133 | 令和5年度前期 | 京都大学 | 文系 | ・・・ | 数列(数学B) | 標準 |
京都大学 前期文系(2023)
第4問 数列{an}は次の条件を満たしている。
a1=3 、an=Sn/n+(n−1)・2n (n=2,3,4,・・・)
ただし、Sn=a1+a2+・・・+an である。このとき、数列{an}の一般項を求めよ。
(解) n=2 のとき、 a2=(a1+a2)/2+4 より、 a2=11
n=3 のとき、 a3=(a1+a2+a3)/3+16 より、 a3=31
一般に、n≧2 のとき、 Sn=nan−n(n−1)・2n
よって、 Sn+1=(n+1)an+1−n(n+1)・2n+1 を辺々引いて、
n≧2 のとき、 an+1=(n+1)an+1−nan−n(n+3)2n から、
nan+1−nan=n(n+3)2n すなわち、 an+1−an=(n+3)2n
よって、 a3−a2=5・22
a4−a3=6・23
・・・・・・
an−an-1=(n+2)2n-1
ここで、 a2−a1=11−3=8 なので、
これらを辺々加えて、 an−a1=Σk=1n-1(k+3)2k
すなわち、 n≧2 のとき、 an=a1+Σk=1n-1(k+3)2k=Σk=0n-1(k+3)2k
ここで、 2an=Σk=0n-1(k+3)2k+1 より、辺々引いて、
−an=3+2+22+・・・+2n-1−(n+2)2n=2+(2n−1)−(n+2)2n=1−(n+1)2n
よって、 an=(n+1)2n−1 (n≧2) である。
ここで、n=1としてみると、 左辺=a1=3 、右辺=4−1=3 より、 左辺=右辺
したがって、 an=(n+1)2n−1 (n≧1) である。 (終)
以下、工事中!