大圏航路は、英訳すると、ｇｒｅａｔ−ｃｉｒｃｌｅ ｃｏｕｒｓｅ と書かれるように、地球を球面と見
なし、球の中心を通る平面と球面の交線（大円）上を辿る航路である。他の制約条件（燃料
補給の空港の確保、偏西風を利用する航路など）を除けば、純粋に最短経路であると言え
る。
この大圏航路に関する話題が、平成２０年度入試 京都大学 理系・乙 にて問われた。
地球上の北緯60°東経135°の地点をＡ、北緯60°東経75°の地点をＢとする。
ＡからＢに向かう２種類の飛行経路Ｒ1、Ｒ2を考える。Ｒ1は西に向かって同一緯度で
飛ぶ航路とする。Ｒ2は地球の大円に沿った経路のうち飛行経路の短い方とする。Ｒ1
に比べて、Ｒ2は飛行距離が３％以上短くなることを示せ。ただし、地球は完全な球体
とし、飛行機は高度０を飛ぶものとする。
（解） 地球の半径を Ｒ とする。地球と、赤道面に平行な平面との切り口で、２点 Ａ、Ｂ を通
る円の半径は、 Ｒ・ｃｏｓ60°＝Ｒ/２ である。ここで、 135°−75°＝60°は、π/３
ラジアンであるので、 Ｒ1＝（Ｒ/２）×π/３＝πＲ/６ となる。
また、 ＡＢ＝２×（Ｒ/２）×ｓｉｎ30°＝Ｒ/２ である。
地球の中心を Ｏ とし、 ∠ＡＯＢ＝θ とおくと、余弦定理により、
（Ｒ/２）2＝Ｒ2＋Ｒ2−２Ｒ・Ｒ・ｃｏｓθ
よって、 ｃｏｓθ＝７/８ となるθを用いて、 Ｒ2＝Ｒ・θ と書ける。
題意を示すためには、 Ｒ2＝Ｒ・θ≦（πＲ/６）×０．９７ であることを言えばよい。
ここで、 （π/６）×０．９７＝３０°×０．９７＝２９．１°である。
ところで、 ｃｏｓθ＝７/８＝０．８７５ で、三角比の表より、 ｃｏｓ29°＝０．８７４６ な
ので、 θ＜２９°であることが分かる。
以上から、 Ｒ2＝Ｒ・θ≦（πＲ/６）×０．９７ が成り立つので、Ｒ1 に比べて、Ｒ2 は
飛行距離が３％以上短くなる。 （終）
（コメント） このような「評価」の問題は、受験生泣かせですよね！上記の解答も、後半部分
が何となくしっくりこないような．．．雰囲気。しっくりくるためには、ガチガチに評価
式を操るしかないです。次のように計算するといいのかな？
ｃｏｓθ＝７/８＝０．８７５ で、三角比の表より、
ｃｏｓ29.0°＝０．８７４６ 、 ｃｏｓ28.5°＝０．８７８８
なので、 ２８．５°＜θ＜２９．０° となる。弧度法で表すと、
（２８．５）×（π/１８０）＜θ＜２９．０×（π/１８０）
したがって、
Ｒ2/Ｒ1＝（Ｒ・θ）/（πＲ/６）＝６θ/π＜（６/π）・２９×（π/１８０）＝２９/３０
ここで、 ２９/３０＝０．９６６６ ・・・・ なので、確かに、Ｒ1 に比べて、Ｒ2 は飛行距離が
３％以上短くなることが分かる。
ところで、京都大学の問題設定「北緯60°」は、あまりに北すぎて、日本という感じがない
ところが惜しいところである。因みに北緯60°の有名都市といえば、ノルウェイのオスロに
なるのだが．．．。
東京はだいたい北緯35°東経140°に位置するので、京都大学の問題を次のように変形
してみよう。
地球上の北緯35°東経140°の地点をＡ、北緯35°東経50°の地点をＢとする。
ＡからＢに向かう２種類の飛行経路Ｒ1、Ｒ2を考える。Ｒ1は西に向かって同一緯度で
飛ぶ航路とする。Ｒ2は地球の大円に沿った経路のうち飛行経路の短い方とする。
このとき、Ｒ1に比べて、Ｒ2の飛行距離は何％以上短くなるかを求めよ。
ただし、地球は完全な球体とし、飛行機は高度０を飛ぶものとする。
因みに、北緯35°東経50°に位置する有名都市はイランの首都テヘランである。
（テヘランというともっと南にあるかと思いきや、意外にも東京と同緯度なんですね！）
解法は、京都大学の場合と同様である。
（解） 地球の半径を Ｒ とする。地球と、赤道面に平行な平面との切り口で、２点 Ａ、Ｂ を通
る円の半径は、 Ｒ・ｃｏｓ35°である。ここで、 140°−50°＝90°は、π/２ ラジアンで
あるので、 Ｒ1＝（Ｒ・ｃｏｓ35°）×π/２＝πＲ・ｃｏｓ35°/２ となる。
また、 ＡＢ＝２×（Ｒ・ｃｏｓ35°）×ｓｉｎ45°＝
Ｒ・ｃｏｓ35°である。地球の中心を Ｏ とし、 ∠ＡＯＢ＝θ とおくと、余弦定理により、
（
Ｒ・ｃｏｓ35°）2＝Ｒ2＋Ｒ2−２Ｒ・Ｒ・ｃｏｓθよって、 ｃｏｓθ＝１−ｃｏｓ235°となるθを用いて、 Ｒ2＝Ｒ・θ と書ける。
ここで、 ｃｏｓθ＝１−ｃｏｓ235°＝ｓｉｎ235°＝（１−ｃｏｓ70°）/２ で、
ｃｏｓ70°＝０．３４２０ より、 ｃｏｓθ＝０．３２９０ となる。
三角比の表より、
ｃｏｓ71.0°＝０．３２５６ 、 ｃｏｓ70.5°＝０．３３３８
なので、 ７０．５°＜θ＜７１．０° となる。弧度法で表すと、
（７０．５）×（π/１８０）＜θ＜７１．０×（π/１８０）
したがって、
Ｒ2/Ｒ1＝（Ｒ・θ）/（πＲ・ｃｏｓ35°/２）＝（２θ/π）・（１/ｃｏｓ35°）
三角比の表より、 ｃｏｓ35°＝０．８１９２ なので、
Ｒ2/Ｒ1＜（２/π）・７１×（π/１８０）×（１/ｃｏｓ35°）＝７１/（９０×０．８１９２）
よって、 Ｒ2/Ｒ1＜０．９６２９９９ ・・・
このことから、 Ｒ1 に比べて、Ｒ2 は飛行距離が、３．７％以上短くなることが分かる。
（コメント） 京都大学の場面設定に比べて赤道に近いので、それほどの違いはないだろう
と予想したのですが、結構違うものですね！大圏航路の問題は、三角比の知識
をいろいろ用いるので、応用問題として最適ですね。入試問題として出題された
京都大学に敬意を表します。