１３９	昭和５０年	東北大学	理系	・・・	積分法（数学�V）	標準

東北大学　理系（１９７５）

第５問　第１象限に曲線Ｃがある。その上の任意の点Ｐにおける接線が ｘ 軸と交わる点を
　　Ｔとし、点Ｐから ｘ 軸へ下ろした垂線の足をＭとする。点Ｐが曲線C上を動くとき、

(a)　点Ｍはつねに原点Ｏと点Ｔの中点になっている。
(b)　線分ＰＴの長さの最小値は２である。

　このような曲線Ｃの方程式を求めよ。

（解）（１）　曲線Ｃ：ｙ＝Ｆ（ｘ）上の点Ｐ（ｐ，Ｆ（ｐ））に対して、Ｍ（ｐ，０）で、

　点Ｐにおける接線の方程式は、　ｙ＝Ｆ’（ｐ）（ｘ−ｐ）＋Ｆ（ｐ）

　ｙ＝０　とおくと、　ｘ＝ｐ−Ｆ（ｐ）/Ｆ’（ｐ）　なので、　Ｔ（ｐ−Ｆ（ｐ）/Ｆ’（ｐ），０）

　条件(a)　より、　（ｐ−Ｆ（ｐ）/Ｆ’（ｐ））/２＝ｐ　なので、　Ｆ（ｐ）/Ｆ’（ｐ）＝−ｐ

　すなわち、　Ｆ’（ｘ）/Ｆ（ｘ）＝−１/ｘ

両辺を積分して、ｌｏｇ Ｆ（ｘ）＝−ｌｏｇ ｘ＋Ｃ　より、ｘＦ（ｘ）＝ｅ^ｃ＝ｋ　とおくと、Ｆ（ｘ）＝ｋ/ｘ

このとき、　Ｔ（ｘ−Ｆ（ｘ）/Ｆ’（ｘ），０）＝（２ｘ，０）　、Ｐ（ｘ，ｋ/ｘ）　なので、

　ＰＴ²＝ｘ²＋ｋ²/ｘ²≧２ｋ

　条件(b)　より、　２ｋ＝４　なので、　ｋ＝２

したがって、　Ｃ：Ｆ（ｘ）＝２/ｘ　である。　　（終）



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