極限の応用
大学入試では、極限の応用問題が頻出である。今までまとまったページがなかったので、
ここで一念発起し、新しいページを起こしてまとめていきたい。
次の東北大学 後期理系(1990)の問題も手頃な極限の問題である。
問題 nを自然数とし、xy平面上に(n + 1)個の点P0=(0,0)、P1=(1,0)、P2、・・・、Pn
をとる。点P2、・・・、Pnを
(@) 線分Pj-1Pj (1≦j≦n)の長さは1。
(A) 線分Pj-2Pj-1と線分Pj-1Pjとは互いに直交する。(2≦j≦n)
という条件のもとで動かし、このとき得られる線分P0Pnの長さの最大値をLnで表す。
(1) Lnを求めよ。
(2) 極限値 limm→∞ (L2m+1−L2m)を求めよ。
(解)(1) n=2m のとき、Ln2=L2m2=2m2=n2/2 より、 Ln=n/
n=2m+1 のとき、
Ln2=L2m+12=(m+1)2+m2=2m2+2m+1=2{(n−1)/2}2+n=(n2+1)/2
より、 Ln=√((n2+1)/2)
(2) L2m+1−L2m=√(2m2+2m+1)−√(2m2)
=(2m+1)/(√(2m2+2m+1)+√(2m2))
=(2+1/m)/(√(2+2/m+1/m2)+)
よって、 limm→∞ (L2m+1−L2m)=1/ (終)
(追記) 令和7年4月12日付け
次の東北大学 後期理系(1991)の問題も手頃な極限の問題である。
問題 a を正の実数とし、nを正の整数とする。
(1) na/πを越えない最大の整数をmとするとき、2m≦∫0na |sin x|dx<2(m+1)
が成り立つことを示せ。
(2) limn→∞ ∫0a |sin nx|dx を求めよ。
(解)(1) ∫0π |sin x|dx=∫0π sin x dx=[−cos x]0π=2
∫π2π |sin x|dx=−∫π2π sin x dx=[cos x]π2π=2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
また、mの定義より、 m≦na/π<m+1 すなわち、 mπ≦na<(m+1)π なので、
2m≦∫0na |sin x|dx<2(m+1)
が成り立つ。
(2) nx=t とおくと、dx=(1/n)dt なので、∫0a |sin nx|dx=(1/n)∫0na |sin t|dt
na/πを越えない最大の整数をmとするとき、(1)より、
2m≦∫0na |sin t|dt<2(m+1)
なので、 2m/n≦∫0a |sin nx|dx<2(m+1)/n
ここで、 mπ≦na<(m+1)π より、 a/π−1/n<m/n≦a/π なので、
はさみうちの原理により、n → ∞ のとき、 m/n → a/π となる。
よって、 limn→∞ ∫0a |sin nx|dx=2a/π (終)
以下、工事中!