回転体の体積 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　非回転体の体積は、切り口を巧妙に選ぶと面白いように体積が求められる。

例　放物線 Ｙ＝３/４−Ｘ² を Ｙ軸の周りに回転してできる立体を、Ｋ とおく。この立体 Ｋ を、
　　回転軸と ４５°をなす平面 Ｈ で切断したとき、平面の上方の部分の体積を求めよ。
　（東京大学）

　ＸＹＺ空間において、立体 Ｋ は、方程式 Ｚ≦３/４−Ｘ²−Ｙ² で与えられるものとしてよい。

右図において、斜線部分の面積 Ｓ は、 　　Ｓ＝(４/３)（１−ｔ2）3/2 で与えられる。 　実際に、Ｚ＝−Ｙ2＋３/４−ｔ2　とＺ＝Ｙ の交点の Ｙ 座標を α、β とすると、 　Ｙ2＋Ｙ＋ｔ2−３/４＝０　において、	この立体を、平面 Ｈ ： Ｚ＝Ｙ で切断する。 　　その結果できる立体のうち、平面 Ｈ の上方 　にある立体を、平面 Ｘ ＝ ｔ　で切ったときの切 　り口の図形は、方程式 　　　　　Ｚ≦−Ｙ2＋３/４−ｔ2　（ただし、Ｚ≧Ｙ） 　となる。（下図）

　α＋β＝−１　、αβ＝ｔ²−３/４　なので、

Ｓ＝（１/６）（β−α）³＝（１/６）｛（β−α）²｝^3/2

＝（１/６）｛（α＋β）²−４αβ｝^3/2＝(４/３)（１−ｔ²）^3/2

このとき、求める体積 Ｖ は、

　

　置換積分により、　Ｖ＝π/２　となる。

　このような非回転体の体積に対して、回転体の体積の計算は、面白みに欠けるところが
あるが、その方法論には微分積分の考え方のエッセンスが含まれているものと考えられる
ので、このページで整理しておこうと思う。

		左図のように、曲線 Ｙ＝ｆ（Ｘ） が、直 　線 Ｙ＝ｍＸ＋ｎ と２点Ａ、Ｂで交わって 　いる。 　　２つの図形で囲まれた部分を、直線 　の周りに回転させてできる立体の体 　積を求めたい。 　　ここで、ｍ＝ｔａｎθ （０°≦θ＜９０°） 　で、直線上の１点Ｈで立てた垂線と曲 　線は、唯一つの点Ｐで交わるものとす 　る。 　　微小な図形 ΔＤ＝図形ＰＱＲＳ を考 　え、ΔＤ を直線の周りに回転してでき 　る立体の体積を ΔＶ とおく。 　　曲線状の弧ＰＳから直線に下ろした 　垂線の長さの最大値、最小値をそれ
ぞれ Ｍ、Ｍ’とおくと、次の不等式が成り立つ。

　

Δｘ → ０ のとき、Ｍ、Ｍ’ → ＰＨ なので、

　

となる。したがって、求める体積 Ｖ は、次の定積分により求められる。

　

（ ここで、

，

である。）

この公式は、次のように考えても得られる。
	において、

　

なので、

　

よって、

　

ここで、

　

なので、

　

が成り立つ。


（注意）　ＰＨ＝ＰＱｃｏｓθ なので、上記の公式は、

　

とも書ける。


例　放物線 Ｙ＝Ｘ² と直線 Ｙ＝Ｘ で囲まれた部分を直線の周りに回転させてできる立体の
　　体積を求めよ。

　求める体積 Ｖ は、

　

となる。

（参考）　上記の例の問題は、教科書等では通常次のように解かれている。

左図において、求める体積 Ｖ は、 　　　　 　　ここで、 　　　　 　　　　 　　なので、

よって、

　


　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習問題

左図において、２曲線で囲まれる図形を直線の 　　周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。 （答は、(２/３)(４８５−２５２ｌｏｇ６)π　かな？）

