１３２	令和５年度前期	京都大学	文系	・・・	三角関数（数学�U）	やや難

京都大学　前期文系（２０２３）

第３問　次の各問に答えよ。

（１）　cos２θとｃｏｓ３θをｃｏｓθの式として表せ。
（２）　半径１の円に内接する正五角形の一辺の長さが １．１５ より大きいか否かを理由を付
　　けて判定せよ。

（解）（１）　加法定理から、　cos２θ＝２ｃｏｓ²θ−１　、ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ³θ−３ｃｏｓθ

（２）　半径１の円に内接する正五角形の一辺の長さを ｘ とおくと、　ｘ＝２ｓｉｎ３６°である。

　ここで、θ＝３６°とおくと、５θ＝１８０°　すなわち、　３θ＝１８０°−２θ

　よって、　ｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ（１８０°−２θ）＝ｓｉｎ２θ　より、

　３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ³θ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ

ｓｉｎθ≠０　なので、　３−４ｓｉｎ²θ＝２ｃｏｓθ　より、　３−４（１−ｃｏｓ²θ）＝２ｃｏｓθ

すなわち、　４ｃｏｓ²θ−２ｃｏｓθ−１＝０　から、　ｃｏｓθ＝（１＋）/４

このとき、　ｓｉｎ²θ＝１−（１＋）²/１６＝（１０−２）/１６　より、

　ｓｉｎθ＝｛√（１０−２）｝/４　となり、　ｘ＝｛√（１０−２）｝/２　である。

ここで、２＜＜２．３　より、５．４＜１０−２＜６　なので、√（５．４）/２＜ｘ＜/２

このとき、

　｛√（５．４）/２｝²−１．１５²＝２．７/２−１．３２２５＝１．３５−１．３２２５＝０．０７７５＞０

より、　ｘ＞１．１５　となる。

すなわち、半径１の円に内接する正五角形の一辺の長さは、 １．１５ より大きい。　　（終）



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