円における円周の長さの計算と同様に、曲線における曲線の弧の長さの計算も数学では
大切な計算である。このページでは、弧の長さに関する問題をまとめていこうと思う。
次の東北大学 理系（１９７９）の問題は、美しい性質を示唆する。
第４問 平面上に、それぞれ ｙ＝２（（ｘ−２）/３）＾（3/2） 、ｙ＝−２√ｘ で与えられる曲線
C、C’がある。C上の点P(ａ，ｂ)におけるCの接線がC’と交わる点をQとする。
（１） C上の２点Ａ(２，０)とPの間の弧の長さＬを求めよ。
（２） 線分ＰＱの長さとＬとの差を求めよ。
（解）（１） ｙ’＝（（ｘ−２）/３）＾（1/2） なので、√（１＋ｙ’2）＝√｛（ｘ＋１）/３｝ より、
Ｌ＝∫2a √｛（ｘ＋１）/３｝ｄｘ＝（１/
）・（２/３）［（ｘ＋１）＾（3/2）］2a＝２/（３
）・（（ａ＋１）＾（3/2）−３）＝２｛（ａ＋１）/３｝＾（3/2）−２（２） 点P(ａ，ｂ)におけるCの接線の方程式は、
ｙ＝（（ａ−２）/３）＾（1/2）・（ｘ−ａ）＋２（（ａ−２）/３）＾（3/2）
ｙ＝−２√ｘ と連立して、（（ａ−２）/３）＾（1/2）・（ｘ−ａ）＋２（（ａ−２）/３）＾（3/2）＝−２√ｘ
すなわち、
（（ａ−２）/３）＾（1/2）・ｘ＋２√ｘ−（ａ＋４）/３・（（ａ−２）/３）＾（1/2）＝０
√ｘ に関する２次方程式として、解の公式より、
√ｘ＝（−１＋√（１＋（ａ＋４）/３・（ａ−２）/３）/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（−１＋√（１＋（ａ2＋２ａ−８）/９））/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（−１＋（ａ＋１）/３））/（（ａ−２）/３）＾（1/2）
＝（（ａ−２）/３）＾（1/2）
よって、Ｑの ｘ 座標は、ｘ＝（ａ−２）/３ となるので、ｙ 座標は、−２（（ａ−２）/３）＾（1/2）
このとき、
ＰＱ2＝（ａ−（ａ−２）/３）2＋（２（（ａ−２）/３）＾（3/2）＋２（（ａ−２）/３）＾（1/2））2
＝４（（ａ＋１）/３）2＋４（（ａ＋１）/３）2・（ａ−２）/３
＝４（（ａ＋１）/３）3
より、 ＰＱ＝２（（ａ＋１）/３）3/2 となる。
したがって、線分ＰＱの長さとＬとの差は、２ となる。 （終）
（コメント） 計算が上手く出来ていますね！
以下、工事中！