（追記）　平成２５年９月９日付け

　慶應義塾大学　理工（２０１３）　でこのタイプの問題が出題された。慶應らしく、計算が複
雑になるように意識的に問題が作られているところが心憎い。

　放物線 ｙ＝/２ｘ² と直線 ｙ＝ｘ で囲まれた図形を、直線 ｙ＝ｘ のまわりに１回転してで
きる立体の体積Ｖを求めたい。

（１）　ｒ≧０ とする。直線 ｙ＝ｘ 上にあり原点Ｏからの距離が ｒ となる点のうち、ｘ 座標が０
　　以上の点をＰとする。点Ｐを通り、直線 ｙ＝ｘ に垂直な直線をＬとすると、Ｌの方程式は
　　ｙ＝（　イ　）となる。また、放物線 ｙ＝/２ｘ² 上にあるのは、ｒ＝０ と ｒ＝（　ロ　）のと
　　きである。

（２）　０≦ｒ≦（　ロ　）とし、点Ｐと直線Ｌを（１）のようにとる。直線Ｌと放物線 ｙ＝/２ｘ² の
　　交点のうち、ｘ 座標が０以上の点をＱとする。点Ｐと点Ｑの距離ＰＱの２乗を ｒ を用いて
　　表すと、ＰＱ²＝（　ハ　）となる。

（３）　求める立体の体積Ｖが、Ｖ＝π∫₀^（ﾛ）（　ハ　）ｄｒ　となることを用いて、Ｖを求めなさい。


（略解）　（１）　ｙ＝−ｘ＋ｒ　、ｒ＝２　　（２）　ｒ²＋６ｒ＋２−２（ｒ＋１）√（４ｒ＋１）
　　　（３）　π/１５


（追記）　平成２３年１２月１１日付け

　上記の話題について、当ＨＰ読者のＨＮ「十六夜♪」さんから１２月１０日付けでメールを頂
いた。

　斜回転体の傘型分割で、「扇形の面積×dｘ」を集めて計算するのが普通らしいのですが、
私は高校時代から、斜回転体の体積は、「傘型分割→押しつぶす」方式で計算していまし
た。

押しつぶされた円柱

よって、求める体積は、

　私の探し方が悪いのか、それともマイナーな考え方なのか、ネット上検索しても同様の計
算方法はなかなか見つかりません。

　この考え方は、おそらく正しいと思うのですが、普通の方法なのか、それともあまりやらな
いものなのか、ぜひご意見を聞かせてください。


（コメント）　結論から言うと、よく知られた普通の方法です。数学的には、

　πＰＨ²・Δｘｓｅｃθ＝πＰＨ・ＰＨｓｅｃθ・Δｘ＝πＰＨ・ＰＱ・Δｘ

と変形し、微小部分の体積を

　｛（扇形の弧長）÷２｝×（扇形の半径）×（厚み）＝（扇形の面積）×（厚み）

と考えるのが一般的です。

　「十六夜♪」さんの考え方は、この流れに沿ったもので正統的な解法と言えると思います。


（参考文献）　秋山　仁　著　「立体のとらえかた」　（駿台文庫）
　　　　　　第２章　立体の体積の求め方　ｐ．６１〜ｐ．１０９

（閑話休題）

　直線の周りの回転は、適当な座標変換（回転移動）により、座標軸の周りの回転の問題
に帰着される。

　次のような問題が、よく知られている。

例　曲線 　と各座標軸で囲まれた部分を、直線 y ＝ ｘ の周りに回転させて
　　できる立体の体積を求めよ。（お茶の水女子大学）

Ｈｉｎｔ：　２曲線を原点の周りに４５°回転させて考える。曲線の方程式は、Ｘ²＝Ｘ−(1/２)
　となる。（答は、π/４８　かな？）

　この方法は、私が高校生の頃よく用いられた解法である。計算が煩雑すぎて、あまりお勧
めできないが、求めたい体積が確かに求まっているということが実感できる解法である。


