１２６	令和６年度前期	神戸大学	理系	・・・	回転体の体積（数学�V）	やや易

神戸大学　前期理系（２０２４）

第４問　１辺の長さがの正方形ABCDを底面にもち、高さが１である直方体ABCD-EFGH
　　を、頂点の座標がそれぞれ　A(１，０，０)、B(０，１，０)、C(−１，０，０)、D(０，−１，０)、
　　E(１，０，１)、F(０，１，１)、G(−１，０，１)、H(０，−１，１)　になるように ｘｙｚ 空間内におく。
　　以下の問に答えよ。

（１）　直方体ABCD-EFGHを直線AEのまわりに１回転してできる回転体をX₁とし、また直線
　　ABのまわりに１回転してできる回転体をX₂とする。X₁の体積Ｖ₁とX₂の体積Ｖ₂を求めよ。
（２）　０≦ｔ≦１ とする。平面 ｘ＝ｔ と線分EFの共有点の座標を求めよ。
（３）　直方体ABCD-EFGHを ｘ 軸のまわりに１回転してできる回転体をX₃とする。X₃の体積
　　Ｖ₃を求めよ。

　　

（解）（１）　X₁は、底面が半径２の円で、高さが１の円柱なので、　Ｖ₁＝４π

　X₂は、底面が半径の円で、高さがの円柱なので、　Ｖ₁＝３π

（２）　（ ｔ ，１−ｔ ，１）

（３）　X₃は、平面 ｘ＝０ により、等分割される。

　ＰＱ²＝（１−ｔ）²＋１　なので、

　Ｖ₃＝２π∫₀¹ ｛（１−ｔ）²＋１｝ｄｔ＝２π［（ｔ−１）³/３＋ｔ］₀¹

　＝２π（１＋１/３）＝８π/３　　（終）



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