カプレカー操作について 　　　　　　　　　　 　　　

　３個の数字を並べ替えて、一番大きい数と一番小さい数を作る。３桁にならないときは、左
側の ０ はそのままで、３桁にする。この２つの数の差をとり、新しい数を作る。

　このような操作を、カプレカー操作（カプレカル過程）という。

(注）U．Ｒ．カプレカー：インドの数学者で、１９４０年代に、この問題を考え出したらしい。

　３桁の数に対して、この操作を有限回行うと、実は、ある数に到達し、その後、カプレカー
操作を行っても、その数が繰り返されるだけになる。

　ただし、数の配列によっては、０００ という場合もあり得る。このような自明な場合について
は、考えないことにする。

（例）　２、５、９　のとき　　　　９５２−２５９＝６９３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　９６３−３６９＝５９４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　９５４−４５９＝４９５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　９５４−４５９＝４９５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　４桁の数に対しても、このような現象は存在する。

（例）　１、５、６、９　のとき　　９６５１−１５６９＝８０８２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　８８２０−０２８８＝８５３２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　８５３２−２３５８＝６１７４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　７６４１−１４６７＝６１７４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　この現象を、数学的に実証してみよう。

（３桁の数の場合）

　３桁の数 ａｂｃ （９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧０）にカプレカー操作を行い、できる数の各桁が、ａ，ｂ，ｃ
で表されるときを考える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ａｂｃ - ｃｂａ = ＫＬＭ

　　　　　　　ここで、　Ｍ＝１０＋ｃ−ａ　、Ｌ＝１０＋ｂ−１−ｂ＝９　、Ｋ＝ａ−１−ｃ

　　　このとき、　（Ｋ，Ｌ，Ｍ）＝（ｂ，ａ，ｃ）　または　（ｃ，ａ，ｂ）　である。

（Ｋ，Ｌ，Ｍ）＝（ｂ，ａ，ｃ）　のとき、　１０＋ｃ−ａ＝ｃ， ａ＝９　より　１＝０　となり、矛盾。

（Ｋ，Ｌ，Ｍ）＝（ｃ，ａ，ｂ）　のとき、　ａ−１−ｃ＝ｃ，　ａ＝９，　１０＋ｃ−ａ＝ｂ　
　　　これを解いて、　ａ＝９，　ｂ＝５，　ｃ＝４

　　従って、差が ４９５ になると、以後繰り返す。

（４桁の数の場合）

　４桁の数 ａｂｃｄ （９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄ≧０）にカプレカー操作を行い、できる数の各桁が、
ａ，ｂ，ｃ，ｄ で表されるときを考える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａｂｃｄ - ｄｃｂａ = ＫＬＭＮ

　ここで、　ｂ＝ｃ とすると、　Ｎ＝１０＋ｄ−ａ　、Ｍ＝９　、Ｌ＝９　、Ｋ＝ａ−１−ｄ

　このとき、　９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄ≧０ から、ａ＝ｂ＝ｃ＝９ で、Ｎ＝ｄ＋１　、Ｋ＝８−ｄ　となる。

　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ＝ｃ　、Ｋ＝ｄ　のとき、ｄ＝８　かつ　ｄ＝４ となり、矛盾。
　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ＝ｄ　、Ｋ＝ｃ 　のとき、１＝０ となり、矛盾。

　よって、上記条件のもとでは、ｂ＝ｃ という場合は起こりえない。従って、ｂ＞ｃ　としてよい。

このとき、
　　Ｎ＝１０＋ｄ−ａ　、Ｍ＝１０＋ｃ−１−ｂ＝９＋ｃ−ｂ　、Ｌ＝ｂ−１−ｃ　、Ｋ＝ａ−ｄ

　Ｎ＝ｄ とすると、ａ＝１０ となるので、起こりえない。Ｌ＝ｂ も明らかに起こりえない。

　Ｍ＝ｃ とすると、ａ＝ｂ＝９ で、 Ｋ＝９−ｄ　　Ｌ＝８−ｃ　　Ｎ＝ｄ＋１　となる。

　　このとき、（Ｋ，Ｌ，Ｎ）の可能性として、（９，９，ｄ）、（９，ｄ，９）、（ｄ，９，９） の場合がある
　が、何れに対しても、矛盾を得る。
　実際に、Ｋ＝９　、Ｌ＝９　、Ｎ＝ｄ　のとき、１＝０ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｋ＝９　、Ｌ＝ｄ　、Ｎ＝９　のとき、ｄ＝８　かつ　ｄ＝０ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｋ＝ｄ　、Ｌ＝９　、Ｎ＝９　のとき、ｄ が整数であることに矛盾。

　よって、Ｍ＝ｃ という場合も起こりえない。

　Ｋ＝ａ とすると、ｄ＝０ で、Ｌ＝ｂ−１−ｃ　、Ｍ＝９＋ｃ−ｂ　、Ｎ＝１０−ａ

　このとき、（Ｌ，Ｍ，Ｎ）の可能性として、

　　　　　　　　　　（ｂ，ｃ，０）、（ｂ，０，ｃ）、（ｃ，ｂ，０）、（ｃ，０，ｂ）、（０，ｂ，ｃ）、（０，ｃ，ｂ）

　の場合があるが、何れに対しても、矛盾を得る。
　実際に、Ｌ＝ｂ　、Ｍ＝ｃ　、Ｎ＝０　のとき、ａ＝１０ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｌ＝ｂ　、Ｍ＝０　、Ｎ＝ｃ　のとき、ｃ＝−１ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｌ＝ｃ　、Ｍ＝ｂ　、Ｎ＝０　のとき、ａ＝１０ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｌ＝ｃ　、Ｍ＝０　、Ｎ＝ｂ　のとき、ｂ＝１５ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｌ＝０　、Ｍ＝ｂ　、Ｎ＝ｃ　のとき、ａ＜ｂ となり、矛盾。
　　　　　　 Ｌ＝０　、Ｍ＝ｃ　、Ｎ＝ｂ　のとき、ａ＜ｂ となり、矛盾。