（参考文献：谷口　勝　著　微分・積分　（旺文社）
　　　　　　　小原實晃　著　直線 ｌ の周りの回転体の体積　（数研通信））


（追記）　平成２１年７月１日付け

　「熱血！平成教育学院」（フジＴＶ系　１９時〜）の６月２８日放送で、回転体の形を問う問題
が出題された。

　ちょっと目を引く問題だったので考えてみた。

左図のような三角形をまず、ｘ 軸の周り 　に回転させ、そのとき出来る図形を、さら 　に、ｙ 軸の周りに回転させる。 　　このとき出来る図形は、どのような形に 　なるだろうか？

　この問題は、円錐の母線からなる三角形と底面の円を同一平面に描いて考えると、どんな
図形になるかは容易に予想できるだろう。

　

　こんな感じかな？

　


　この立体の体積を求めることは、数学�Vの手頃な演習問題になるだろう。

　　ｘ²＋ｙ²＝１　と　ｘ＋２ｙ−２＝０　の交点の ｙ 座標は、１　または　３/５

よって、

　

となる。


　平成２７年度入試　東京大学前期理系で次のような回転体の体積の問題が出題された。
何も難しいところはなく教科書的で良心的な出題と言えよう。

問題　ａを正の実数とし、ｐを正の有理数とする。
　　　座標平面上の２つの曲線 ｙ＝ａｘ^ｐ　（ｘ＞０）と ｙ＝ｌｏｇ ｘ　（ｘ＞０）を考える。この２つの
　　曲線の共有点が１点のみであるとし、その共有点をＱとする。

以下の問いに答えよ。必要であれば、ｌｉｍ_ｘ→∞ ｘ^ｐ/ｌｏｇ ｘ＝∞　を証明なしに用いてよい。
（１）　ａおよび点Ｑのｘ座標をｐを用いて表せ。
（２）　この２つの曲線とｘ軸で囲まれる図形を、ｘ軸のまわりに１回転してできる立体の体積を
　　　ｐを用いて表せ。
（３）　（２）で得られる立体の体積が２πになるときのｐの値を求めよ。

