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123 | 令和6年度前期 | 神戸大学 | 理系 | ・・・ | 微分・数列(数B・V) | 標準 |
神戸大学 前期理系(2024)
第1問 c を正の実数とする。各項が正である数列{an}を次のように定める。a1は関数
y=x+√(c−x2) (0≦x≦√c) が最大値をとるときの x の値とする。an+1は関数
y=x+√(an−x2) (0≦x≦√an) が最大値をとるときの x の値とする。数列{an}を
bn=log2 an で定める。以下の問に答えよ。
(1) a1をcを用いて表せ。
(2) bn+1をbnを用いて表せ。
(3) 数列{bn}の一般項をnとcを用いて表せ。
# y=x+√(c−x2) のグラフの概形は、微分法を使わずとも、次のようにして分かる。
y1=x 、y2=√(c−x2) とおくと、y1は原点を通る傾き1の直線で、y2は、x2+y22=c
から、原点中心、半径√c の上半円で、y=y1+y2 のグラフの概形は、下図で得られる。
(解)(1) y’=(√(c−x2)−x)/√(c−x2)=0 とおくと、 x=√(c/2)
増減表より、x=√(c/2)で極大かつ最大なので、 a1=√(c/2)
(2) (1)より、 an+1=√(an/2) なので、 log2 an+1=(1/2)(log2 an−1)
よって、 bn+1=(1/2)bn−1/2
(3) bn+1+1=(1/2)(bn+1) より、 bn+1=(b1+1)(1/2)n-1
ここで、b1+1=log2 a1+1=(1/2)(log2 c −1)+1=(1/2)(log2 c +1) なので、
bn+1=(log2 c +1)(1/2)n すなわち、 bn=(log2 c +1)(1/2)n−1 (終)
以下、工事中!