１２９	令和５年度前期	東京大学	文系	・・・	方程式（数学�U）	やや易

東京大学　前期文系（２０２３）

第１問　ｋ を正の実数とし、２次方程式 ｘ²＋ｘ−ｋ＝０ の２つの実数解をα、βとする。
　　ｋ が ｋ＞２ の範囲を動くとき、α³/（１−β）＋β³/（１−α） の最小値を求めよ。

（解）　解と係数の関係より、　α＋β＝−１　、αβ＝−ｋ

このとき、

　α³/（１−β）＋β³/（１−α）

＝（α³（１−α）＋β³（１−β））/｛（１−α）（１−β）｝

＝（α³＋β³−（α⁴＋β⁴））/｛（１−α）（１−β）｝

＝（（α＋β）³−３αβ（α＋β）−（（α＋β）²−２αβ）²＋２α²β²）/｛１−（α＋β）＋αβ｝

＝（−１−３ｋ−（１＋２ｋ）²＋２ｋ²）/（２−ｋ）

＝（２ｋ²＋７ｋ＋２）/（ｋ−２）

＝２ｋ＋１１＋２４/（ｋ−２）

＝２（ｋ−２）＋２４/（ｋ−２）＋１５

　ここで、相加平均と相乗平均の関係から、　２（ｋ−２）＋２４/（ｋ−２）≧８

　ただし、等号成立は、２（ｋ−２）＝２４/（ｋ−２）　すなわち、ｋ＝２＋２　のときに限る。

　したがって、求める最小値は、ｋ＝２＋２　のときに、８＋１５　である。　　（終）



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