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135 昭和50年  東北大学   文理共通 ・・・  図形と方程式(数学U)  標準

東北大学 文理共通(1975)

第1問 平面上で不等式 y≧x2 の表す領域をMとする。また、3点A(a,1)、B(a+2,7)、
  C(a+2,2) を頂点とする三角形の内部(周を含まない)をNとする。次のそれぞれの場合
  について、a のとりうる値の範囲を求めよ。

  

(1) NはMに含まれる。
(2) MとNとは共通点をもたない。

(解)(1) (a+2)2=2 より、 a=−2+

 よって、求める a のとりうる値の範囲は、 −1≦a≦−2+

(2) (a+2)2=7 より、 a=−2−

 よって、 a≦−2− のとき、MとNとは共通点をもたない。

 直線ABの方程式は、 y=3x+1−3a で、これが y=x2 に接するとき、

 x2−3x+3a−1=0 の判別式をDとおくと、

 D=9−12a+4=13−12a=0 より、 a=13/12

 よって、 a≧13/12 のとき、MとNとは共通点をもたない。

以上から、求める a のとりうる値の範囲は、

 a≦−2− 、13/12≦a  (終)


(コメント) 放物線に対して、三角形が横方向にスライドしていくことをイメージすれば、易し
      いかな?



  以下、工事中!