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133 令和5年度前期  京都大学   文系 ・・・  数列(数学B)  標準

京都大学 前期文系(2023)

第4問 数列{a}は次の条件を満たしている。

 a1=3 、a=S/n+(n−1)・2 (n=2,3,4,・・・)

ただし、S=a1+a2+・・・+a である。このとき、数列{a}の一般項を求めよ。

(解) n=2 のとき、 a2=(a1+a2)/2+4 より、 a2=11

 n=3 のとき、 a3=(a1+a2+a3)/3+16 より、 a3=31

一般に、n≧2 のとき、 S=na−n(n−1)・2

 よって、 Sn+1=(n+1)an+1−n(n+1)・2n+1 を辺々引いて、

 n≧2 のとき、 an+1=(n+1)an+1−na−n(n+3)2 から、

 nan+1−na=n(n+3)2 すなわち、 an+1−a=(n+3)2

 よって、 a3−a2=5・22

  a4−a3=6・23

  ・・・・・・

  a−an-1=(n+2)2n-1

ここで、 a2−a1=11−3=8 なので、

これらを辺々加えて、 a−a1=Σk=1n-1(k+3)2k

すなわち、 n≧2 のとき、 a=a1+Σk=1n-1(k+3)2k=Σk=0n-1(k+3)2k

ここで、 2a=Σk=0n-1(k+3)2k+1 より、辺々引いて、

−a=3+2+22+・・・+2n-1−(n+2)2=2+(2n−1)−(n+2)2=1−(n+1)2

よって、 a=(n+1)2−1 (n≧2) である。

 ここで、n=1としてみると、 左辺=a1=3 、右辺=4−1=3 より、 左辺=右辺

したがって、 a=(n+1)2−1 (n≧1) である。  (終)



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