　よって、Ｋ＝ａ という場合も起こりえない。

　以上から、起こりえる場合は次の通りとなる。

　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｄ，ｃ，ｂ，ａ） のとき、ｄ が分数となり、矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｄ，ｃ，ａ，ｂ） のとき、ｃ が分数となり、矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｄ，ａ，ｂ，ｃ） のとき、ｂ＝１０ となり、矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｃ，ｄ，ｂ，ａ） のとき、ａ≧ｂ に矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｃ，ｄ，ａ，ｂ） のとき、ｂ が分数となり、矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｃ，ａ，ｄ，ｂ） のとき、ｃ≧ｄ に矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｂ，ａ，ｄ，ｃ） のとき、ｄ≧０ に矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｂ，ｃ，ｄ，ａ） のとき、ａ が分数となり、矛盾。
　　　（Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ）＝（ｂ，ｄ，ａ，ｃ） のとき、連立方程式を解いて、
　　　　　　　　　ａ＝７，　ｂ＝６，　ｃ＝４，　ｄ＝１

　従って、差が　６１７４　になると、以後繰り返す。

　５桁の数については、カプレカー操作をしても、上記のような数は存在しないことが知ら
れている。６桁以上の数についても、同様の議論は存在するが、３桁、４桁のように、唯
一つというインパクトの視点から考えると、面白みに欠ける。

（参考文献：西山　豊　著　　人とヒトデとサッカーボール　（三省堂））


（追記）　ある会合で、神奈川在住の西山さんという方から、上記のカプレカー操作の問
　　　　題に関するお話を伺った。私自身、この問題について当ＨＰでアップロードしたこと
　　　　すら忘れていて、とても新鮮な話に聞こえた。２００２年２月９日のことなので、２年
　　　　近く前になる。今改めて読み返してみると、証明と思っていたことが実は全然証明
　　　　になっていないことに気づき、愕然としている。

　　　　　上記で示したことは、４桁の数で繰り返しになる数があれば、それは「６１７４」し
　　　　かないということだけで、全ての４桁の数が、カプレカー操作により「６１７４」に行き
　　　　つくということは証明していない。

　　　　　今回、証明の不備に気づく機会を与えていただいた西山さんに感謝したい。


定理　　各位の数が全て同じでない４桁の数は全て、カプレカー操作により、
　　　　「６１７４」に辿りつく。

　４桁の数 ａｂｃｄ を考える。ただし、各位の数は、全て同じ数ではないものとする。
このとき、
　　　　　　　　Ａ＝１０³ａ＋１０²ｂ＋１０ｃ＋ｄ　　（９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄ≧０）
としてよい。
　一方、小さい順に並べた数は、Ｂ＝１０³ｄ＋１０²ｃ＋１０ｂ＋ａ　と書けるので、

　　　　　　　Ａ−Ｂ＝１０³（ａ−ｄ）＋１０²（ｂ−c）＋１０（ｃ−ｂ）＋（ｄ−ａ）
　　　　　　　　　　＝（１０³−１）（ａ−ｄ）＋（１０²−１０）（ｂ−c）
　　　　　　　　　　＝９９９（ａ−ｄ）＋９０（ｂ−c）
　　　条件より、
　　　　　　　ａ−ｄ＝１，２，３，・・・，９
　　　　　　　ｂ−c＝０，１，２，・・・，９
　　　したがって、
　　　　　　　Ａ−Ｂ の形の数は、全部で　９×１０＝９０　（個）
　　　ある。
　　　　次の表は、Ａ−Ｂ の計算の結果出てくる可能性のある４桁の数一覧である。

　カプレカー操作の特性から、上記９０個の数全てについて検証する必要はなく、次の３０
個について調べれば十分である。

　簡単な計算から、これらの数は全てカプレカー操作により、「６１７４」という数に到達する
ことが分かる。
　実際に、出現する数のパターン番号で計算経過を示せば、次のようになる。

　以上により、定理は証明された。

　同様の方法により、３桁の場合についても証明される。

（参考文献：Ｍ．ラインズ　著　片山孝次　訳　　数　その意外な表情　（岩波書店））


（追記）　平成２２年５月４日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰがいつもお世話になっているＧＡＩ さんが「カプレカ
ー操作」の話題を取り上げられた。（平成２２年４月２６日付け）

　ＧＡＩ さんは、「１４６７法則」「１０８９法則」と名付けられた。

１４６７法則

　各位が異なる４桁で、各位の数字を大きい順に並べ替えて出来る４桁の数字から小さい
順に並べ替えて出来る数字を引く。こうして出来る４桁の数に対して、同様な操作を繰り返
す。これを繰り返していくと必ず１４６７のサイクルに入る。

（コメント）　４桁の整数は、カプレカー操作によりすべて「６１７４」に収斂することが分かっ
　　　　　　ている。

１０８９法則

　各位が異なる３桁で、各位の数字を大きい順に並べ替えて出来る３桁の数字から小さい
順に並べ替えて出来る数字を引く。こうして出来る３桁の数と、この数の各位の数字を逆順
にした数を足すと必ず和が１０８９になる。

（コメント）　３桁の整数は、カプレカー操作によりすべて「４９５」に収斂することが分かっ
　　　　　　ている。よって、　４９５＋５９４＝１０８９　である。

　これに似た法則は他にもあるだろうか？もし、発見された方はこちらまでご教示下さい。