弧の長さ
円における円周の長さの計算と同様に、曲線における曲線の弧の長さの計算も数学では
大切な計算である。このページでは、弧の長さに関する問題をまとめていこうと思う。
次の東北大学 理系(1979)の問題は、美しい性質を示唆する。
第4問 平面上に、それぞれ y=2((x−2)/3)^(3/2) 、y=−2√x で与えられる曲線
C、C’がある。C上の点P(a,b)におけるCの接線がC’と交わる点をQとする。
(1) C上の2点A(2,0)とPの間の弧の長さLを求めよ。
(2) 線分PQの長さとLとの差を求めよ。
(解)(1) y’=((x−2)/3)^(1/2) なので、√(1+y’2)=√{(x+1)/3} より、
L=∫2a √{(x+1)/3}dx=(1/)・(2/3)[(x+1)^(3/2)]2a
=2/(3)・((a+1)^(3/2)−3)=2{(a+1)/3}^(3/2)−2
(2) 点P(a,b)におけるCの接線の方程式は、
y=((a−2)/3)^(1/2)・(x−a)+2((a−2)/3)^(3/2)
y=−2√x と連立して、((a−2)/3)^(1/2)・(x−a)+2((a−2)/3)^(3/2)=−2√x
すなわち、
((a−2)/3)^(1/2)・x+2√x−(a+4)/3・((a−2)/3)^(1/2)=0
√x に関する2次方程式として、解の公式より、
√x=(−1+√(1+(a+4)/3・(a−2)/3)/((a−2)/3)^(1/2)
=(−1+√(1+(a2+2a−8)/9))/((a−2)/3)^(1/2)
=(−1+(a+1)/3))/((a−2)/3)^(1/2)
=((a−2)/3)^(1/2)
よって、Qの x 座標は、x=(a−2)/3 となるので、y 座標は、−2((a−2)/3)^(1/2)
このとき、
PQ2=(a−(a−2)/3)2+(2((a−2)/3)^(3/2)+2((a−2)/3)^(1/2))2
=4((a+1)/3)2+4((a+1)/3)2・(a−2)/3
=4((a+1)/3)3
より、 PQ=2((a+1)/3)3/2 となる。
したがって、線分PQの長さとLとの差は、2 となる。 (終)
(コメント) 計算が上手く出来ていますね!
以下、工事中!