１４０	昭和５０年	東北大学	文系	・・・	積分法（数学�U）	標準

東北大学　文系（１９７５）

第４問　（１）　長方形PQRSの辺ＰSの垂直２等分線を軸にもち、かつ、Ｑ、Ｒ および線分PS
　　の中点を通る下図のような放物線がある。

　　

　この放物線と辺QＲとで囲まれる部分の面積を求めよ。ただし、PQ＝ｐ、QR＝ｑ とする。

（２）　下図のように、正三角形ABCの各辺の両端を通り、その辺の垂直２等分線が対称軸
　　であるような、合同な３つの放物線弧を三角形ABCの外側につくる。

　　

　上図において、D、E、Ｆ はそれぞれの放物線の頂点である。BC＝a、AD＝b とするとき、
この３つの放物線弧で囲まれた全体の面積を求めよ。

（解）（１）　直線ＱＲを ｘ 軸、ＱＲの中点を原点とすると、　Ｑ（−ｑ/２，０）、Ｒ（−ｑ/２，０）

　このとき、放物線の方程式は、　ｙ＝ａ（ｘ＋ｑ/２）（ｘ−ｑ/２）　（ａ＜０）　とおける。

ｘ＝０ を代入して、　−ａｑ²/４＝ｐ　より、　ａｑ²＝−４ｐ

　放物線と辺QＲとで囲まれる部分の面積Ｓは、

Ｓ＝ａ∫_−ｑ/2^ｑ/2（ｘ＋ｑ/２）（ｘ−ｑ/２）ｄｘ＝−ａｑ³/６＝（２/３）ｐｑ

　すなわち、放物線と辺QＲとで囲まれる部分の面積Ｓは、長方形ＰＱＲＳの面積の２/３倍
である。

（２）　正三角形の高さは、（/２）ａ　なので、放物線弧の高さは、　ｂ−（/２）ａ

　よって、（１）より、放物線弧で囲まれる部分の面積は、　（２/３）ａ（ｂ−（/２）ａ）

正三角形ＡＢＣの面積は、　（/４）ａ²　なので、求める面積は、

　（/４）ａ²＋２ａ（ｂ−（/２）ａ）＝２ａｂ−（３/４）ａ²　　（終）



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