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| １３６ | 昭和５０年 | 東北大学 | 理系 | ・・・ | 漸化式（数学Ｂ） | 標準 |
東北大学 理系（１９７５）
第２問 （１） ｘ1＝ａ （実数）、ｘn+1＝１/（１−ｘn） (ｎ＝１，２，３，・・・) で定義された数列
ｘ1，ｘ2，ｘ3，・・・ がある。この項のうち、相異なるものは幾つあるか。ａ を用いてそれ
らを表せ。
（２） （１）で求めた解のうちの２個が整数となる ａ の値を求めよ。
（解）（１） 漸化式より、 ｘ1＝ａ 、ｘ2＝１/（１−ａ） 、ｘ3＝１/（１−１/（１−ａ））＝１−１/ａ
ｘ4＝１/（１−１＋１/ａ）＝ａ より、ｘ1に返る。
ａ＝１/（１−ａ） とすると、 ａ2−ａ＋１＝０ この式を満たす実数は存在しない。
よって、 ａ≠１/（１−ａ）
ａ＝１−１/ａ とすると、 ａ2−ａ＋１＝０ この式を満たす実数は存在しない。
よって、 ａ≠１−１/ａ
１/（１−ａ）＝１−１/ａ とすると、 ａ2−ａ＋１＝０ この式を満たす実数は存在しない。
よって、 １/（１−ａ）≠１−１/ａ
以上から、ａ 、１/（１−ａ） 、１−１/ａ はすべて相異なり、相異なるものは、３個である。
（２） ａ と １/（１−ａ） が整数になるとき、 １−ａ＝±１ より、 ａ＝０、２ であるが、ａ＝０
は不適。ａ＝２ のとき、１−１/ａ＝１/２ なので、１−１/ａ は整数にならないので適。
ａ と １−１/ａ が整数になるとき、 ａ＝±１ であるが、ａ＝１ は不適。ａ＝−１ のとき、
１/（１−ａ）＝１/２ なので、１/（１−ａ） は整数にならないので適。
１/（１−ａ） と １−１/ａ が整数になるとき、 １/（１−ａ）＝ｍ （ｍは整数） とおくと、
ａ＝１−１/ｍ＝（ｍ−１）/ｍ このとき、１−１/ａ＝１/（１−ｍ） なので、１−ｍ＝±１
よって、ｍ＝０、２ であるが、ｍ＝０ は不適。
ｍ＝２ のとき、１/（１−ａ）＝２ 、１−１/ａ＝−１ が整数になり、ａ＝１/２ は整数になら
ない。
以上から、求める ａ の値は、 ａ＝２、−１、１/２ （終）
以下、工事中！