１３８	昭和５０年	東北大学	理系	・・・	積分法（数学�V）	標準

東北大学　理系（１９７５）

第４問　実数 ｘ、ｙ の間に ｘ＝（ｅ^ｙ−ｅ^-ｙ）/（ｅ^ｙ＋ｅ^-ｙ） という関係がある。ただし、ｅ は自然
　　対数の底である。

（１）　ｙ を ｘ で表せ。また、ｘ のとりうる値の範囲を求めよ。
（２）　（１）で求めた ｙ をＦ（ｘ）とおくとき、０＜ｋ＜１ なる ｋ に対して、∫₀^k Ｆ（ｘ）ｄｘ を求めよ。

（解）（１）　ｘ＝（ｅ^2ｙ−１）/（ｅ^2ｙ＋１）　より、　ｅ^2ｙ＝（１＋ｘ）/（１−ｘ）　なので、

　ｙ＝（１/２）ｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１−ｘ）｝

　真数条件から、　（１＋ｘ）/（１−ｘ）＞０　なので、　−１＜ｘ＜１

（２）　Ｆ（ｘ）＝（１/２）ｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１−ｘ）｝

このとき、

∫₀^k Ｆ（ｘ）ｄｘ＝（１/２）∫₀^k ｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１−ｘ）｝ｄｘ

＝（１/２）（［ｘｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１−ｘ）｝］₀^k−∫₀^k ２ｘ/｛（１＋ｘ）（１−ｘ）｝ｄｘ）

＝（１/２）（ｋｌｏｇ｛（１＋ｋ）/（１−ｋ）｝＋∫₀^k （１/（１＋ｘ）−１/（１−ｘ））ｄｘ）

＝（１/２）（ｋｌｏｇ｛（１＋ｋ）/（１−ｋ）｝＋ｌｏｇ（１＋ｋ）＋ｌｏｇ（１−ｋ））

＝｛（１＋ｋ）ｌｏｇ（１＋ｋ）＋（１−ｋ）ｌｏｇ（１−ｋ）｝/２　　（終）



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