（解）（１）　曲線 ｙ＝ａｘ^ｐ　（ｘ＞０）と ｙ＝ｌｏｇ ｘ　（ｘ＞０）はともに増加関数で、前者は下に凸、
　　　　　後者は上に凸のグラフである。

よって、題意を満たすためには、共有点Ｑ（ｔ，ａｔ^ｐ）で２曲線が接することが必要十分である。

　したがって、　ａｔ^ｐ＝ｌｏｇ ｔ　、　ａｐｔ^ｐ-1＝１/ｔ　より、　ｐｌｏｇ ｔ＝１　すなわち、　ｔ＝ｅ^1/p

このとき、　ａｅ＝１/ｐ　より、　ａ＝１/（ｅｐ）

（２）　Ｖ＝π∫₀^ｅ1/p ａ²ｘ^2ｐ ｄｘ−π∫₁^ｅ1/p (ｌｏｇ ｘ)²ｄｘ

　＝π(ａ²/(２ｐ＋１)）[ｘ^2ｐ+1]₀^ｅ1/p−π（[ｘ(ｌｏｇ ｘ)²]₁^ｅ1/p−２∫₁^ｅ1/p (ｌｏｇ ｘ)ｄｘ）

　＝π(ａ²/(２ｐ＋１)）ｅ^(2ｐ+1)/p−πｅ^1/p(１/ｐ)²＋２π（[ｘｌｏｇ ｘ]₁^ｅ1/p−∫₁^ｅ1/pｄｘ）

　＝π(ａ²/(２ｐ＋１)）ｅ^(2ｐ+1)/p−πｅ^1/p(１/ｐ)²＋２π（ｅ^1/p(１/ｐ)−ｅ^1/p＋１）

　＝π(ａ²/(２ｐ＋１)）ｅ^(2ｐ+1)/p−πｅ^1/p（(１/ｐ)²−２/ｐ＋２）＋２π

ここで、　ａ＝１/（ｅｐ）　であるので、

Ｖ＝π(１/(２ｐ＋１)ｅ²ｐ²）ｅ^(2ｐ+1)/p−πｅ^1/p（(１/ｐ)²−２/ｐ＋２）＋２π

＝π(１/(２ｐ＋１)ｐ²）ｅ^1/p−πｅ^1/p（(１/ｐ)²−２/ｐ＋２）＋２π

＝２π｛（１−２ｐ）/（１＋２ｐ）｝ｅ^1/p＋２π

（３）　題意を満たすためには、　１−２ｐ＝０　すなわち、　ｐ＝１/２


（コメント）　計算の方針はすぐ立ちますが、それを実行する計算力が求められていますね！


　次の東北大学　理系（１９７８）の問題も、回転体の体積の問題である。

第５問　　０≦ｔ≦π/２ とする。曲線 ｙ＝ｓｉｎ ｘ および３直線 ｘ＝ｔ、ｘ＝２ｔ、ｙ＝０ で囲まれた
　　部分を、ｘ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積をＶ（ｔ）とする。Ｖ（ｔ）が最大になる
　　ｔ の値をαとするとき、ｃｏｓαの値を求めよ。

（解）　Ｖ（ｔ）＝π∫_ｔ^2ｔ ｓｉｎ²ｘｄｘ＝（π/２）∫_ｔ^2ｔ （１−ｃｏｓ２ｘ）ｄｘ＝（π/２）［ｘ−（１/２）ｓｉｎ２ｘ］_ｔ^2ｔ

　＝（π/２）（ｔ−（１/２）（ｓｉｎ４ｔ−ｓｉｎ２ｔ））　より、

Ｖ’（ｔ）＝（π/２）（１−（２ｃｏｓ４ｔ−ｃｏｓ２ｔ））＝（π/２）（１−（２（２ｃｏｓ²２ｔ−１）−ｃｏｓ２ｔ））

＝−（π/２）（４ｃｏｓ²２ｔ＋ｃｏｓ２ｔ−３）＝−（π/２）（４ｃｏｓ²２ｔ−ｃｏｓ２ｔ−３）

＝−（π/２）（４ｃｏｓ２ｔ＋３）（ｃｏｓ２ｔ−１）＝０　とおくと、

　ｃｏｓ２ｔ＝−３/４　となる ２ｔ の値をθとおくと、　ｔ＝θ/２　（０≦θ/２≦π/２）　、ｔ＝０

よって、増減表は、

　　

　よって、ｔ＝θ/２　のとき、Ｖ（ｔ）は極大かつ最大となる。このとき、題意より、θ/２＝α　な

ので、　ｃｏｓ２α＝−３/４　である。すなわち、２ｃｏｓ²α−１＝−３/４　から、ｃｏｓ²α＝１/８

０≦α≦π/２ から、　ｃｏｓα≧０　なので、　ｃｏｓα＝１/（２）＝/４　　（終）


　次の東北大学　文系（１９７８）の問題も、回転体の体積の問題である。回転体の体積が
通過点の ｙ 座標に無関係な定数になることを示す問題である。

問題　　ａ を正の定数とする。Ｏを原点とする平面上に、点P（ａ，ｐ） (ｐ＞０) がある。
（１）　ｘ 軸を軸とし、ＯとＰを通る放物線の方程式を求めよ。
（２）　ｘ 軸上に中心をもち、ＯとＰを通る円の半径 ｒ を、ａ と ｐ で表せ。
（３）　ｙ≧０ の範囲で、（１）の放物線の弧ＯＰと、（２）の円弧ＯＰとで囲まれる部分をSとする。
　　Ｓを ｘ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積は、ｐ の値に関係なくー定であることを
　　示せ。

