ｆ(０)＋Ｆ(０) より、Ｆ(０)＝０ である。

（３）　ｘ が負の整数のとき、

　F(０)＝Ｆ(ｘ＋(−ｘ))＝Ｆ(ｘ)＋Ｆ(−ｘ)＝０　より、　Ｆ(ｘ)＝−Ｆ(−ｘ)

このとき、−ｘ は、正の整数なので、　Ｆ(−ｘ)＝−ｘＦ(１)　が成り立つ。

　よって、　Ｆ(ｘ)＝−Ｆ(−ｘ)＝−｛−ｘＦ(１)｝＝ｘＦ(１)　が成り立つ。

（４）　ｘ が単位分数 １/ｎ （ｎ は０以外の正の整数）のとき、

　Ｆ(１)＝Ｆ(１/２＋１/２)＝Ｆ(１/２)＋Ｆ(１/２)＝２Ｆ(１/２) より、　Ｆ(１/２)＝(１/２)Ｆ(１)

　同様にして、

　Ｆ(１)＝Ｆ(１/３＋１/３＋１/３)＝Ｆ(１/３）＋Ｆ(１/３）＋Ｆ(１/３）＝３Ｆ(１/３) より、

　Ｆ(１/３)＝(１/３)Ｆ(１)

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

一般に、単位分数 １/ｎ （ｎ は０以外の正の整数） に対して、

　Ｆ(１/ｎ)＝(１/ｎ)Ｆ(１)　が成り立つ。

（５）　ｘ が単位分数 −１/ｎ （ｎ は０以外の正の整数）のとき、

　F(０)＝Ｆ(1/ｎ＋（−1/ｎ)）＝Ｆ(1/ｎ）＋Ｆ（−1/ｎ)＝０　より、

　Ｆ（−1/ｎ)＝−Ｆ(1/ｎ）＝（−１/ｎ)Ｆ(１)

（６）　ｘ が正の有理数 ｍ/ｎ （ｍ、ｎ は正の整数）のとき、

　Ｆ(ｍ/ｎ)＝ｍＦ(1/n)＝(ｍ/ｎ)Ｆ(１)　が成り立つ。

（７）　ｘ が負の有理数 −ｍ/ｎ （ｍ、ｎ は正の整数）のとき、

　F(０)＝Ｆ(ｍ/ｎ＋（−ｍ/ｎ)）＝Ｆ(ｍ/ｎ）＋Ｆ（−ｍ/ｎ)＝０　より、

　Ｆ（−ｍ/ｎ)＝−Ｆ(ｍ1/ｎ）＝（−ｍ/ｎ)Ｆ(１)

以上から、全ての有理数 ｘ に対して、　Ｆ(ｘ)＝ｘＦ(１)　が成り立つ。　　（終）



　　以下、工事中！