１２７	令和６年度前期	神戸大学	理系	・・・	積分法（数学�V）	やや難

神戸大学　前期理系（２０２４）

第５問　０以上の実数 ｘ に対して、
　　
　　と定める。以下の問に答えよ。

（１）　０≦α＜π/２ を満たす実数αに対して、Ｆ（ｔａｎα）を求めよ。
（２）　ｘｙ 平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
　　０≦ｘ≦１　、０≦ｙ≦１　、Ｆ（ｘ）＋Ｆ（ｙ）≦Ｆ（１）
　また、その領域の面積を求めよ。

（解）（１）　１/（１＋ｕ²） は、偶関数なので、　Ｆ（ｘ）＝∫₀^x １/（１＋ｕ²）・ｄｕ

　ｕ＝ｔａｎθ とおくと、ｄｕ＝（１/ｃｏｓ²θ）ｄθ＝（１＋ｕ²）ｄθ　から、１/（１＋ｕ²）・ｄｕ＝ｄθ

　ｔａｎα＝ｘ とおくと、ｕ＝０ のとき、θ＝０　、ｕ＝ｘ のとき、θ＝α　なので、

　Ｆ（ｔａｎα）＝∫₀^α ｄθ＝[θ]₀^α＝α

（２）　０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１ より、ｘ＝ｔａｎα、ｙ＝ｔａｎβ となるα、β（０≦α、β≦π/４）が

存在する。

　（１）より、　Ｆ（ｘ）＝α、Ｆ（ｙ）＝β　が成り立つ。

　ここで、　Ｆ（１）＝Ｆ（ｔａｎπ/４）＝π/４　なので、Ｆ（ｘ）＋Ｆ（ｙ）≦Ｆ（１）　から、

　０≦α＋β≦π/４　が成り立つ。

このとき、　ｔａｎ（α＋β）＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）/（１−ｔａｎαｔａｎβ）＝（ｘ＋ｙ）/（１−ｘｙ）　より、

　０≦（ｘ＋ｙ）/（１−ｘｙ）≦１

　１−ｘｙ＞０　なので、　ｘ＋ｙ≦１−ｘｙ　すなわち、　（ｘ＋１）（ｙ＋１）≦２

　以上から、求める領域は、下図である。

　　

また、その面積は、∫₀¹ （２/（ｘ＋１）−１）ｄθ＝[２ｌｏｇ（ｘ＋１）−ｘ]₀¹＝２ｌｏｇ２−１　　（終）



　　以下、工事中！