（解）（１）　放物線 ｙ²＝ｋｘ が、点P（ａ，ｐ）を通るので、　ｐ²＝ｋａ　より、　ｋ＝ｐ²/ａ

　よって、放物線の方程式は、　ｙ²＝（ｐ²/ａ）ｘ

（２）　円 （ｘ−ｒ）²＋ｙ²＝ｒ² が、点P（ａ，ｐ）を通るので、　（ａ−ｒ）²＋ｐ²＝ｒ²　より、

　ａ²−２ａｒ＋ｐ²＝０　から、　ｒ＝（ａ²＋ｐ²）/（２ａ）

（３）　（２）より、円の方程式は、　ｘ²−（（ａ²＋ｐ²）/ａ）ｘ＋ｙ²＝０

　即ち、　ｙ²＝（（ａ²＋ｐ²）/ａ）ｘ−ｘ²

　求める立体の体積をＶとおくと、

Ｖ＝π∫₀^a （（（ａ²＋ｐ²）/ａ）ｘ−ｘ²−（ｐ²/ａ）ｘ）ｄｘ＝π∫₀^a （（ａｘ−ｘ²）ｄｘ＝πａ³/６　より、

ｐ の値に関係なくー定である。　　（終）


　東北大学　理系（１９７９）で、次の問題が出題された。

第３問　　２つの曲線 ｘ²/９＋ｙ²＝１ と √（ｘ/３）＋√ｙ＝１ が第１象限で囲む部分を ｘ 軸の
　　まわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

（解）　ｙ²＝1−ｘ²/９　（−３≦ｘ≦３）

　ｙ＝（１−√（ｘ/３））²＝１＋ｘ/３−２√（ｘ/３）　（０≦ｘ≦３）　から、

　ｙ²＝（１＋ｘ/３−２√（ｘ/３））²＝１＋２ｘ＋ｘ²/９−（４/）ｘ＾（1/2）−（４/（３））ｘ＾（3/2）

よって、求める体積Ｖは、

Ｖ＝π∫₀³ （1−ｘ²/９）ｄｘ−π∫₀³ （１＋２ｘ＋ｘ²/９−（４/）ｘ＾（1/2）−（４/（３））ｘ＾（3/2））ｄｘ

＝π∫₀³ （−２ｘ−２ｘ²/９＋（４/）ｘ＾（1/2）＋（４/（３））ｘ＾（3/2））ｄｘ

＝π[−ｘ²−２ｘ³/２７＋（８/（３））ｘ＾（3/2）＋（８/（１５））ｘ＾（5/2）]₀³

＝π（−９−２＋８＋２４/５

＝９π/５　　（終）


（追記）　令和６年１０月５日付け

　東北大学　文系（１９８１）で、次の問題が出題された。

問題　　（１）　ｙ＝２｜ｘ｜−３/２＋２｜｜ｘ｜−３/４｜のグラフをかけ。
　　（２）　（１）のグラフと放物線 ｙ＝ｘ²＋１ とで囲まれる領域を ｙ 軸のまわりに回転して得ら
　　　れる立体の体積を求めよ。

（解）（１）　ｘ＜−３/４　のとき、　ｙ＝−４ｘ−３

　−３/４≦ｘ＜０　のとき、　ｙ＝０

　０≦ｘ＜３/４　のとき、　ｙ＝０

　ｘ≧３/４　のとき、　ｙ＝４ｘ−３

　以上から、求めるグラフは、

　　

（２）　ｙ＝２｜ｘ｜−３/２＋２｜｜ｘ｜−３/４｜のグラフと放物線 ｙ＝ｘ²＋１ は、ｘ＝±２ で
　接する。

　　

　よって、求める回転体の体積は、

　π∫₀⁵ ｛（ｙ＋３）²/１６｝ｄｙ−π∫₁⁵ （ｙ−１）ｄｙ

＝（π/４８）［（ｙ＋３）³］₀⁵−（π/２）［（ｙ−１）²］₁⁵

＝（π/４８）（５１２−２７）−（π/２）・１６

＝４８５π/４８−８π＝１０１π/４８　　（終）


（追記）　令和６年１０月１３日付け

　東北大学　理系（１９８２）で、次の問題が出題された。

問題４　　曲線 ｙ＝ａ（ｅ＾（ｘ/ａ）＋ｅ＾（−ｘ/ａ））/２ （ａ＞０） について、次の問に答えよ。

（１）　この曲線上の２点P(０，ａ)、Q(X，Ｙ) (Ｘ＞０) の間の弧の長さＬを ａ と Ｙ で表せ。
（２）　Ｌ＝ａ のとき、点Ｑ(X，Y) (Ｘ＞０) の座標を求めよ。
（３）　（２）のQについて、弧PQと３直線 ｘ＝０、ｘ＝Ｘ、ｙ＝０ で囲まれる部分を ｘ 軸のまわり
　　に回転させて得られる回転体の体積を求めよ。

