極限の応用　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　大学入試では、極限の応用問題が頻出である。今までまとまったページがなかったので、
ここで一念発起し、新しいページを起こしてまとめていきたい。

　次の東北大学　後期理系（１９９０）の問題も手頃な極限の問題である。

問題　　ｎを自然数とし、ｘｙ平面上に(n + 1)個の点P₀＝(０，０)、P₁＝(１，０)、Ｐ₂、・・・、Ｐ_ｎ
　　をとる。点Ｐ₂、・・・、Ｐ_ｎを
　（�@）　線分Ｐ_j-1Ｐ_j (１≦ｊ≦ｎ）の長さは１。
　（�A）　線分Ｐ_j-2Ｐ_j-1と線分Ｐ_j-1Ｐ_jとは互いに直交する。(２≦ｊ≦ｎ)
という条件のもとで動かし、このとき得られる線分Ｐ₀Ｐ_nの長さの最大値をL_nで表す。
（１）　L_nを求めよ。
（２）　極限値　ｌｉｍ_m→∞ （L_2m+1−L_2m）を求めよ。

（解）（１）　ｎ＝２ｍ のとき、L_n²＝L_2m²＝２ｍ²＝ｎ²/２　より、　L_n＝ｎ/

　ｎ＝２ｍ＋１ のとき、

　L_n²＝L_2m+1²＝（ｍ＋１）²＋ｍ²＝２ｍ²＋２ｍ＋１＝２｛（ｎ−１）/２｝²＋ｎ＝（ｎ²＋１）/２

より、　L_n＝√（（ｎ²＋１）/２）

（２）　L_2m+1−L_2m＝√（２ｍ²＋２ｍ＋１）−√（２ｍ²）

＝（２ｍ＋１）/（√（２ｍ²＋２ｍ＋１）＋√（２ｍ²））

＝（２＋１/ｍ）/（√（２＋２/ｍ＋１/ｍ²）＋）

よって、　ｌｉｍ_m→∞ （L_2m+1−L_2m）＝１/　　（終）


（追記）　令和７年４月１２日付け

　次の東北大学　後期理系（１９９１）の問題も手頃な極限の問題である。

問題　　ａ を正の実数とし、ｎを正の整数とする。

（１）　ｎａ/πを越えない最大の整数をｍとするとき、２ｍ≦∫₀^na ｜ｓｉｎ ｘ｜ｄｘ＜２（ｍ＋１）
　　が成り立つことを示せ。
（２）　ｌｉｍ_n→∞ ∫₀^a ｜ｓｉｎ ｎｘ｜ｄｘ　を求めよ。

（解）（１）　∫₀^π ｜ｓｉｎ ｘ｜ｄｘ＝∫₀^π ｓｉｎ ｘ ｄｘ＝[−ｃｏｓ ｘ]₀^π＝２

　∫_π^2π ｜ｓｉｎ ｘ｜ｄｘ＝−∫_π^2π ｓｉｎ ｘ ｄｘ＝[ｃｏｓ ｘ]_π^2π＝２

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

また、ｍの定義より、　ｍ≦ｎａ/π＜ｍ＋１　すなわち、　ｍπ≦ｎａ＜（ｍ＋１）π　なので、

　２ｍ≦∫₀^na ｜ｓｉｎ ｘ｜ｄｘ＜２（ｍ＋１）

が成り立つ。

（２）　ｎｘ＝ｔ　とおくと、ｄｘ＝（１/ｎ）ｄｔ　なので、∫₀^a ｜ｓｉｎ ｎｘ｜ｄｘ＝（１/ｎ）∫₀^na ｜ｓｉｎ ｔ｜ｄｔ

　ｎａ/πを越えない最大の整数をｍとするとき、（１）より、

　２ｍ≦∫₀^na ｜ｓｉｎ ｔ｜ｄｔ＜２（ｍ＋１）

なので、　２ｍ/ｎ≦∫₀^a ｜ｓｉｎ ｎｘ｜ｄｘ＜２（ｍ＋１）/ｎ

ここで、　ｍπ≦ｎａ＜（ｍ＋１）π　より、　ａ/π−１/ｎ＜ｍ/ｎ≦ａ/π　なので、

はさみうちの原理により、ｎ → ∞ のとき、　ｍ/ｎ → ａ/π　となる。

よって、　ｌｉｍ_n→∞ ∫₀^a ｜ｓｉｎ ｎｘ｜ｄｘ＝２ａ/π　　（終）


（追記）　令和７年９月１２日付け

　次の東北大学　前期理系（１９９９）の問題も手頃な極限の問題である。

問題　　正ｎ角形Ｐ_nを次のようにして定義する。
　　（�@）　Ｐ₃は面積が１の正三角形である。
　　（�A）　Ｐ_nと同じ面積をもつ円をＤ_nとする。Ｐ_n+1はＤ_nと周の長さが等しい正ｎ＋１角形で
　　ある。
　ｎ＝３、４、５、・・・について、Ｐ_nの面積をａ_nとしたとき、次の各問いに答えよ。

（１）　ｎ≧４について、ａ_n-1/ａ_nをｎを用いて表せ。
（２）　極限 ｌｉｍ_n→∞ ｎ²（ａ_n-1/ａ_n−（ｎ/π）ｓｉｎ（π/ｎ）） を求めよ。

（解）（１）　正ｎ角形Ｐ_nの外接円の半径を ｋ_n とおくと、Ｐ_nの面積 ａ_n は、

　ａ_n＝（１/２）ｋ_n²ｓｉｎ（２π/ｎ）×ｎ＝ｎｋ_n²ｓｉｎ（π/ｎ）ｃｏｓ（π/ｎ）

　円Ｄ_nの半径を ｒ_n とすると、題意より、　πｒ_n²＝ａ_n である。

　このとき、周の長さは、　２πｒ_n で、題意より、

　２πｒ_n＝２（ｎ＋１）ｋ_n+1ｓｉｎ（π/（ｎ＋１））

よって、ｒ_n＝（（ｎ＋１）/π）ｋ_n+1ｓｉｎ（π/（ｎ＋１）） から、ｒ_n-1＝（ｎ/π）ｋ_nｓｉｎ（π/ｎ）

このとき、ａ_n-1＝πｒ_n-1²＝（ｎ²/π）ｋ_n²ｓｉｎ²（π/ｎ）　なので、

　ａ_n-1/ａ_n＝（ｎ/π）ｓｉｎ（π/ｎ）/ｃｏｓ（π/ｎ）＝（ｎ/π）ｔａｎ（π/ｎ）

（２）　（１）より、

　ｎ²（ａ_n-1/ａ_n−（ｎ/π）ｓｉｎ（π/ｎ））

＝ｎ²（（ｎ/π）ｔａｎ（π/ｎ）−（ｎ/π）ｓｉｎ（π/ｎ））

ここで、π/ｎ＝θとおくと、ｎ → ∞　のとき、θ → ０＋　で、

　与式＝（π/θ）²（ｔａｎθ/θ−ｓｉｎθ/θ）

　＝（π²/θ³）ｓｉｎθ（１/ｃｏｓθ−１）

　＝（π²/θ³）ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）/ｃｏｓθ

　＝（π²/θ³）ｓｉｎ³θ/｛ｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）｝

　＝π²（ｓｉｎθ/θ）³/｛ｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）｝　→　π²/２　　（終）



　　以下、工事中！