極限の応用　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　大学入試では、極限の応用問題が頻出である。今までまとまったページがなかったので、
ここで一念発起し、新しいページを起こしてまとめていきたい。

　次の東北大学　後期理系（１９９０）の問題も手頃な極限の問題である。

問題　　ｎを自然数とし、ｘｙ平面上に(n + 1)個の点P₀＝(０，０)、P₁＝(１，０)、Ｐ₂、・・・、Ｐ_ｎ
　　をとる。点Ｐ₂、・・・、Ｐ_ｎを
　（�@）　線分Ｐ_j-1Ｐ_j (１≦ｊ≦ｎ）の長さは１。
　（�A）　線分Ｐ_j-2Ｐ_j-1と線分Ｐ_j-1Ｐ_jとは互いに直交する。(２≦ｊ≦ｎ)
という条件のもとで動かし、このとき得られる線分Ｐ₀Ｐ_nの長さの最大値をL_nで表す。
（１）　L_nを求めよ。
（２）　極限値　ｌｉｍ_m→∞ （L_2m+1−L_2m）を求めよ。

（解）（１）　ｎ＝２ｍ のとき、L_n²＝L_2m²＝２ｍ²＝ｎ²/２　より、　L_n＝ｎ/

　ｎ＝２ｍ＋１ のとき、

　L_n²＝L_2m+1²＝（ｍ＋１）²＋ｍ²＝２ｍ²＋２ｍ＋１＝２｛（ｎ−１）/２｝²＋ｎ＝（ｎ²＋１）/２

より、　L_n＝√（（ｎ²＋１）/２）

（２）　L_2m+1−L_2m＝√（２ｍ²＋２ｍ＋１）−√（２ｍ²）

＝（２ｍ＋１）/（√（２ｍ²＋２ｍ＋１）＋√（２ｍ²））

＝（２＋１/ｍ）/（√（２＋２/ｍ＋１/ｍ²）＋）

よって、　ｌｉｍ_m→∞ （L_2m+1−L_2m）＝１/　　（終）



　　以下、工事中！