（解）（１）　ｙ’＝（ｅ＾（ｘ/ａ）−ｅ＾（−ｘ/ａ））/２ より、１＋ｙ’²=（ｅ＾（ｘ/ａ）＋ｅ＾（−ｘ/ａ））/４

よって、Ｌ＝∫₀^x （ｅ＾（ｘ/ａ）＋ｅ＾（−ｘ/ａ））/２ｄｘ＝（ａ/２）[ｅ＾（ｘ/ａ）−ｅ＾（−ｘ/ａ）]₀^x

　＝（ａ/２）（ｅ＾（Ｘ/ａ）−ｅ＾（−Ｘ/ａ））

ここで、Ｙ＝ａ（ｅ＾（Ｘ/ａ）＋ｅ＾（−Ｘ/ａ））/２　なので、Ｙ²−ａ²＝ａ²（ｅ＾（Ｘ/ａ）−ｅ＾（−Ｘ/ａ））/４

より、　Ｌ＝√（Ｙ²−ａ²）

（２）　√（Ｙ²−ａ²）＝ａ　より、　Ｙ＝２ａ

　ａ（ｅ＾（Ｘ/ａ）＋ｅ＾（−Ｘ/ａ））/２＝２ａ　より、　ｅ＾（Ｘ/ａ）＋ｅ＾（−Ｘ/ａ）＝４

すなわち、　ｅ＾（２Ｘ/ａ）−４ｅ＾（Ｘ/ａ）＋１＝０　より、ｅ＾（Ｘ/ａ）＝２±

Ｘ＞０、ａ＞０　より、ｅ＾（Ｘ/ａ）＞１　なので、　ｅ＾（Ｘ/ａ）＝２＋

よって、Ｘ＝ａ・ｌｏｇ（２＋）　となるので、　Ｑ（ａ・ｌｏｇ（２＋），２ａ）

（３）　求める体積をＶとおくと、

Ｖ＝π∫₀^{ａ・ｌｏｇ（２＋）} ｙ²ｄｘ

＝（πａ²/４）∫₀^{ａ・ｌｏｇ（２＋）} （ｅ＾（２ｘ/ａ）＋ｅ＾（−２ｘ/ａ）＋２）ｄｘ

＝（πａ²/４）[（ａ/２）（ｅ＾（２ｘ/ａ）−ｅ＾（−２ｘ/ａ）＋２ｘ]₀^{ａ・ｌｏｇ（２＋）}

＝（πａ²/４）（（ａ/２）（（２＋）²−１/（２＋）²）＋２ａ・ｌｏｇ（２＋））

＝（πａ³/８）（８＋４ｌｏｇ（２＋））

＝πａ³（＋（１/２）ｌｏｇ（２＋））　　（終）


（追記）　令和６年１０月２３日付け

　次の東北大学　理系（１９８３）の問題は、ひし形の回転である。

問題５　　１辺の長さが１のひし形ABCDがある。その頂点Ａの座標は(０，１)、Ｃの座標は
　　(０，１＋２ｔ）(０＜ｔ＜１)で、Ｂ、Ｄはそれぞれ第１象限、第２象限にある。

