円における円周の長さの計算と同様に、曲線における曲線の弧の長さの計算も数学では
大切な計算である。このページでは、弧の長さに関する問題をまとめていこうと思う。
次の東北大学 理系（１９７９）の問題は、美しい性質を示唆する。
第４問 平面上に、それぞれ ｙ＝２（（ｘ−２）/３）＾（3/2） 、ｙ＝−２√ｘ で与えられる曲線
C、C’がある。C上の点P(ａ，ｂ)におけるCの接線がC’と交わる点をQとする。
（１） C上の２点Ａ(２，０)とPの間の弧の長さＬを求めよ。
（２） 線分ＰＱの長さとＬとの差を求めよ。
（解）（１） ｙ’＝（（ｘ−２）/３）＾（1/2） なので、√（１＋ｙ’2）＝√｛（ｘ＋１）/３｝ より、
Ｌ＝∫2a √｛（ｘ＋１）/３｝ｄｘ＝（１/
）・（２/３）［（ｘ＋１）＾（3/2）］2a＝２/（３
）・（（ａ＋１）＾（3/2）−３）＝２｛（ａ＋１）/３｝＾（3/2）−２（２） 点P(ａ，ｂ)におけるCの接線の方程式は、
ｙ＝（（ａ−２）/３）＾（1/2）・（ｘ−ａ）＋２（（ａ−２）/３）＾（3/2）
ｙ＝−２√ｘ と連立して、（（ａ−２）/３）＾（1/2）・（ｘ−ａ）＋２（（ａ−２）/３）＾（3/2）＝−２√ｘ
すなわち、
（（ａ−２）/３）＾（1/2）・ｘ＋２√ｘ−（ａ＋４）/３・（（ａ−２）/３）＾（1/2）＝０
√ｘ に関する２次方程式として、解の公式より、
√ｘ＝（−１＋√（１＋（ａ＋４）/３・（ａ−２）/３）/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（−１＋√（１＋（ａ2＋２ａ−８）/９））/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（−１＋（ａ＋１）/３））/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（（ａ−２）/３）＾（1/2）
よって、Ｑの ｘ 座標は、ｘ＝（ａ−２）/３ となるので、ｙ 座標は、−２（（ａ−２）/３）＾（1/2）
このとき、
ＰＱ2＝（ａ−（ａ−２）/３）2＋（２（（ａ−２）/３）＾（3/2）＋２（（ａ−２）/３）＾（1/2））2
＝４（（ａ＋１）/３）2＋４（（ａ＋１）/３）2・（ａ−２）/３
＝４（（ａ＋１）/３）3
より、 ＰＱ＝２（（ａ＋１）/３）3/2 となる。
したがって、線分ＰＱの長さとＬとの差は、２ となる。 （終）
（コメント） 計算が上手く出来ていますね！
（追記） 令和７年１０月２９日付け
次の東北大学 後期理系（２００１）の問題は、懸垂線の長さを計算する問題である。
問題 ａ＞０ に対して、曲線 ｙ＝（ｅａｘ＋ｅ-ａｘ）/（２ａ） （−１≦ｘ≦１） の長さをＬ（ａ）とする。
（１） この曲線の概形を描け。
（２） Ｌ（ａ）を求めよ。
（３） Ｌ（ａ）は ａ の関数として単調増加関数であることを示せ。
（解）（１） ｙ’＝（ｅ2ａｘ−１）/（２eax）＝０ とおくと、 ｘ＝０
ｘ＝０ の前後で、ｙ’の符号は負から正に変わり、ｘ＝０ で極小で最小値 １/ａ をとる。
曲線の概形は、下図。
（２） Ｌ（ａ）＝∫-11 √（１＋ｙ’2）ｄｘ＝（１/２）∫-11 （ｅａｘ＋ｅ-ａｘ）ｄｘ
＝（１/（２ａ））［ｅａｘ−ｅ-ａｘ］-11＝（ｅａ−ｅ-ａ）/ａ
（３） Ｌ’（ａ）＝｛（ｅａ＋ｅ-ａ）ａ−（ｅａ−ｅ-ａ）］/ａ2 より、
Ｆ（ａ）＝（ｅａ＋ｅ-ａ）ａ−（ｅａ−ｅ-ａ） とおく。
Ｆ’（ａ）＝（ｅａ−ｅ-ａ）ａ＋（ｅａ＋ｅ-ａ）−（ｅａ＋ｅ-ａ）＝（ｅａ−ｅ-ａ）ａ
Ｇ（ａ）＝ｅａ−ｅ-ａ とおくと、 Ｇ’（ａ）＝ｅａ＋ｅ-ａ＞０ から、Ｇ（ａ）は単調に増加する。
Ｇ（０）＝０ から、ａ＞０ のとき、 Ｇ（ａ）＞０ すなわち、 Ｆ’（ａ）＞０
よって、Ｆ（ａ）は単調に増加し、Ｆ（０）＝０ から、ａ＞０ のとき、 Ｆ（ａ）＞０
すなわち、 Ｌ’（ａ）＞０ となる。
よって、Ｌ（ａ）は ａ の関数として単調増加関数である。 （終）
以下、工事中！