１３７	昭和５０年	東北大学	理系	・・・	積分法（数学�U）	標準

東北大学　理系（１９７５）

第３問　２次関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフが２点Ｐ(ｐ，１)、Ｑ(ｑ，１) を通っている。ただし、ｐ＜ｑ
　　である。このとき、　∫_ｐ^ｑ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｑ−ｐ）Ｆ（ｒ）　となる ｒ を ｐ、ｑ で表せ。

（解）　題意より、　Ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ　（ａ≠０）　とおける。

　ａｐ²＋ｂｐ＋ｃ＝１　、ａｑ²＋ｂｑ＋ｃ＝１　から、　ａ（ｑ²−ｐ²）＋ｂ（ｑ−ｐ）＝０

　ｐ≠ｑ　なので、　ｂ＝−ａ（ｐ＋ｑ）

∫_ｐ^ｑ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ａ/３）（ｑ³−ｐ³）＋（ｂ/２）（ｑ²−ｐ²）＋ｃ（ｑ−ｐ）＝（ｑ−ｐ）（ａｒ²＋ｂｒ＋ｃ）

　ｐ≠ｑ　なので、　（ａ/３）（ｐ²＋ｐｑ＋ｑ²）＋（ｂ/２）（ｐ＋ｑ）＋ｃ＝ａｒ²＋ｂｒ＋ｃ

すなわち、

　（ａ/３）（ｐ²＋ｐｑ＋ｑ²）−（ａ/２）（ｐ＋ｑ）²＝ａｒ²−ａｒ（ｐ＋ｑ）　より、

　ｒ²−ｒ（ｐ＋ｑ）＋（ｐ²＋４ｐｑ＋ｑ²）/６＝０

よって、　ｒ＝｛（ｐ＋ｑ±（ｑ−ｐ）/｝/２＝｛（３（ｐ＋ｑ）±（ｑ−ｐ）｝/６　　（終）



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