（１）　このひし形を ｘ 軸のまわりに回転してできる立体の体積V(ｔ）を求めよ。
（２）　V(ｔ）が最大となるときのＣの座標を求めよ。

（解）（１）　Ｂ（ｘ，ｙ）　とおくと、ｙ＝１＋ｔ　で、　ｘ²＋ｔ²＝１　より、　ｘ＝√（１−ｔ²）

このとき、直線ＢＣの方程式は、　ｙ＝（−ｔ/√（１−ｔ²））ｘ＋１＋２ｔ

　直線ＡＢの方程式は、　ｙ＝（ｔ/√（１−ｔ²））ｘ＋１

よって、

V(ｔ）＝２（π∫₀^{√（１−ｔ2）} （（−ｔ/√（１−ｔ²））ｘ＋１＋２ｔ）²ｄｘ
　　−π∫₀^{√（１−ｔ2）} （（ｔ/√（１−ｔ²））ｘ＋１＋２ｔ）²ｄｘ）

　＝８πｔ（１＋ｔ）∫₀^{√（１−ｔ2）} （（−１/√（１−ｔ²））ｘ＋１）ｄｘ

　＝８πｔ（１＋ｔ）[（−１/（２√（１−ｔ²）））ｘ²＋ｘ]₀^{√（１−ｔ2）}

　＝８πｔ（１＋ｔ）（−（１/２）√（１−ｔ²）＋√（１−ｔ²））

　＝４πｔ（１＋ｔ）√（１−ｔ²）

（２）　V’(ｔ）＝−４π/√（１−ｔ²）・（ｔ＋１）（３ｔ²−ｔ−１）＝０　より、ｔ＝−１、（１±）/６

０＜ｔ＜１　に注意して、V(ｔ）は、ｔ＝（１＋）/６　のとき、極大かつ最大となる。

このとき、　Ｃ（０，（４＋）/３）　となる。　　（終）


（追記）　令和６年１０月２７日付け

　次の東北大学　文系（１９８３）の問題は、台形の回転である。

問題　　（１）　上底の半径ａ、下底の半径ｂ、高さｈの直円すい台の体積を、積分によって求
　　めよ。

　　

（２）　ｘｙ 平面上に、４点Ａ(１，０)、Ｂ(０，１)、Ｃ(−１，０)、Ｄ(０，−１)を頂点とする正方形があ
　　る。この正方形を原点のまわりにθ（０≦θ≦π/２)だけ回転し、さらに、ｙ 軸の正の方向
　　に１だけ平行移動する。このとき、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓにうつるとする。
　　点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの座標を求めよ。
（３）　（２）において、正方形ＰＱＲＳを ｘ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

（解）（１）　求める体積は、

　π∫₀^h （（ｂ−ａ）/ｈ・ｘ＋ａ）²ｄｘ

＝π∫₀^h （（ｂ−ａ）²/ｈ²・ｘ²＋２ａ（ｂ−ａ）/ｈ・ｘ＋ａ²）ｄｘ

＝π（（ｂ−ａ）²ｈ/３＋ａ（ｂ−ａ）ｈ＋ａ²ｈ）

＝πｈ/３・（ｂ²−２ａｂ＋ａ²＋３ａｂ−３ａ²＋３ａ²）

＝πｈ（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）/３

（２）　Ｐ（ｃｏｓθ，１＋ｓｉｎθ）　、Ｑ（−ｓｉｎθ，１＋ｃｏｓθ）　、Ｒ（−ｃｏｓθ，１−ｓｉｎθ）

　Ｓ（ｓｉｎθ，１−ｃｏｓθ）　である。

（３）　（ＰＱを母線とする直円すい台）＋（ＱＲを母線とする直円すい台）
　　−（ＲＳを母線とする直円すい台）−（ＰＳを母線とする直円すい台）

＝π（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）（（１＋ｓｉｎθ）²＋（１＋ｓｉｎθ）（１＋ｃｏｓθ）＋（１＋ｃｏｓθ）²）/３

＋π（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）（（１−ｓｉｎθ）²＋（１−ｓｉｎθ）（１＋ｃｏｓθ）＋（１＋ｃｏｓθ）²）/３

−π（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）（（１−ｓｉｎθ）²＋（１−ｓｉｎθ）（１−ｃｏｓθ）＋（１−ｃｏｓθ）²）/３

