ロール紙の長さ 
薄い紙を円柱の芯に巻いたものをロール紙という。トイレットペーパーとかキッチンペーパー
など、日常生活で目にすることは多い。ビデオテープなどもその類に入る。実際目にすること
はないと思われるが、新聞の印刷では、巨大なロール紙が用いられている。
トイレと言えば、「トイレットペーパー！」と連想ができるほど、トイレットペーパーは各家庭に
普及している。これは、トイレの水洗化と大いに関係している。昭和４８年のオイルショック時、
世のお母さんたちはトイレットペーパーの買占めに走ったものだ。
私的にトイレットペーパーとの付き合いは、大学に入ってから。それまでは、「ちり紙」と言
われる長方形状の紙（材質・感触は、今のトイレットペーパーとは比較にならないくらいゴワ
ゴワ・ザラザラで厚手であった。）を使っていた。
トイレットペーパー、ちり紙以前にどういうものがトイレで使われていたのか、その歴史を
辿ってみることもおもしろいが、このホームページの性格から大いに逸脱することになるの
で、それは読者の研究にまかせよう。
トイレットペーパーなど、使い始めの頃はあまり気にしないが、残りがわずかになってくると、
「あと、どれくらい使えるのかな？」と、心配になってくる。そのときは普通事前にもう一個手
許に用意するのだろうが、その心配に答える公式を紹介したい。
左図のようなロール紙において、２つの同心円の
間の面積をＳ、巻かれた紙の厚さをＸ、芯の半径を
Ｙとすると、
Ｓ＝π（Ｘ＋Ｙ）2−πＹ2＝πＸ（Ｘ＋２Ｙ）
が成り立つ。
（但し、πは円周率を表す。）
よって、ロール紙の（１枚の）厚さをｄ、長さ（の総計）をＴとすると、次の公式により、Ｔの
値が求められる。
Ｔ×ｄ＝Ｓ
例 市販されているトイレットペーパー（ダブル）について、測定の結果、Ｘ＝３ｃｍ、Ｙ＝２ｃｍ
であった。また、商品表示から、３０ｍの長さということなので、Ｔ＝３０００ｃｍ。
このとき、Ｓ＝π・３・７＝２１π＝６５．９７（ｃｍ2）より、ｄ＝０．０２２ｃｍ となる。
このｄの値から、Ｘの値を知れば、残りのトイレットペーパーの長さが求められることになる。
たとえば、最初の厚さの半分になったとき、すなわち、Ｘ＝１．５（ｃｍ）のとき、
Ｔ＝π*１．５*５．５/０．０２２＝１１７８．１（ｃｍ）・・・・・約１１ｍ８０ｃｍ
従って、まだ３分の１残っているので、安心である。
それでは、Ｘ＝１（ｃｍ）のときは、どうであろうか。
計算してみると、Ｔ＝７１４（ｃｍ）・・・・・約７ｍ１０ｃｍとなり、これもほぼ安全圏であろう。
Ｔ＝５ｍを危険域とすると、それは、Ｘの値がいくらのときであろうか。
計算してみると、Ｘ＝０．７４（ｃｍ）ということで、これは、１８０頁程度の文庫本の厚さ位で
ある。意外に厚いのに驚く。即ち、アッという間になくなるので、トイレに入るときは、要注意
である。
上記では面積に着目して長さを計算したが、もちろん正攻法で求めても良い。
問題 紙の厚さが０．０２ｃｍのトイレットペーパーにおいて、２つの同心円の間の巻かれ
た紙の厚さが３ｃｍ、芯の半径を２ｃｍとするとき、トイレットペーパーの全体の長さを
求めよ。
（解） ０．０２ｘ＝３ より、 ｘ＝１５０ なので、
（４＋２・０．０２）π＋（４＋２・０．０２・２）π＋・・・＋（４＋２・０．０２・１５０）π
＝（６００＋０．０４×１５０・１５１/２）π
＝１０４３π ・・・ 約３２７７ｃｍ
因みに、面積で求めると、
２５π−４π＝０．０２×Ｔ より、 Ｔは、約３２９９ｃｍ
（コメント） 両者ともだいたい同じ値となったが、ちょっとの差が気にかかる。この差は果た
してどこから？
（追記） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｋｓ」さんからのご投稿です。
（平成２９年２月７日付け）
中学の教科書(東京書籍)にあった問題です。トイレットペーパーが、６４ｍの長さあり、円
形部分の直径が１１ｃｍ、中の空洞部分の直径が４ｃｍです。何回転するでしょうという問題
です。
紙の厚さも気になりますが、それは記されていません。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月７日付け）
紙の断面積がπ((11/2)^2-(4/2)^2)=105π/4(cm^2) なので、紙の厚さは、
(105π/4)/6400=21π/5120(cm)
よって、巻き数は、 (11/2-4/2)÷(21π/5120)=2560/(3π)≒272(回転)
とあるAKBファン（だった）さんからのコメントです。（平成２９年２月９日付け）
ドーナツ型の面積公式を使えば、長さの計測を1回で済ませることができます。真ん中の
穴の接線のうちSに含まれる部分の長さをLとすると、S = πL^2 / 4 。これからTも求めら
れますね。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年２月１０日付け）
らすかるさん、スマートな解答有り難うございます。実際に、やってみました。
外直径１０．５ｃｍ、内直径４ｃｍ、長さ３１ｍでけいさんすると、理論値は、１３５．９８回でし
たが、実測は、１３４回でした。誤差は、空気の厚さかな？因みに、二枚重ねです。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月１０日付け）
意外に正確なんですね。もっと誤差が大きくなると思っていました。
# 数えた後は巻き戻したんですか？(笑)
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年２月１１日付け）
長さは、１．８ｍのテーブルで、裁断し計りました。１７回と０．４ｍで、３１ｍになりました。
誤差が気になり、厳密な計測ではありませんが意外な結果になりました。アバウトな、計測
が理論値に近づいたのかもと思います。因みに、計算間違いが２度あって、結果正解した
解答に出合ったことがあります。