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124 令和6年度前期  神戸大学   理系 ・・・  図形と方程式(数学U)  標準

神戸大学 前期理系(2024)

第2問 a、b、c は実数で、a≠0 とする。放物線Cと直線L1、L2 をそれぞれ
  C : y=ax2+bx+c 、L1 : y=−3x+3 、L2 : y=x+3
  で定める。L1、L2 がともにCに接するとき、以下の問に答えよ。

(1) bを求めよ。また、c を a を用いて表せ。
(2) Cが x 軸と異なる2点で交わるとき、1/a のとりうる値の範囲を求めよ。
(3) CとL1の接点をP、CとL2の接点をQ、放物線Cの頂点をRとする。a が(2)の条件を
 満たしながら動くとき、△PQRの重心Gの軌跡を求めよ。

  

(解)(1) CとL1の接点P、CとL2の接点Qの x 座標をそれぞれ s 、t とおくとき、

 ax2+bx+c=−3x+3 すなわち、 ax2+(b+3)x+c−3=a(x−s)2 と書ける。

 このとき、 b+3=−2as 、c−3=as2

 ax2+bx+c=x+3 すなわち、 ax2+(b−1)x+c−3=a(x−t)2 と書ける。

 このとき、 b−1=−2at 、c−3=at2

よって、 as2=at2 すなわち、 a(s−t)(s+t)=0 において、 a≠0 、s≠t なので、

 s=−t が成り立つ。

 したがって、 b+3=−2as=2at=−b+1 より、 2b=−2 なので、 b=−1

 このとき、 2=−2as から、 as=−1 なので、 a(c−3)=(as)2=1

 よって、 c=3+1/a である。

(2) ax2+bx+c=0 の判別式をDとおくと、条件より、

 D=b2−4ac=1−4a(3+1/a)=−3−12a>0 を解いて、 12a<−3

 すなわち、 a<−1/4 となるので、 −4<1/a<0 である。

(3) (1)より、 s=−t=−1/a が成り立つので、 P(s,−3s+3)=(−1/a,3/a+3)

 Q(t,t+3)=(1/a,1/a+3) である。

 また、ax2+bx+c=ax2−x+3+1/a において、

 =a(x−1/(2a))2−1/(4a)+3+1/a=a(x−1/(2a))2+3/(4a)+3

より、 R(1/(2a),3/(4a)+3)

△PQRの重心Gの座標を、(x,y)とおくと、x=1/(6a) 、y=3+19/(12a)

よって、aを消去して、 y=3+(19/2)x となる。

 ただし、(2)より、−4<1/a<0 なので、 −2/3<x<0  (終)



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