−π（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）（（１＋ｓｉｎθ）²＋（１＋ｓｉｎθ）（１−ｃｏｓθ）＋（１−ｃｏｓθ）²）/３

＝２π（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）²＋２π（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）²

＝４π　　（終）


（追記）　令和６年１１月３日付け

　次の東北大学　理系（１９８４）の問題は、見かけは複雑そうだが、計算は単純化されている。

問題６
（１）　ｌｉｍ_ｘ→∞ {√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）−（ａｘ＋ｂ）}＝０ となるように定数 ａ、ｂ を定めよ。
（２）　（１）で求めたａ、ｂに対して、曲線 ｙ＝√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ） および２つの直線 ｙ＝ａｘ＋ｂ、
　ｘ＝０ で囲まれた図形を、ｘ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

（解）（１）　ｘ → ∞　なので、ｘ＞０　としても一般性を失わない。このとき、

{√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）−（ａｘ＋ｂ）}

＝{（１−ａ²）ｘ＋２＋１/√ｘ−２ａｂ−ｂ²/ｘ}/{√（１＋２/ｘ＋１/（ｘ√ｘ）＋ａ＋ｂ/ｘ}　→　０

となるためには、　１−ａ²＝０　で、　（２−２ａｂ）/（１＋ａ）＝０　でなければならない。

　ａ＝±１　であるが、ａ＝−１　とすると、　ｘ → ∞　のとき、{√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）−（ａｘ＋ｂ）}

は発散するので不適。よって、ａ＝１　で、ｂ＝１　と定まる。

　逆に、このとき、ｌｉｍ_ｘ→∞ {√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）−（ｘ＋１）}＝０ が成り立つ。

（２）　√（ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）＝ｘ＋１　より、　√ｘ＝１　から、ｘ＝１

よって、求める体積は、

　π∫₀¹ （ｘ＋１）²ｄｘ−π∫₀¹ （ｘ²＋２ｘ＋√ｘ）ｄｘ

＝π∫₀¹ （１−√ｘ）ｄｘ

＝π[ｘ−（２/３）ｘ＾（３/２）]₀¹＝π/３　　（終）


（追記）　令和６年１１月２１日付け

　次の東北大学　理系（１９８６）の問題は、楕円球に内接する直方体の問題である。

問題４　　楕円 ｘ²/ａ²＋ｙ²/ｂ²＝１　(ａ＞０、ｂ＞０) を ｘ 軸のまわりに回転してできる回転体
　　を考える。この回転体から、取り除く部分の体積を最小にして、ｘ 軸と直交する２つの面を
　　もつ直方体をつくりたい。取り除く部分の体積はいくらか。

（解）　下図において、
　　

　楕円 ｘ²/ａ²＋ｙ²/ｂ²＝１　(ａ＞０、ｂ＞０) を ｘ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、

　π∫_-a^a （ｂ²/ａ²）（ａ²−ｘ²）ｄｘ＝２π（ｂ²/ａ²）[ａ²ｘ−（１/３）ｘ³]₀^a＝（４/３）πａｂ²

　この回転体から、取り除く部分の体積を最小にするためには、直方体の体積を最大にすれ
ばよい。

　円に内接する長方形の面積が最大になるのは、正方形のときである。

　平面 ｘ＝ｔ （ｔ＞０）において半径を ｙ とすると、

　正方形の面積は、（ｙ）²＝２（ｂ²/ａ²）（ａ²−ｔ²）

回転体に、ｘ＝ｔ　から　ｘ＝−ｔ　で内接する場合の直方体の体積をＶとおくと、

　Ｖ＝４（ｂ²/ａ²）（ａ²ｔ−ｔ³） となる。

　Ｖ’＝４（ｂ²/ａ²）（ａ²−３ｔ²）＝０　とおくと、　ｔ＝ａ/

Ｖは、ｔ＝ａ/　のとき、極大かつ最大となる。最大値は、　（８/９）ａｂ²

したがって、求める体積は、

　（４/３）πａｂ²−（８/９）ａｂ²＝（（４/３）π−（８/９））ａｂ²　　（終）



　　以下、工事中！