１２８	令和５年度前期	東京大学	文系	・・・	図形と計量（数�T・Ａ）	やや難

東京大学　前期文系（２０２３）

第４問　半径１の球面上の相異なる４点A、B、C、D が、AB＝１、AC＝BC、AD＝BD、
　　cos∠ACB＝cos∠ADB＝４/５ を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　△ABCの面積を求めよ。
（２）　四面体ABCDの体積を求めよ。

＃題意より、ＡＢ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとおくと、線分ＭＮ上に、球の中心Ｏがある。

　　

（解）(1)　cos∠ACB＝４/５　より、　ｓｉｎ∠ACＢ＝３/５

　また、△ＡＢＣは２等辺三角形で、直角三角形ＡＣＭにおいて、

　ｓｉｎ²∠ACＭ＝（１−cos∠ACB）/２＝１/１０　より、　ｓｉｎ∠ACＭ＝１/

よって、　ＡＣ・ｓｉｎ∠ACＭ＝ＡＭ＝１/２　より、　ＡＣ＝/２

　以上から、　△ＡＢＣ＝（１/２）・（/２）・（/２）・（３/５）＝３/４

（２）　ＣＭ²＝ＡＣ²−（１/２）²＝５/２−１/４＝９/４　より、　ＣＭ＝３/２

　また、　ＯＭ²＝１²−（１/２）²＝３/４　より、　ＯＭ＝/２

　このとき、　ＣＭ²−（ＯＮ＋ＯＭ）²＝ＯＣ²−ＯＮ²　より、

　９/４−（ＯＮ＋/２）²＝１²−ＯＮ²　を解いて、　ＯＮ＝/６

よって、　ＭＮ＝/２＋/６＝２/３

さらに、　ＣＤ＝２ＣＮ＝２√（１−１/１２）＝/　なので、

　四面体ABCDの体積は、

　（１/２）・（/）・（２/３）・１・（１/３）＝/９　　（終）


（コメント）　久しぶりの立体図形でした。



　　以下、工事中！