１３３	令和５年度前期	京都大学	文系	・・・	数列（数学Ｂ）	標準

京都大学　前期文系（２０２３）

第４問　数列｛ａ_ｎ｝は次の条件を満たしている。

　ａ₁＝３　、ａ_ｎ＝Ｓ_ｎ/ｎ＋（ｎ−１）・２^ｎ　（ｎ＝２，３，４，・・・）

ただし、Ｓ_ｎ＝ａ₁＋ａ₂＋・・・＋ａ_ｎ　である。このとき、数列｛ａ_ｎ｝の一般項を求めよ。

（解）　ｎ＝２　のとき、　ａ₂＝（ａ₁＋ａ₂）/２＋４　より、　ａ₂＝１１

　ｎ＝３　のとき、　ａ₃＝（ａ₁＋ａ₂＋ａ₃）/３＋１６　より、　ａ₃＝３１

一般に、ｎ≧２ のとき、　Ｓ_ｎ＝ｎａ_ｎ−ｎ（ｎ−１）・２^ｎ

　よって、　Ｓ_ｎ+1＝（ｎ＋１）ａ_ｎ+1−ｎ（ｎ＋１）・２^ｎ+1 を辺々引いて、

　ｎ≧２ のとき、　ａ_ｎ+1＝（ｎ＋１）ａ_ｎ+1−ｎａ_ｎ−ｎ（ｎ＋３）２^ｎ　から、

　ｎａ_ｎ+1−ｎａ_ｎ＝ｎ（ｎ＋３）２^ｎ　すなわち、　ａ_ｎ+1−ａ_ｎ＝（ｎ＋３）２^ｎ

　よって、　ａ₃−ａ₂＝５・２²

　　ａ₄−ａ₃＝６・２³

　　・・・・・・

　　ａ_ｎ−ａ_ｎ-1＝（ｎ＋２）２^ｎ-1

ここで、　ａ₂−ａ₁＝１１−３＝８　なので、

これらを辺々加えて、　ａ_ｎ−ａ₁＝Σ_k=1^n-1（ｋ＋３）２^k

すなわち、　ｎ≧２ のとき、　ａ_ｎ＝ａ₁＋Σ_k=1^n-1（ｋ＋３）２^k＝Σ_k=0^n-1（ｋ＋３）２^k

ここで、　２ａ_ｎ＝Σ_k=0^n-1（ｋ＋３）２^k+1 より、辺々引いて、

−ａ_ｎ＝３＋２＋２²＋・・・＋２^ｎ-1−（ｎ＋２）２^ｎ＝２＋（２ⁿ−１）−（ｎ＋２）２^ｎ＝１−（ｎ＋１）２^ｎ

よって、　ａ_ｎ＝（ｎ＋１）２^ｎ−１　（ｎ≧２）　である。

　ここで、ｎ＝１としてみると、　左辺＝ａ₁＝３　、右辺＝４−１＝３　より、　左辺＝右辺

したがって、　ａ_ｎ＝（ｎ＋１）２^ｎ−１　（ｎ≧１）　である。　　（終）



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