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138 昭和50年  東北大学   理系 ・・・  積分法(数学Ⅲ)  標準

東北大学 理系(1975)

第4問 実数 x、y の間に x=(e-e-y)/(e+e-y) という関係がある。ただし、e は自然
  対数の底である。

(1) y を x で表せ。また、x のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) (1)で求めた y をF(x)とおくとき、0<k<1 なる k に対して、∫0k F(x)dx を求めよ。

(解)(1) x=(e2y-1)/(e2y+1) より、 e2y=(1+x)/(1-x) なので、

 y=(1/2)log{(1+x)/(1-x)}

 真数条件から、 (1+x)/(1-x)>0 なので、 -1<x<1

(2) F(x)=(1/2)log{(1+x)/(1-x)}

このとき、

0k F(x)dx=(1/2)∫0k log{(1+x)/(1-x)}dx

=(1/2)([xlog{(1+x)/(1-x)}]0k-∫0k 2x/{(1+x)(1-x)}dx)

=(1/2)(klog{(1+k)/(1-k)}+∫0k (1/(1+x)-1/(1-x))dx)

=(1/2)(klog{(1+k)/(1-k)}+log(1+k)+log(1-k))

={(1+k)log(1+k)+(1-k)log(1-k)}/2  (終)



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